سرفصل‌های این مبحث

رادیکال

قانون اول رادیکال

آخرین ویرایش: 14 خرداد 1404

دسته‌بندی: رادیکال

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

یادآوری

خیلی خوش اومدی به یه گوشه کوچیکی از دنیای بزرگ ما!

برای دسترسی رایگان به ۱۲۶,۰۰۰ محتوای آموزشی در این سایت، فقط این ۳ تا قدم ساده رو بردار و از این اقیانوس عظیم اطلاعات لذت ببر.

قدم اول) یه لحظه وقت بذار و رایگان تو سایت ثبت‌نام کن، کلی چیزای خوب منتظرته، پس معطل نکن

قدم دوم) یه سر به پیج اینستاگراممون بزن و فالو کن! اسم و فامیلِ شریفتو که باهاش تو سایت ثبت نام کردی رو تویه دایرکت برامون بفرست، منتظرت هستیم.

قدم سوم) کار تمومه، حداکثر ۱۲ ساعت دیگه، می‌تونی به کل محتوای سایت دسترسی داشته باشی، پس آماده باش!

ما به قولمون پایبندیم!

اگه به هر دلیلی محتوایی که قول دادیم برات فعال نشد، راحت باش! می‌تونی خیلی ساده ما رو آنفالو کنی، بدون هیچ دردسری

بیا با هم یه جامعه‌ی بزرگ ریاضی بسازیم! توی یه بستر اجتماعی، عدالت آموزشی رو گسترش بدیم و دست دانش‌آموزای کم‌بضاعت رو بگیریم. با هم تأثیرگذار باشیم!

مقدمه

توان‌ های كسری تعمیمی از توان های صحیح اند و قواعد محاسبه آنها نباید طوری باشد كه با دانسته های قبلی ما از قواعد توان، در تضاد باشد.

به عبارت دیگر تمام قواعدی كه در محاسبه با توان‌ های صحیح گفته شد، برای محاسبه با توان‌های كسری نیز برقرار است.

$\begin{array}{l} 2^{3} \times 5^{3} = {(2 \times 5)}^{3} = 10^{3} \end{array}$

$2^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} = {(2 \times 5)}^{\frac{1}{3}} = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10}$

تعریف

قضیه

حاصل‌ضرب دو رادیکال با فرجه برابر

اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی ، $\sqrt[n]{a}$ و $\sqrt[n]{b}$ قابل تعریف باشند، آنگاه:

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$

این قضیه بیان می‌كند كه رادیكال های هم فرجه را می‌توان درهم ضرب كرد.

اثبات

$\sqrt[n]{a^{1}} . \sqrt[n]{b^{1}} = a^{\frac{1}{n}} . b^{\frac{1}{n}} = {(a . b)}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{{(a b)}^{1}} = \sqrt[n]{a b}$

به‌عنوان نمونه، جدول زیر را کامل می‌کنیم:

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بر طبق قضیه فوق و جدول بالا جواب ‌های هر دو سطر برابرند.

با انتخاب چند عدد دیگر برای $a$ و $b$ داریم:

تمرین

حاصل ضرب عبارات راديكالی زير را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \sqrt{28} \times \sqrt{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{28 \times 7} \\ = \sqrt{196} \\ = \sqrt{{(14)}^{2}} \\ = 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{36} \times \sqrt[3]{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{36 \times 6} \\ = \sqrt[3]{216} \\ = \sqrt[3]{{(6)}^{3}} \\ = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{\frac{8}{27}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{8}{27}} \\ = \sqrt{\frac{4}{9}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2}} \\ = \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{0 / 01} \times \sqrt[3]{0 / 8} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{0 / 01 \times 0 / 8} \\ = \sqrt[3]{0 / 008} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{{(0 / 2)}^{3}} \\ = 0 / 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (3 \times 2) \times \sqrt{2 \times 3} \\ = 6 \sqrt{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 3 \sqrt{5} \times (- 2 \sqrt{20}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(- 3) \times (- 2)] \times \sqrt{5 \times 20} \\ = 6 \sqrt{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 6 \sqrt{{(10)}^{2}} \\ = 6 \times 10 \\ = 60 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{2} \times \sqrt{18} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 \times 18} \\ = \sqrt{36} \\ = \sqrt{6^{2}} \\ = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{\frac{2}{3}} \times \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{5}{7}} \times \sqrt{14} \times \sqrt{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{\frac{2}{3} \times 6 \times \frac{5}{7} \times 14 \times 10} \\ = \sqrt{2 \times 2 \times 5 \times 2 \times 10} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{20 \times 20} \\ = \sqrt{20^{2}} \\ = 20 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{a^{4} b^{3}} \times \sqrt[3]{a^{2} b} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt[3]{(a^{4} b^{3}) \times (a^{2} b)} \\ = 2 \sqrt[3]{(a^{6} b^{3}) \times b} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt[3]{{(a^{2} b)}^{3}} \times \sqrt[3]{b} \\ = 2 a^{2} b \sqrt[3]{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{4} \times (- 3) \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [2 \times (- 3)] \times \sqrt[3]{4 \times 2} \\ = - 6 \sqrt[3]{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 6 \sqrt[3]{{(2)}^{3}} \\ = - 6 \times 2 \\ = - 12 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{2 b^{2}} \times \sqrt[3]{4 b^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{(2 b^{2}) \times (4 b^{4})} \\ = \sqrt[3]{8 b^{6}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{{(2 b^{2})}^{3}} \\ = 2 b^{2} \end{array}$

تمرین

عبارات راديكالی زير را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 16} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{- 8 \times 2} \\ = \sqrt[3]{- 8} \times \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} \times \sqrt[3]{2} \\ = - 2 \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{54} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{27 \times 2} \\ = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{{(3)}^{3}} \times \sqrt[3]{2} \\ = 3 \sqrt[3]{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{150} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \times \sqrt{25 \times 6} \\ = 2 \times \sqrt{25} \times \sqrt{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \times 5 \times \sqrt{6} \\ = 10 \sqrt{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{0 / 003} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{3 \times (0 / 001)} \\ = \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{0 / 001} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{{(0 / 1)}^{3}} \\ = \sqrt[3]{3} \times (0 / 1) \\ = 0 / 1 \sqrt[3]{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{128 a^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{(2 \times 64) \times (a^{4} \times a)} \\ = \sqrt{64 \times a^{4}} \times \sqrt{2 \times a} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (8 \times a^{2}) \times \sqrt{2 a} \\ = 8 a^{2} \sqrt{2 a} \end{array}$

تمرین

درستی تساوی‌ های زیر را نشان دهید.

$\sqrt{2} \times \sqrt{32} = 8$

$\begin{array}{l} \sqrt{2} \times \sqrt{32} \\ = \sqrt{2 \times 32} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{64} \\ = 8 \end{array}$

$\sqrt[3]{- 9} \times \sqrt[3]{3} = - 3$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 9} \times \sqrt[3]{3} \\ = \sqrt[3]{- 9 \times 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{- 27} \\ = - 3 \end{array}$

$\sqrt[3]{b a^{2}} \times \sqrt[3]{a b^{2}} = a b$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{b a^{2}} \times \sqrt[3]{a b^{2}} \\ = \sqrt[3]{(b a^{2}) (a b^{2})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{a^{3} . b^{3}} \\ = \sqrt[3]{{(a b)}^{3}} \\ = a b \end{array}$

${(\sqrt[3]{a})}^{2} = \sqrt[3]{a^{2}}$

$\begin{array}{l} {(\sqrt[3]{a})}^{2} \\ = (\sqrt[3]{a}) (\sqrt[3]{a}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{a . a} \\ = \sqrt[3]{a^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{0 / 2} \times \sqrt{0 / 18} \end{array} = \frac{6}{10} \sqrt{\frac{1}{10}}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt{0 / 2} \times \sqrt{0 / 18} \end{array} \\ \begin{array}{l} = \sqrt{\frac{2}{10} \times \frac{18}{100}} \\ = \sqrt{\frac{36}{1000}} \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{\frac{1}{10} \times \frac{36}{100}} \\ = \sqrt{\frac{1}{10} \times {(\frac{6}{10})}^{2}} \\ = \frac{6}{10} \sqrt{\frac{1}{10}} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 5 \sqrt{6} \times (- 2) \sqrt{18} \end{array} = 60 \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 5 \sqrt{6} \times (- 2) \sqrt{18} \end{array} \\ = [(- 5) \times (- 2)] \times \sqrt{6 \times 18} \\ = 10 \sqrt{108} \\ = 10 \sqrt{36 \times 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 10 \times \sqrt{36} \times \sqrt{3} \\ = 10 \times \sqrt{{(6)}^{2}} \times \sqrt{3} \\ = 10 \times 6 \times \sqrt{3} \\ = 60 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} - 3 \sqrt{5} \times (- 2 \sqrt{20}) \end{array} = 60$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 3 \sqrt{5} \times (- 2 \sqrt{20}) \end{array} \\ = [(- 3) \times (- 2)] \times \sqrt{5 \times 20} \\ = 6 \sqrt{100} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 6 \sqrt{{(10)}^{2}} \\ = 6 \times 10 \\ = 60 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{- 2} \times \sqrt[3]{5} \end{array} = \sqrt[3]{- 10}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt[3]{- 2} \times \sqrt[3]{5} \end{array} \\ = \sqrt[3]{(- 2) \times 5} \\ = \sqrt[3]{- 10} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt{14} \times \sqrt{7} \times \sqrt{2} \end{array} = 14$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt{14} \times \sqrt{7} \times \sqrt{2} \end{array} \\ = \sqrt{14 \times 7 \times 2} \\ = \sqrt{14 \times 14} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{14^{2}} \\ = 14 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}} \times \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} \end{array} = 4$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}} \times \sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} \end{array} \\ = \sqrt[3]{(9 - \sqrt{17}) \times (9 + \sqrt{17})} \\ = \sqrt[3]{{(9)}^{2} - {(\sqrt{17})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{81 - 17} \\ = \sqrt[3]{64} \\ = \sqrt[3]{4^{3}} \\ = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{3} \times \sqrt[5]{9} \times \sqrt[5]{\frac{3}{5}} \times \sqrt[5]{\frac{5}{9}} \times \sqrt[5]{27} \end{array} = 3$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt[5]{3} \times \sqrt[5]{9} \times \sqrt[5]{\frac{3}{5}} \times \sqrt[5]{\frac{5}{9}} \times \sqrt[5]{27} \end{array} \\ = \sqrt[5]{3 \times 9 \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} \times 27} \\ = \sqrt[5]{9 \times 27} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[5]{3^{2} \times 3^{3}} \\ = \sqrt[5]{3^{5}} \\ = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt{a^{4} b} \times 3 \sqrt{a^{2} b^{3}} \end{array} = 6 a^{3} b^{2}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 \sqrt{a^{4} b} \times 3 \sqrt{a^{2} b^{3}} \end{array} \\ = (2 \times 3) \times \sqrt{(a^{4} b) \times (a^{2} b^{3})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 6 \sqrt{a^{6} b^{4}} \\ = 6 \sqrt{{(a^{3} b^{2})}^{2}} \\ = 6 a^{3} b^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a b c} \times \sqrt[3]{a^{2} b^{5} c^{8}} \end{array} = a b^{2} c^{3}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt[3]{a b c} \times \sqrt[3]{a^{2} b^{5} c^{8}} \end{array} \\ = \sqrt[3]{a b c \times a^{2} b^{5} c^{8}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{a^{3} \times b^{6} \times c^{9}} \\ = \sqrt[3]{{(a b^{2} c^{3})}^{3}} \\ = a b^{2} c^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{a^{4} b^{3}} \times \sqrt[3]{a^{2} b} \end{array} = 2 a^{2} b \sqrt[3]{b}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 \sqrt[3]{a^{4} b^{3}} \times \sqrt[3]{a^{2} b} \end{array} \\ = 2 \sqrt[3]{(a^{4} b^{3}) \times (a^{2} b)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2 \sqrt[3]{(a^{6} b^{3}) \times b} \\ = 2 \sqrt[3]{{(a^{2} b)}^{3}} \times \sqrt[3]{b} \\ = 2 a^{2} b \sqrt[3]{b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a^{2} + b^{2}} \times \sqrt[3]{a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}} \end{array} = a^{2} + b^{2}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \sqrt[3]{a^{2} + b^{2}} \times \sqrt[3]{a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}} \end{array} \\ = \sqrt[3]{(a^{2} + b^{2}) (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{(a^{2} + b^{2}) {(a^{2} + b^{2})}^{2}} \\ = \sqrt[3]{{(a^{2} + b^{2})}^{3}} \\ = a^{2} + b^{2} \end{array}$

$\sqrt[3]{a^{2} b c} \times \sqrt[3]{a b^{2} c} \times \sqrt[3]{c} = a b c$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a^{2} b c} \times \sqrt[3]{a b^{2} c} \times \sqrt[3]{c} \\ = \sqrt[3]{a^{2} b c \times a b^{2} c \times c} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{a^{3} b^{3} c^{3}} \\ = \sqrt[3]{{(a b c)}^{3}} \\ = a b c \end{array}$

$\sqrt[5]{a^{2} b^{3}} \times \sqrt[5]{a^{3} b^{2}} = a b$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{a^{2} b^{3}} \times \sqrt[5]{a^{3} b^{2}} \\ = \sqrt[5]{a^{2} b^{3} \times a^{3} b^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[5]{a^{5} b^{5}} \\ = \sqrt[5]{{(a b)}^{5}} \\ = a b \end{array}$

$\sqrt[7]{a^{2} b^{3} c} \times \sqrt[7]{a^{3} b^{2} c^{4}} \times \sqrt[7]{a^{2} b^{2} c^{2}} = a b c$

$\begin{array}{l} \sqrt[7]{a^{2} b^{3} c} \times \sqrt[7]{a^{3} b^{2} c^{4}} \times \sqrt[7]{a^{2} b^{2} c^{2}} \\ = \sqrt[7]{a^{2} b^{3} c \times a^{3} b^{2} c^{4} \times a^{2} b^{2} c^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[7]{a^{7} b^{7} c^{7}} \\ = \sqrt[7]{{(a b c)}^{7}} \\ = a b c \end{array}$

$\sqrt[3]{a - b} \times \sqrt[3]{a^{2} + a b + b^{2}} \times \sqrt[3]{{(a^{3} - b^{3})}^{2}} = (a^{3} - b^{3})$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{a - b} \times \sqrt[3]{a^{2} + a b + b^{2}} \times \sqrt[3]{{(a^{3} - b^{3})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) {(a^{3} - b^{3})}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[3]{(a^{3} - b^{3}) {(a^{3} - b^{3})}^{2}} \\ = \sqrt[3]{{(a^{3} - b^{3})}^{3}} \\ = (a^{3} - b^{3}) \end{array}$

$\sqrt[4]{\sqrt{2} - 1} \times \sqrt[4]{\sqrt{2} + 1} = 1$

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1} \times \sqrt[4]{\sqrt{2} + 1} \\ = \sqrt[4]{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} \\ = \sqrt[4]{{(\sqrt{2})}^{2} - {(1)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[4]{2 - 1} \\ = \sqrt[4]{1} \\ = 1 \end{array}$

$\sqrt[4]{x^{4} - x^{2} + 1} \times \sqrt[4]{(x^{2} + 1) {(x^{6} + 1)}^{2}} = \sqrt[4]{{(x^{6} + 1)}^{3}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{x^{4} - x^{2} + 1} \times \sqrt[4]{(x^{2} + 1) {(x^{6} + 1)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[4]{(x^{2} + 1) (x^{4} - x^{2} + 1) {(x^{6} + 1)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[4]{(x^{6} + 1) {(x^{6} + 1)}^{2}} \\ = \sqrt[4]{{(x^{6} + 1)}^{3}} \end{array}$

$\sqrt[7]{a^{4} b^{5}} \times \sqrt[7]{a^{3} b c^{3}} \times \sqrt[7]{b c^{4}} = a b c$

$\begin{array}{l} \sqrt[7]{a^{4} b^{5}} \times \sqrt[7]{a^{3} b c^{3}} \times \sqrt[7]{b c^{4}} \\ = \sqrt[7]{a^{4} b^{5} \times a^{3} b c^{3} \times b c^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[7]{a^{7} \times b^{7} \times c^{7}} \\ = \sqrt[7]{{(a b c)}^{7}} \\ = a b c \end{array}$

$\frac{\sqrt[5]{30} \times \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{3} \times \sqrt[5]{5}} = 2$

$\begin{array}{l} \frac{\sqrt[5]{30} \times \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{3} \times \sqrt[5]{5}} \\ = \frac{\sqrt[5]{30 \times 16}}{\sqrt[5]{3 \times 5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[5]{\frac{30 \times 16}{3 \times 5}} \\ = \sqrt[5]{\frac{32}{1}} \\ = \sqrt[5]{2^{5}} \\ = 2 \end{array}$

${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} (5 + 2 \sqrt{6}) = 1$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} (5 + 2 \sqrt{6}) \\ = (3 - 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2) (5 + 2 \sqrt{6}) \\ = (5 - 2 \sqrt{6}) (5 + 2 \sqrt{6}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(5)}^{2} - {(2 \sqrt{6})}^{2} \\ = (25) - (4 \times 6) \\ = 1 \end{array}$

${(\sqrt{3} - \sqrt{5})}^{2} + 2 \sqrt{15} = 8$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{3} - \sqrt{5})}^{2} + 2 \sqrt{15} \\ = (3 - 2 \sqrt{3} \sqrt{5} + 5) + 2 \sqrt{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (8 - 2 \sqrt{15}) + 2 \sqrt{15} \\ = 8 \end{array}$

${(\sqrt{3} - \sqrt{7})}^{2} (10 - 2 \sqrt{21}) {(10 + 2 \sqrt{21})}^{2} = 256$

$\begin{array}{l} {(\sqrt{3} - \sqrt{7})}^{2} (10 - 2 \sqrt{21}) {(10 + 2 \sqrt{21})}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (3 - 2 \sqrt{3} \sqrt{7} + 7) (10 - 2 \sqrt{21}) {(10 + 2 \sqrt{21})}^{2} \end{array}$

$= (10 - 2 \sqrt{21}) (10 - 2 \sqrt{21}) {(10 + 2 \sqrt{21})}^{2}$

$\begin{array}{l} = {(10 - 2 \sqrt{21})}^{2} {(10 + 2 \sqrt{21})}^{2} \\ = {[(10 - 2 \sqrt{21}) (10 + 2 \sqrt{21})]}^{2} \\ = {[100 - {(2 \sqrt{21})}^{2}]}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = {(100 - 4 \times 21)}^{2} \\ = {(100 - 84)}^{2} \\ = {(16)}^{2} \\ = 256 \end{array}$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \times \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = 1$

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \times \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times [(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}) \times (\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}})] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times [\sqrt{(2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}) \times (2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}})}] \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times (\sqrt{4 - (2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \times \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{4 - (2 + \sqrt{3})} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 - \sqrt{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{4 - 3} \\ = 1 \end{array}$

تمرین

مجموع ارقام حاصل عبارت زیر را بیابید.

$A = \sqrt{1.111.111.111 - 22.222}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{(1.111.100.000 + 11.111) - 2 (11.111)}; a = 11.111 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{(a 00.000 + a) - 2 (a)} \\ \Rightarrow A = \sqrt{a 00.001 - 2 a} \\ \Rightarrow A = \sqrt{99999 a} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \sqrt{9 (11.111) a}; a = 11.111 \\ \Rightarrow A = \sqrt{9 (a) a} \\ \Rightarrow A = \sqrt{9 a^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 3 a \\ \Rightarrow A = 3 (11.111) \\ \Rightarrow A = 33.333 \end{array}$

مجموع ارقام $15$ می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

در قضیه فوق بیان کردیم $\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$

عكس قضیه فوق در حالت كلی برقرار نیست، یعنی تساوی $\sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b}$ همواره برقرار نیست.

به‌عنوان نمونه:

$\sqrt{(- 2) (- 3)} \neq \sqrt{- 2} \times \sqrt{- 3}$

تمرین

درستی تساوی های زیر را بررسی کنید.

$\sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$

$\begin{array}{l} \sqrt{300} \\ = \sqrt{100 \times 3} \\ = \sqrt{100} \times \sqrt{3} \\ = 10 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{243} = 3 \sqrt[4]{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{243} \\ = \sqrt[4]{81 \times 3} \\ = \sqrt[4]{81} \times \sqrt[4]{3} \\ = \sqrt[4]{3^{4}} \times \sqrt[4]{3} \\ = 3 \sqrt[4]{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{(a + b)}^{4}} = (a + b) \sqrt[3]{a + b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{(a + b)}^{4}} \\ = \sqrt[3]{{(a + b)}^{3} \times (a + b)} \\ = \sqrt[3]{{(a + b)}^{3}} \times \sqrt[3]{(a + b)} \\ = (a + b) \sqrt[3]{a + b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{a^{7} \times b^{6} \times c^{10}} = a b c^{2} \sqrt[5]{a^{2} \times b} \end{array}$

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{a^{7} \times b^{6} \times c^{10}} \\ = \sqrt[5]{a^{5} \times a^{2} \times b^{5} \times b \times {(c^{2})}^{5}} \\ = \sqrt[5]{a^{5} \times b^{5} \times {(c^{2})}^{5}} \times \sqrt[5]{a^{2} \times b} \\ = a b c^{2} \sqrt[5]{a^{2} \times b} \end{array}$

$\sqrt[70]{x^{74} \times y^{75}} = x y \sqrt[70]{x^{4} \times y^{5}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[70]{x^{74} \times y^{75}} \\ = \sqrt[70]{x^{70} \times x^{4} \times y^{70} \times y^{5}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sqrt[70]{x^{70} \times y^{70}} \times \sqrt[70]{x^{4} \times y^{5}} \\ = x y \sqrt[70]{x^{4} \times y^{5}} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

قانون اول

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

رادیکال

قانون اول رادیکال

مقدمه

تعریف

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟