تعریف ریشه

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: رادیکال
امتیاز:
بازدید: 78 مرتبه

فرض کنیم x عددی حقیقی و n>1 عددی طبیعی باشد.

منظور از ریشه n ام x که آن را با x 1n یا xn نشان می‌دهند، عددی حقیقی مانند y است که به ازای آن داشته باشیم yn=x.

در عبارتxn عدد n را فرجه می‌نامند، لذا می‌توان گفت:

xn=yyn=x

به نمونه‌های زیر توجه کنید:

                       32=93=921104=110000110=1100004                 53=1255=1253       43=644=643

در تعریف فوق چند نکته نهفته است که به آنها اشاره می‌کنیم:

حالت اول) فرجه رادیکال زوج باشد:

در y=xn اگر n زوج باشد، x نمی‌تواند منفی باشد، به عبارتی دیگر ریشه زوج اعداد منفی در محدوده اعداد حقیقی قابل تعریف نیست.

برای نمونه تمام اعداد و عبارات رادیکالی زیر، در مجموعه اعداد حقیقی R بی‌معنی هستند.

4                  x2+144  ,    xR816              24k452020

دریافت مثال

تذکر

1- قرارداد می‌کنیم که اگر n=2 باشد، مقدار فرجه را ننویسیم، یعنی x2=x و به خاطر داشته باشید که:

0n=01n=1            ;    nN1n=1    ;    n=2k+1


2-
 اگر چه برای نمونه 32=32=9 است ولی قرار می‌گذاریم که بنویسیم 92=3 .
یعنی حاصل ریشه زوج یک عدد غیر منفی، همواره عددی غیر منفی است و هرگز نمی نویسیم 92=-3 و برای حل این مشکل از a2=a استفاده می‌کنیم.

تمرین

با استفاده از مطلب فوق، در تساوی‌ها زیر داریم:

62=6=6=6b4c4=b2c22=b2c2=b2c2a8=a42=a4=a4

دریافت مثال

حالت دوم) فرجه رادیکال فرد باشد:

اگر n فرد باشد، علاوه بر اعداد مثبت، اعداد منفی هم زیر رادیکال با فرجه فرد قابل تعریف هستند، مثلا 83=2.

تمرین

با استفاده از مطلب فوق، در تساوی‌ها زیر داریم:

1253=533=5×5×53=5a33=a×a×a3=ab63=b233=b2×b2×b23=b2x4x53=x93=x333=x3×x3×x33=x3

نکته

رادیکال گنگ یا اصم

اگر توانِ اعداد و یا عبارات جبری زیر رادیکال، مضرب صحیحی از فرجه رادیکالی نباشند، آن رادیکال را گنگ یا اصم می‌نامند، مانند:

2  ,  93  ,  345  ,  x2+1  ,  27574

نکته

رادیکال بی‌معنی در حوزه اعداد حقیقی

اگر فرجه رادیکال عددی زوج و عدد یا عبارت زیر رادیکال همواره منفی باشد، در این صورت آن عدد یا عبارت رادیکالی در مجموعه اعداد حقیقی بی‌معنی است. 
عبارات رادیکال زیر در مجموعه اعداد حقیقی، همگی بی‌معنی هستند:

4  ,  816     ,    52020  ,     24k4  ,     x2+144  ,  xR

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تعریف ریشه

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید