سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

قانون اول توان

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما! برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر.

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم.

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوا دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

قضیه

ضرب اعداد توان دار وقتی پایه ها مساوی باشند.

در ضرب اعداد توان دار، اگر پایه ها مساوی و توان ‌ها مختلف باشند، یکی از پایه‌ ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می‌کنیم:

$\forall a \in R, m, n \in Z; a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

اثبات

$\begin{array}{l} a^{m} \times a^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a \times a \times \dots \times a) \times (a \times a \times a \times \dots \times a) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a \times a \times a \times a \times \dots \times a) \end{array}$

$= a^{m + n}$

در پرانتز آبی رنگ، $a$ به تعداد $m$ بار تکرار شده است.

در پرانتز قرمز رنگ، $a$ به تعداد $n$ بار تکرار شده است.

در پرانتز سبز رنگ، $a$ به تعداد $m + n$ بار تکرار شده است.

تمرین

حاصل عبارات زیر را به صورت عدد توان دار می‌نویسیم:

$2^{6} \times 2^{7}$

$\begin{array}{l} = 2^{6 + 7} \\ = 2^{13} \end{array}$

$3^{2} \times 3^{4} \times 3^{5}$

$\begin{array}{l} = 3^{2 + 4 + 5} \\ = 3^{11} \end{array}$

$9 \times 3^{4}$

$\begin{array}{l} = 3^{2} \times 3^{4} \\ = 3^{2 + 4} \\ = 3^{6} \end{array}$

$2^{6} \times {(2^{3})}^{4}$

$\begin{array}{l} = 2^{6} \times (2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3}) \\ = 2^{6 + 3 + 3 + 3 + 3} \\ = 2^{18} \end{array}$

${(\frac{1}{2})}^{3} \times {(0 / 5)}^{4}$

$\begin{array}{l} = {(0 / 5)}^{3} \times {(0 / 5)}^{4} \\ = {(0 / 5)}^{3 + 4} \\ = {(0 / 5)}^{7} \end{array}$

$3^{5} \times 27^{2}$

$\begin{array}{l} = 3^{5} \times {(3^{3})}^{2} \\ = 3^{5} \times (3^{3} \times 3^{3}) \\ = 3^{5 + 3 + 3} \\ = 3^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \times {(\frac{1}{5})}^{1} \\ = {(\frac{1}{5})}^{1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\frac{1}{5})}^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \times {(\sqrt{3})}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\sqrt{3})}^{1 + 1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\sqrt{3})}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \times {(\frac{a}{2})}^{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{a}{2})}^{1 + 1 + 1 + 1 + 1} \\ = {(\frac{a}{2})}^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} (a + b) (a + b) (a + b) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} \\ = {(a + b)}^{1 + 1 + 1} \\ = {(a + b)}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 10 \times 100 \times 1000 \times 10000 \end{array}$

$\begin{array}{l} = 10^{1} \times 10^{2} \times 10^{3} \times 10^{4} \\ = 10^{1 + 2 + 3 + 4} \\ = 10^{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2.5)}^{7} \times {(\frac{5}{2})}^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{5}{2})}^{7} \times {(\frac{5}{2})}^{3} \\ = {(\frac{5}{2})}^{7 + 3} \\ = {(\frac{5}{2})}^{10} \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$\begin{array}{l} a = x^{\frac{1}{x - 1}} \\ b = x^{\frac{x}{x - 1}} \end{array}$

یک رابطه مستقل از $x$ بین $a$ و $b$ به‌دست آورید.

$\begin{array}{l} b = x^{\frac{x}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{\frac{x - 1 + 1}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{\frac{x - 1}{x - 1}} . x^{\frac{1}{x - 1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b = x . x^{\frac{1}{x - 1}}; a = x^{\frac{1}{x - 1}} \\ \Rightarrow b = x^{1} a \\ \Rightarrow x = \frac{b}{a} \end{array}$