برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

قاعده ادغام در سری

آخرین ویرایش: 24 اسفند 1400
دسته‌بندی: سری های ریاضی
امتیاز:

قضیه

قاعده ادغام در سری (قاعده تلسکوپی)

اگر f تابعی بر مجموعه اعداد طبیعی باشد، داریم:

k=1nfkfk+1=f1fn+1

اثبات

Sn=k=1nfkfk+1Sn=f1f2+f2f3+f3f4+...+fnfn+1Sn=f1fn+1

رابطه فوق، قاعده مهمی است که در تعیین همگرایی بعضی از سری ها به کار می‌رود.

تذکر

S=limn+Sn=limn+f1fn+1=f1limn+fn+1

تمرین

با استفاده از قاعده ادغام، همگرایی سری زیر را بررسی کنید.

k=1n14k14k+1

یادآوری می‌کنیم که:

k=1nfkfk+1=f1fn+1

بنابه قاعده ادغام با فرض fk=14k می‌توان نوشت:

Sn=k=1n14k14k+1Sn=f1fn+1    ;    fk=14kSn=1414n+1limn+Sn=limn+1414n+1limn+Sn=141limn+Sn=140limn+Sn=14S=14

اين سری به عدد 14 همگراست.

n=11n+2n+3

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

1n+2n+3=An+2+Bn+31n+2n+3=An+3+Bn+2n+2n+31n+2n+3=A+Bn+3A+2Bn+2n+3   ;A+B=03A+2B=1  A=1B=11n+2n+3=1n+21n+3


k=11n+2n+3=n=11n+21n+3S=k=1+f1nf1n+1    ;    1S=f1limn+fn+1S=13limn+1n+3S=13


1: بنا به قاعده ادغام و با فرض fn=1n+2 می‌توان نوشت:

S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1


اين سری به عدد 13 همگراست. 

n=1logn2+2nn+12

logn2+2nn+12=lognn+2n+12logn2+2nn+12=lognn+1×n+2n+1logn2+2nn+12=lognn+1+logn+2n+1logn2+2nn+12=lognn+1logn+1n+2n=1+logn2+2nn+12=k=1+lognn+1logn+1n+2


S=k=1+f1nf1n+1    ;    1S=f1limn+fn+1S=log12limn+logn+1n+2S=log12log1S=log12


1: بنا به قاعده ادغام و با فرض fn=lognn+1 می‌توان نوشت:

S=n=1+fnfn+1=f1limn+fn+1


اين سری به عدد log12 همگراست. 

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+m=Ak+Bk+m1kk+m=1mk+1mk+m   ;   A=1mB=1m1kk+m=1m1k1k+mk=1+1kk+m=k=1+1m1k1k+m

k=1+1kk+m=1mk=1+1k1k+mS=1mk=1+1k1k+1+1k+11k+2+...+1k+m11k+mS=1m1limn+1k+1+12limn+1k+2+...+1mlimn+1n+mS=1m1+12+13+...+1m

k=11kk+m=1m1+12+13+...+1m

تمرین

همگرایی سری زیر را محاسبه کنید.

k=11k2+3k

k=11k2+3k=k=11kk+3     ;    m=3=131+12+13=136+3+26=1118

دریافت مثال

نکته

همگرایی سری k=11kk+1...k+m را بررسی و فرمول کلی برای یافتن عدد همگرا تعیین می‌کنیم.

1kk+1k+2...k+m=Akk+1...k+m1+Bk+1k+2...k+m   ;  A=1mB=1m

1kk+1k+2...k+m=1m1kk+1...k+m11k+1k+2...k+mk=1+1kk+1k+2...k+m=1mk=1+1kk+1...k+m11k+1k+2...k+mS=1mk=1+fkfk+1     ;    fk=1kk+1...k+m1

S=1mf1limk+fk+1S=1m11×2×3×...×mlimk+1k+1k+2...k+mS=1m1m!limk+1k+1k+2...k+mS=1m1m!k=11kk+1...k+m=1m.1m!

تمرین

همگرایی سری زیر را محاسبه کنید.

k=11kk+1k+2k+3

k=11kk+1k+2k+3=13.13!    ;    m=3=13×16=118

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

قاعده ادغام در سری

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری