سرفصل‌های این مبحث

عبارات درجه دوم

مقدمه‌‌ ای بر معادله درجه دوم

آخرین ویرایش: 20 بهمن 1402
دسته‌بندی: عبارات درجه دوم
امتیاز:

مقدمه

صبا بعد از حل یک مسئله هندسه به نکته جالبی پی برد.

او پی برد که اضلاع مثلث در مسئله‌اش، سه عدد متوالی 5,4,3 هستند و این مثلث، قائم‌الزاویه است.

از خواهر بزرگ‌تر خود، درسا سوال کرد که آیا می‌توان مثلث قائم‌الزاویه دیگری پیدا کرد که اضلاع آن سه عدد متوالی دیگر باشند؟

در پاسخ به این سوال، درسا مثلث قائم‌الزاویه ای رسم کرد.

طول کوچک‌ ترین ضلع آن را x و طول اضلاع دیگر را اعداد متوالی بعد از x یعنی x+1 و x+2 در نظر گرفت:

و به‌کمک رابطه فیثاغورس، رابطه زیر را بین سه ضلع مثلث به‌دست آورد:

x2+x+12=x+22

اکنون او می‌خواست معادله به‌دست آمده را حل کند، یعنی مقادیری برای x پیدا کند که تساوی بالا برقرار شود.

برای این کار معادله بالا را ساده کرد:

x2+x+12=x+22

x2+x2+2x+1=x2+4x+4

x22x3=0

هر معادله به فرم  بالا را که پس از ساده شدن، بزرگ‌ترین توان متغیر آن 2 باشد، معادله درجه دوم می‌نامیم.

تمرین

زمینی مستطیل شکل به مساحت 600 متر مربع را با 100 متر نرده محصور کرده‌ایم،طول و عرض زمین را به‌دست آورید.

معادله درجه دوم - پیمان گردلو


اگر طول و عرض این زمین بر حسب متر x و y در نظر گرفته شود، داریم:

xy=6002x+y=100


از معادله دوم نتیجه می‌شود y=50x و با جایگذاری در معادله اول داریم:

x50x=600x250x+600=0

 
معادله فوق یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

محیط مربعی را به‌دست آورید که قطر آن 25 است.

شکل زیر را در نظر بگیرید:



به کمک رابطۀ فیثاغورث، داریم:

x2+x2=25        2x2=25          2x2-25=0    


معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

در شکل فوق، طول تمام پاره خط ها به جزء دو پاره خط مشخص شده در شکل، برابر x است.

اگر اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن باشد.

مقدار x را به‌دست آورید.

اگر مساحتِ شکل را با S نمایش دهیم، مساحت هر مربع x2 است.


مساحت S، هشت تا از این مربع ها می‌باشد، بنابراین داریم:



S=8x2


اگر محیطِ شکل را با P نمایش دهیم، داریم:


P=22x


چون اندازه مساحت شکل، برابر با اندازه محیط آن می‌باشد، داریم:


S=P8x2=22x8x2-22x=0


معادلۀ فوق، یک معادله درجه دوم است که پس از یاد گرفتن روش‌های حل معادله های درجه دوم، می‌توانیم آن را حل کنیم.

تعریف معادله درجه دوم

فرم كلی هر معادله درجه دوم به‌صورت زیر است: 

ax2+bx+c=0

كه در آن c,b,a اعداد حقیقی هستند و بالاترین توان x از درجۀ دوم می‌باشد.

در معادله فوق a0 است، زیرا در غیر این صورت معادله درجه دوم به معادله درجه اول تبدیل می شود.

تمرین

تعیین کنید که کدام‌یک از معادلات زیر، معادله درجه دوم هستند.

3x1x+2=6

   3x2+6xx2=6   3x2+6xx26=0    3x2+5x8=0


معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در می‌آید:

3x2+5x8=0

که یک معادله درجه دوم است. 

2x+1x1=2x2+3

2x22x+x1=2x2+3x4=0


معادله فوق پس از ساده سازی، به شکل در می‌آید:

x4=0

که یک معادله درجه اول است. 

نکته

معادله درجه دوم زیر مفروض است:

ax2+bx+c=0

اگر x=a جواب معادله درجه دوم باشد، در معادله فوق صدق می‌کند. 

تمرین

نشان دهید کدام یک از اعداد زیر در معادلاتشان صدق می‌کند.

x29=0 ; x=3

329=?099=00=0  OK

t2+3t10=4+8t ; t=7

(7)2+3(7)10=?4+8(7)60=60  OK

تمرین

معادله زیر را در نظر بگیرید:

x2+x1=0

اگر α و β ریشه های معادله فوق  باشند و بدانیم:

α6+β6=18α7+β7=29

حاصل عبارت زیر را بیاید.

α8+β8

اگر α و β ریشه های معادله فوق  باشند، بنابراین در معادله درجه دوم صدق می‌کنند:

α2+α1=0β2+β1=0


طرفین تساوی اولی را در α6 و طرفین تساوی دومی را در β6 ضرب می‌کنیم:

α8+α7α6=0β8+β7β6=0


طرفین تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

α8+β8+α7+β7α6+β6=0

α8+β8+2918=0α8+β8=47

تمرین

معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

x25x8=0

اگر α ریشه معادله فوق  باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.

α5α2α+4

x=α به‌عنوان ریشه معادله، در معادله صادق است:

x25x8=0    ;    x=αα25α8=0αα5=8α5=8α


برای محاسبه عبارت زیر، داریم:

α5α2α+4=8αα2α+4=8αα2+2α8


می‌دانیم:

α25α8=0α28=5αα2+2α8=5α+2αα2+2α8=7α


بنابراین داریم:

8αα2+2α8=8α×7α=56

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تعداد نظرهای ثبت شده (2)

  • فاطمه ثنائی پور (فشم)
    28 اسفند 1402

    خیلی مفید بود و تمرین ها عالی بود

  • فاطمه ثنائی پور (فشم)
    27 اسفند 1402

    بسیار مفید بود ❤️
    در کل بسیار خوشحالم از اینکه چنین پلتفرمی هست و لایق بودم که بتونم ازش استفاده کنم❤️