قاعده ادغام در سری

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

قضیه

قاعده ادغام در سری

اگر f تابعی بر مجموعه اعداد طبیعی باشد، داریم:

k=1nfkfk+1=f1fn+1

اثبات

Sn=k=1nfkfk+1Sn=f1f2+f2f3+f3f4+...+fnfn+1Sn=f1fn+1

رابطه فوق، قاعده مهمی است که در تعیین همگرایی بعضی از سری ها به کار می‌رود.

تذکر

S=limn+Sn=limn+f1fn+1=f1limn+fn+1

تمرین

با استفاده از قاعده ادغام، همگرایی سری زیر را بررسی کنید.

k=1n14k14k+1

یادآوری می‌کنیم که:

k=1nfkfk+1=f1fn+1

بنابه قاعده ادغام با فرض fk=14k می‌توان نوشت:

Sn=k=1n14k14k+1Sn=f1fn+1    ;    fk=14kSn=1414n+1limn+Sn=limn+1414n+1limn+Sn=141limn+Sn=140limn+Sn=14S=14

اين سری به عدد 14 همگراست.

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+m=Ak+Bk+m1kk+m=1mk+1mk+m   ;   A=1mB=1m1kk+m=1m1k1k+mk=1+1kk+m=k=1+1m1k1k+m

k=1+1kk+m=1mk=1+1k1k+mS=1mk=1+1k1k+1+1k+11k+2+...+1k+m11k+mS=1m1limn+1k+1+12limn+1k+2+...+1mlimn+1n+mS=1m1+12+13+...+1m

k=11kk+m=1m1+12+13+...+1m

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+1...k+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+1k+2...k+m=Akk+1...k+m1+Bk+1k+2...k+m   ;  A=1mB=1m

1kk+1k+2...k+m=1m1kk+1...k+m11k+1k+2...k+mk=1+1kk+1k+2...k+m=1mk=1+1kk+1...k+m11k+1k+2...k+mS=1mk=1+fkfk+1     ;    fk=1kk+1...k+m1

S=1mf1limk+fk+1S=1m11×2×3×...×mlimk+1k+1k+2...k+mS=1m1m!limk+1k+1k+2...k+mS=1m1m!k=11kk+1...k+m=1m.1m!

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قاعده ادغام در سری

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید