سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به فرم ناقص

آخرین ویرایش: 02 آبان 1405

دسته‌بندی: عبارات درجه دوم

امتیاز:

نظر کاربران: 1 تعداد نظرهای ثبت شده

نکته

قبل از پرداختن به حل معادلات درجه دوم به فرم کامل، معادلات درجه دوم به فرم ناقص را در زیر بررسی می‌کنیم.

حالت اول

در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ اگر ضریب $x$ یعنی $b = 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + (0) x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} = - c \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a} \end{array}$

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$

نکته

اگر $a$ و $c$ مختلف‌العلامه باشد، داریم:

$c . a < 0$

در این حالت $- \frac{c}{a} > 0$ است و معادله دارای دو ریشه قرینه است.

تمرین

معادلات درجه دوم ناقص زیر را حل می‌کنیم:

$4 x^{2} - 16 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{2} = 16 \\ \Rightarrow x^{2} = 4 \\ \Rightarrow x = \pm 2 \end{array}$

در معادله فوق:

$a = + 4, c = - 16$

$a, c$ مختلف‌العلامه هستند و معادله دارای دو ریشه قرینه $x = \pm 2$ است.

$2 x^{2} + 18 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} = - 18 \\ \Rightarrow x^{2} = - 9 \end{array}$

در معادله فوق:

$a = + 2, c = + 18$

$a, c$ مختلف‌العلامه نیستند و معادله ریشه حقیقی ندارد.

$5 x^{2} - 60 = 20$

معادله درجه دوم - پیمان گردلو

$4 m^{2} - 1 = 0$

$\Rightarrow 4 m^{2} = 1$

$\Rightarrow m^{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

$x^{2} - 100 = 0$

$\Rightarrow x^{2} = 100$

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{100}$

$\Rightarrow x = \pm 10$

$25 y^{2} - 3 = 0$

$\begin{aligned} \Rightarrow 25 y^{2} & = 3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow y^{2} & = \frac{3}{25} \end{aligned}$

$\Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{3}{25}}$

$\Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{3}}{5}$

${(2 t - 9)}^{2} = 5$

$2 t - 9 = \pm \sqrt{5}$

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 t & = 9 \pm \sqrt{5} \end{aligned}$

$\Rightarrow \begin{aligned} t & = \frac{1}{2} (9 \pm \sqrt{5}) \end{aligned}$

$\Rightarrow t = \frac{9}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 8 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} = 8 \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{8}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 4 \\ \Rightarrow x = \pm \sqrt{4} \\ \Rightarrow x = \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} - 9 x^{2} + 27 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 9 x^{2} = - 27 \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{- 27}{- 9} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 3 \\ \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 x^{2} + 16 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{2} = - 16 \\ \Rightarrow x^{2} = - \frac{16}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = - 4 \\ \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{- 4} \end{array}$

عدد منفی زير راديكال در حوزه اعداد حقيقی تعريف نشده است، يعنی معادله جواب حقيقی ندارد.

علت اين امر آن است كه $a = 4$ و $c = 16$ مختلف العلامه نيستند.

$\begin{array}{l} 3 x^{2} - 5 = 70 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x^{2} = 75 \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{75}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 25 \\ \Rightarrow x = \pm 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2} - 2 x - 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{2} + 2 x + 1) - 2 x - 2 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 1 \\ \Rightarrow x = \pm 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{3 x^{2} - 11}{8} + \frac{74 - 2 x^{2}}{12} = 10 \end{array}$

طرفین تساوی را در عدد $24$ ضرب می‌کنیم تا مخرج‌ ها از بین بروند:

$\begin{array}{l} 24 \times (\frac{3 x^{2} - 11}{8} + \frac{74 - 2 x^{2}}{12}) = 24 \times 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 \times (3 x^{2} - 11) + 2 \times (74 - 2 x^{2}) = 240 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9 x^{2} - 33 + 148 - 4 x^{2} = 240 \\ \Rightarrow 5 x^{2} + 115 = 240 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 x^{2} = 125 \\ \Rightarrow x^{2} = 25 \\ \Rightarrow x = \pm 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{x}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x (x + 4) + x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} = 1 \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + 4 x + x^{2} + x}{x^{2} + 5 x + 4} = 1 \\ \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x = x^{2} + 5 x + 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 x^{2} + 5 x - x^{2} - 5 x - 4 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 4 \\ \Rightarrow x = \pm 2 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

شرط آن‌که معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ دارای دو ریشه قرینه باشد آن است که $b = 0$ و $a$ و $c$ مختلف‌العلامه باشند.

تمرین

به‌ازای چه مقدار $m$ معادلات زیر دارای دو ريشه قرينه است؟

$\begin{array}{l} 3 x^{2} + (m^{2} - 9) x + m + 2 = 0 \end{array}$

شرط وجود دو ريشه قرينه برای معادله درجه دوم آن است كه $b = 0$ باشد و $a, c$ مختلف العلامه باشند.

$\begin{array}{l} i f b = 0 \\ \Rightarrow (m^{2} - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} = 9 \\ \Rightarrow m = \pm 3 \end{array}$

به‌ازای $m = 3$ ضرایب $a, c$ متحد العلامه می‌شوند، پس $m = 3$ قابل قبول نيست.

به‌ازای $m = - 3$ ضرایب $a, c$ مختلف العلامه می‌شوند، پس $m = - 3$ قابل قبول است.

$(m^{2} + 1) x^{2} + (m^{2} - 1) x + m^{2} + 3 m - 2 = 0$

$\begin{array}{l} i f b = 0 \Rightarrow m^{2} - 1 = 0 \Rightarrow m^{2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1 \end{array}$

$i f m = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a = m^{2} + 1 \Rightarrow a = 2 \\ c = m^{2} + 3 m - 2 \Rightarrow c = 2 \end{cases}$

$a, c$ متحد العلامه است پس $m = 1$ قابل قبول نيست.

$i f m = - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ c = - 4 \end{cases}$

$a, c$ مختلف العلامه است پس $m = - 1$ قابل قبول است.

به‌ازای $m = - 1$ معادله فوق دارای دو ريشه قرينه است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت دوم

در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ اگر $c = 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x + (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + b x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (a x + b) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ a x + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a} \end{cases}$

تمرین

معادلات درجه دوم ناقص زیر را حل می‌کنیم:

$x^{2} - 5 x = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x - 5) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \end{cases} \end{array}$

$(x - 1) (x + 1) = (x - 1)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} - 1 = x - 1 \\ \Rightarrow x^{2} - 1 - x + 1 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x - 1) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{cases} \end{array}$

$5 x^{2} = 2 x$

$\Rightarrow 5 x^{2} - 2 x = 0$

$\Rightarrow x (5 x - 2) = 0$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ 5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} \end{cases}$

$\begin{array}{l} 3 x^{2} + 18 x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (3 x + 18) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ 3 x + 18 = 0 \Rightarrow 3 x = - 18 \Rightarrow x = - \frac{18}{3} = - 6 \end{cases}$

$\begin{array}{l} - 2 x^{2} + 16 x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (- 2 x + 16) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ - 2 x + 16 = 0 \Rightarrow - 2 x = - 16 \Rightarrow x = \frac{- 16}{- 2} = 8 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 8 x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x (x - 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 4 x = 0 \Rightarrow x = 0 \\ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} (x + 2) (x + 3) = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} + 5 x + 6 = 6 \\ \Rightarrow x^{2} + 5 x = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x (x + 5) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} {(2 x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{2} - 4 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x = 0 \\ \Rightarrow x (3 x - 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ 3 x - 2 = 0 \Rightarrow 3 x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \end{cases}$

نکته

شرط آن‌که معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ همواره دارای یک جواب $x = 0$ باشد، آن است که $c = 0$ باشد.

تمرین

به‌ازای چه مقدار $m$ معادله زیر همواره دارای یک جواب $x = 0$ است.

$3 x^{2} - 6 x + m^{2} - 3 m = 0$

$i f c = 0 \Rightarrow m^{2} - 3 m = 0 \Rightarrow m (m - 3) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m = 0 \\ m = 3 \end{cases}$

به‌ازای $m = 0, 3$ معادله فوق به‌صورت زیر می‌شود:

$3 x^{2} - 6 x = 0$

این معادله همواره یک جواب $x = 0$ دارد.

$3 x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow 3 x (x - 2) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت سوم

در معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ اگر $b = c = 0$ باشد، داریم:

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} + (0) x + (0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 0 \end{cases}〉 x = 0$

تذکر

معادله فوق دارای دو ریشه ساده $x = 0$ یا یک ریشه مضاعف $x = 0$ می‌باشد.

تمرین

معادله درجه دوم زیر را حل کنید:

$16 x^{2} = 0$

معادله درجه دوم - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} 3 x^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \begin{array}{l} 3 x \times x = 0 \end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \end{matrix}$

معادله فوق دوریشه ساده برابر $x = 0$ یا یک ریشه مضاعف برابر $x = 0$ دارد.

$- \sqrt{5} x^{2} = 0$

$\begin{matrix} \Rightarrow \begin{array}{l} - \sqrt{5} x \times x = 0 \end{array} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 0 \end{cases} \end{matrix}$

معادله فوق دوریشه ساده برابر $x = 0$ یا یک ریشه مضاعف برابر $x = 0$ دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

شرط آن‌که معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ دارای یک ریشه مضاعف صفر باشد، آن است که ضرایب $b = c = 0$ باشد.

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$7 x^{2} + (m + n - 5) x + (m - n + 7) = 0$

به‌ازای چه مقداری از $m, n$ معادله زیر دارای ريشه مضاعف صفر است؟

$i f \{\begin{array}{l} b = 0 \Rightarrow m + n - 5 = 0 \Rightarrow m + n = 5 \\ c = 0 \Rightarrow m - n + 7 = 0 \Rightarrow m - n = - 7 \end{array}〉 \{\begin{cases} m = - 1 \\ n = 6 \end{cases}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

اگر در معادله درجه دوم $a = b = c = 0$ باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.

$(0) x^{2} + (0) x + 0 = 0$

یعنی به‌ازای هر مقدار از حوزه اعداد حقیقی، تساوی فوق همواره برقرار است.

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد ریاضی

مجموع جواب های معادله زیر کدام گزینه است؟

$2 x^{2} - 16 = 100^{4} + 102^{4}$

$\pm 10204$
$\pm 10203$
$\pm 10202$
$\pm 10201$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم ناقص

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

فاطمه ثنائی پور (فشم)

28 اسفند 1402

خیلییییی مفید بود واقعا ، با حل تمارینی که تو هر قسمت قرار گرفته بود ، هر چی جلو میرفتم تسلطم بیشتر میشد و بدون قلم و کاغذ بعضا قابل محاسبه بود برام
خیلیییی عالی و جامع و کامل توضیح داده شده ?

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به فرم ناقص

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

تست‌های این مبحث

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟