برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

  • مقدمه‌‌ ای بر رادیکال
  • تعریف ریشه
  • قانون اول
  • قانون دوم
  • قانون سوم
  • قانون چهارم
  • قانون پنجم
  • قانون ششم
  • قانون هفتم
  • قانون هشتم
  • نکات مربوط به رادیکال
  • قدرمطلق و رادیکال
  • جمع جبری رادیکال‌ ها
  • گویا كردن مخرج كسرها
  • رادیكال مركب
  • معادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)
  • نامعادلات رادیكالی (اصم یا گنگ)

تعریف ریشه

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:

فرض کنیم x عددی حقیقی و n>1 عددی طبیعی باشد.

منظور از ریشه n ام x که آن را با x 1n یا xn نشان می‌دهند، عددی حقیقی مانند y است که به ازای آن داشته باشیم yn=x.

در عبارتxn عدد n را فرجه می‌نامند، لذا می‌توان گفت:

xn=yyn=x

به نمونه‌های زیر توجه کنید:

                       32=93=921104=110000110=1100004                 53=1255=1253       43=644=643

در تعریف فوق چند نکته نهفته است که به آنها اشاره می‌کنیم:

حالت اول) فرجه رادیکال زوج باشد:

در y=xn اگر n زوج باشد، x نمی‌تواند منفی باشد، به عبارتی دیگر ریشه زوج اعداد منفی در محدوده اعداد حقیقی قابل تعریف نیست.

برای نمونه تمام اعداد و عبارات رادیکالی زیر، در مجموعه اعداد حقیقی R بی‌معنی هستند.

4                  x2+144  ,    xR816              24k452020

تمرین

تعيين كنيد كدام‌يک از عبارت های راديكالی زير در مجموعه اعداد حقيقی بی معنی است.

2100101

=2100101R

در R معنی دار است.

2101100

=2101100R

در R بی معنی است.

22n2n

=2=2R

در R معنی دار است.

x2+14

x2+14R

در R بی معنی است.

دریافت مثال

تذکر

1- قرارداد می‌کنیم که اگر n=2 باشد، مقدار فرجه را ننویسیم، یعنی x2=x و به خاطر داشته باشید که:

0n=01n=1            ;    nN1n=1    ;    n=2k+1


2-
 اگر چه برای نمونه 32=32=9 است ولی قرار می‌گذاریم که بنویسیم 92=3 .
یعنی حاصل ریشه زوج یک عدد غیر منفی، همواره عددی غیر منفی است و هرگز نمی نویسیم 92=-3 و برای حل این مشکل از a2=a استفاده می‌کنیم.

تمرین

با استفاده از مطلب فوق، در تساوی‌ها زیر داریم:

62=6=6=6b4c4=b2c22=b2c2=b2c2a8=a42=a4=a4

تمرین

درستی تساوی ‌های زیر را با محاسبه‌ طرفین تساوی توضیح دهید.

32=3

32=9=33=3=332=3

52=5

52=25=55=552=5

42=42=4=4

42=16=442=16=44=4=44=442=42=4=4

دریافت مثال

حالت دوم) فرجه رادیکال فرد باشد:

اگر n فرد باشد، علاوه بر اعداد مثبت، اعداد منفی هم زیر رادیکال با فرجه فرد قابل تعریف هستند، مثلا 83=2.

تمرین

با استفاده از مطلب فوق، در تساوی‌ها زیر داریم:

1253=533=5×5×53=5a33=a×a×a3=ab63=b233=b2×b2×b23=b2x4x53=x93=x333=x3×x3×x33=x3

نکته

رادیکال گنگ یا اصم

اگر توانِ اعداد و یا عبارات جبری زیر رادیکال، مضرب صحیحی از فرجه رادیکالی نباشند، آن رادیکال را گنگ یا اصم می‌نامند، مانند:

2  ,  93  ,  345  ,  x2+1  ,  27574

نکته

رادیکال بی‌معنی در حوزه اعداد حقیقی

اگر فرجه رادیکال عددی زوج و عدد یا عبارت زیر رادیکال همواره منفی باشد، در این صورت آن عدد یا عبارت رادیکالی در مجموعه اعداد حقیقی بی‌معنی است. 
عبارات رادیکال زیر در مجموعه اعداد حقیقی، همگی بی‌معنی هستند:

4  ,  816     ,    52020  ,     24k4  ,     x2+144  ,  xR

تمرین

حاصل عبارت های زير را درصورت وجود بيابيد.

83

83=223=8

325

325=225=32

646

646=226=64

1325

=1255=12

33381

=349=329=99=0

2+83

=2+2=0

2528146254

=252344544=2535=1035=2

59+242332+2964

=532+242332+23282=53+2433+238=12

7×49232+1031149

=7232232+10311232=72323+1031123=14323+103223=142+10223=03=0

20.1251100+40.2570.09

=2110251102+42510079100=2110251102+4510273102=21105110+45107310=210510+20102110=25+202110=410=25

394322294+9234

=33223222322+322322=33232232+3232=92323+3232=0

742524+4422

=74522+422=2820+162=22

تمرین

المپیاد مقدماتی ریاضی

کدام‌یک از اعداد زیر از دیگری بزرگ‌تر است:

31042203

44=25644×10=256074=2401


2560>2401


44×10>74


10>7444


10>744


104>74


3104>374


43=6443×20=64×2043×20=1280113=1331


1280<1331


43×20<1331


43×20<113


20<11343


20<1143


203<114


2203<2114


3104>3742203<2114


37>211374>2114


3104>374>2114>22033104>2203

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تعریف ریشه

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری