سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

حل معادله درجه دوم به روش اتحادها یا تجزیه

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:

با استفاده از مفاهیم اتحادها و همچنین تجزیه عبارات جبری، می‌توانیم بعضی از معادلات درجه دوم را حل کنیم.

یادآوری می‌کنیم که:

اتحاد اول

a2+2ab+b2=a+b2

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد اول حل کنید.

x2+6x+9=0

x2+2x3+32=0x+32=0

x+3×x+3=0x+3=0x=3x+3=0x=3


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=-3 يا يک ريشه مضاعف x=-3 است.

25x2+60x+36=0

5x2+25x6+62=05x+62=0

5x+6×5x+6=0


5x+6=05x=6x=655x+6=05x=6x=65


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=-65 يا يک ريشه مضاعف x=-65 است.

x2+8x+16=0

x2+2x4+42=0x+42=0x+4x+4=0x+4=0x=4x+4=0x=4


معادله درجه دوم فوق دارای دو ریشه ساده x=-4 یا یک ریشه مضاعف x=-4 می‌باشد.

y2+12y+36=0

y2+12y+36=0


(y+6)2=0


(y+6)(y+6)=0


x+6=0x=-6x+6=0x=-6

اتحاد دوم

a2-2ab+b2=a-b2

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد دوم حل کنید.

x28x+16=0

x22x4+42=0x42=0

x4×x4=0x4=0x=4x4=0x=4


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=4 يا يک ريشه مضاعف x=4 است.

9x224x+16=0

3x223x4+42=03x42=0

3x4×3x4=0

3x4=03x=4x=433x4=03x=4x=43


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=43 يا يک ريشه مضاعف x=43 است.

25x260x+36=0

5x225x6+62=05x62=05x65x6=05x6=0x=655x6=0x=65


معادله درجه دوم فوق دارای دو ریشه ساده x=65 یا یک ریشه مضاعف x=65 می‌باشد.

x24+2x2=0

x24=2x2x242=2x22

x24=4x2x24x+4=0x22=0x=2

اتحاد جمله مشترک

x2+a+bx+ab=x+ax+b

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از اتحاد جمله مشترک حل کنید.

x2+5x+6=0

x2+2+3x+23=0x+2x+3=0x+2=0x=2x+3=0x=3


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=-2 و x=-3 می‌باشد.  

x23x4=0

x2+14x+14=0

x+1x4=0x+1=0x=1x4=0x=4


معادله فوق دارای دو ريشه ساده x=-1 و x=4 می‌باشد.  

x25x+6=0

x2+32x+32=0

x3x2=0x3=0x=3x2=0x=2

x27x+6=0

x2+16x+16=0

x1x6=0x1=0x=1x6=0x=6

x2x=12

x2x12=0


(x4)(x+3)=0


x4=0x=4x+3=0x=-3

x2+40=14x

x2+40+14x=0


(x+4)(x+10)=0


x+4=0x=-4x+10=0x=-10

3x2=2x+8

3x22x8=0


1333x22x8=0


139x26x24=0

133x2+-23x+4-6=0


133x+43x-6=0


(3x+4)(x2)=0


3x+4=0x=-43x-2=0x=2

1x+1=152x4

(x+1)(2x4)(1x+1)=(x+1)(2x4)(152x4)


2x4=(x+1)(2x4)5(x+1)


2x4=2x22x45x5


2x29x5=0

1222x29x5=0


124x218x10=0


122x2+-92x+-101=0


122x-102x+1=0


x-52x+1=0


2x+1=0x=-12x-5=0x=5

x+3+3x1=4xx1

(x1)(x+3+3x1)=(4xx1)(x1)


(x1)(x+3)+3=4x


x2+2x3+3=4x


x2+3x4=0


(x1)(x+4)=0


x-1=0x=1x+4=0x=-4

1x1+x=1x

1x=1x1+x


1x=1+x-x-xx


x2x=xx2x2=x2x2x2=x2

x35x2+4x=0xx25x+4=0xx4x1=0x=0x=4x=1


x=4 در معادله صادق نیست، بنابراین ریشه معادله نمی‌باشد.

5x4xx2=x4x2

5x4xx2x4x2=05x24xx4xx2=0


کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

5x104x2+4x=0x2+9x14=0


x29x+14=0x2x7=0x2=0x=2x7=0x=7


جواب x=2 قابل قبول نیست زیرا به‌ازای آن مخرج کسر صفر می‌شود.

3m+2+2m=4m4m24

3m+2+2m4m4m2m+2=0


3mm2+2m2m+2m4m4mm2m+2=0


کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

3m26m+2m244m2+4m=0


3m26m+2m284m2+4m=0


m22m8=0m+2m4=0m+2=0m=2m4=0m=4


جواب m=-2 قابل قبول نیست زیرا به‌ازای آن مخرج کسر صفر می‌شود.

تمرین

مجموع مربعات دو عدد فرد متوالی، 290 است.

این دو عدد را پیدا کنید.

2k+12+2k+32=290


4k2+4k+1+4k2+12k+9=290


8k2+16k280=08(k2+2k35)=08(k+7)(k5)=0k=7,k=5


k=7    ;    2k+1=2(7)+1=132k+3=2(7)+3=1111,13


k=5    ;    2k+1=2(5)+1=112k+3=2(5)+3=1311,13

تمرین

از دبیر ریاضی کلاس سنش را پرسیدند. پاسخ داد:

سال بعد، سن من‌ توان دوم سنی خواهد بود که سال پیش از  این داشتم.

این دبیر چند سال سن دارد؟

فرض کنیم سن فعلی دبیر ریاضی x باشد:

x+21=x212x+21=x242x+441

x243+420=0x28x15=0x28=0x=28x15=0x=15


این دبیر x=28 سال سن دارد.

تمرین

در ضرب دو عدد طبیعی که یکی از دیگری 10 واحد بزرگتر است، اشتباهی رخ می‌دهد.

در نتیجه رقم دهگان 4 واحد کوچکتر می‌شود.

برای آزمایش، حاصل ضرب را بر عدد کوچکتر تقسیم می‌کنند.

خارج قسمت 39 و باقیمانده آن 22 می‌شود.

آن دو عدد را پیدا کنید.

فرض کنیم عدد کوچک ‌تر x و عدد بزرگ ‌تر x+10 باشد.


حاصل‌ ضرب اشتباه 39x+22  است.


حاصل ‌ضرب واقعی 40 واحد از حاصل‌ ضرب به‌دست آمده بزرگ‌ تر است:

xx+10=39x+22+40x2+10x=39x+62

x229x62=0x31x+2=0x31=0x=31x+2=0x=2


عدد کوچک تر x=31 و عدد بزرگ تر x=41 است. 

تمرین

محیط یک زمین مستطیل شکل 18 متر و مساحت آن 14 متر مربع است.

اندازه طول و عرض این زمین را تعیین کنید.

محیط مستطیل P=18 است.


مساحت مستطیل S=14 است.


اگر x طول مستطیل و y عرض آن باشد، داریم:

P=182x+y=18x+y=9y=9x


S=14xy=14    ;    y=9xx9x=149xx2=14

x29x+14=0x7x2=0x=7y=2x=2y=7


طول مستطیل x=7 و عرض آن y=2 است.

تمرین

آقای عماد چند اسباب بازی یکسان برای هدیه به مهد کودک خرید که در مجموع قیمت آنها 12000 تومان شد.

اگر فروشنده برای هراسباب بازی 100 تومان به او تخفیف می‌داد، او با همان پول 4 اسباب بازی بیشتر می‌توانست بخرد.

قیمت هر اسباب بازی را قبل از تخفیف به‌دست آورید.

اگر x قیمت هر اسباب ‌بازی باشد.


 اگر y تعداد اسباب ‌بازی باشد.


حاصل ‌ضرب تعداد اسباب ‌بازی‌‌ها در قیمت هر یک از آنها معادل 12000 تومان است:

x.y=12000y=12000x


اگر فروشنده برای هر اسباب‌بازی 100 تومان به آقای عماد تخفیف دهد، یعنی قیمت هر اسباب‌بازی x-100 می‌شود.


آقای عماد با این تخفیف 4 اسباب‌بازی بیشتر می‌توانست بخرد یعنی y+4.

x100y+4=12000    ;    y=12000x

x10012000x+4=12000

x10012000+4xx=12000


1xx10012000+4x=12000


x10012000+4x=12000x


12000x+4x21/200/000400x=12000x


4x2400x1/200/000=0x2100x300/000=0

x+500x600=0x+500=0x=500x600=0x=600

نکته

برای تجزیه عبارات درجه دوم که ضرایب بزرگ دارند، به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

فرض کنید می‌خواهیم عبارت زیر را تجزیه کنیم:

5x2+93x+54

ضریب x2 یعنی عدد 5 را در 54 ضرب می‌کنیم:

54×5=270

ضریب x یعنی عدد 93 را به دو عدد می‌شکنیم که ضرب آنها عدد 270 باشد:

90×3=27090+3=93

بنابراین داریم:

5x2+93x+545x2+90x+3x+54=5x2+90x+3x+54=5xx+18+3x+18=x+185x+3

تمرین

معادلات درجه دوم زیر را با استفاده از تجزیه عبارات جبری حل کنید.

4x2+3x1=0

4x2+4xx1=04x2+4x+x1=0

4xx+1x+1=0x+14x1=0

x+1=0x=14x1=04x=1x=14

x1x+1=x1

x1x+1x1=0x1x+11=0

x1x=0x1=0x=1x=0

5x35x210x=0

5x(x2x2)=0


5x(x2)(x+1)=0


5x=0 x=0 x2=0x=2x+1=0x=1

52y6=10yy26y+9

52(y3)=10y(y3)2


(2)(y3)2(52(y3))=(10y(y3)2)(2)(y3)2


5(y3)=2(10y)


5y15=202y


7y=35


y=5


همان‌طور که مشاهده می‌کنید چون y=5  ریشه تساوی فوق است، بنابراین در این تساوی صدق می‌کند:

52(5)6=?105526(5)+954=54  OK

t1t+42t4=76

t1t+42t476=0


6t4t12×6t+47t+4t46t+4t4


کسری مساوی صفر است که صورتش مساوی صفر باشد:

6t25t+412t+47t216=0


6t230t+2412t487t2+112=0


t242t+88=0t2+42t88=0

t2t+44=0t2=0t=2t+44=0t=44

تمرین

if   x>0  ,  x0if  x+2x=2x+4x=?

روش اول - 

x+2x=2    ;    x=u>0


u2+2u=2


u2+2u+1=3


u+12=3


u+1=±3


u+1=3u=31u+1=3u=31


چون u>0 است، پس u=31 قابل قبول است:

u=31    ;    x=u


x=31


x2=312


x=323+1


x=423


x+4x=423+4423


x+4x=423+4423×4+234+23


x+4x=423+44+231612


x+4x=423+24+23  ;  4+23=3+12


x+4x=423+23+12


x+4x=423+23+1


x+4x=6


روش دوم - 

x+2x=2


xx+2=2


xx+2x=2x


x+2=2x


2x+4=4x


x+2x+4=x+4x


x+4x=2+4


x+4x=6

نکته

اگر x=a جواب معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 باشد، این جواب در معادله صدق می‌کند. 

تمرین

معادله درجه دوم زیر را حل کنید و جواب های آن را آزمایش کنید.

x23x=10

x23x10=0(x5)(x+2)=0x5=0x=5x+2=0x=2

x=2x23x10=0(2)23210=04+610=00=0


x=5x23x10=0(5)23510=0251510=00=0

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

حل معادله درجه دوم به فرم کامل (روش اتحادها یا تجزیه)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (1)

  • فاطمه ثنائی پور (فشم)
    28 اسفند 1402

    سلام خیلی ممنونم ازتون بسیار کاربردی و مفید بود