سرفصل‌های این مبحث

سری های ریاضی

تعریف سری

آخرین ویرایش: 01 مهر 1404

دسته‌بندی: سری های ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف سری

دنباله $\{a_{n}\}$ از اعداد حقیقی را در نظر می‌گیریم، فرض کنیم:

$\begin{array}{l} S_{1} = a_{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{2} = a_{1} + a_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \\ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \end{array}$

$\begin{array}{l} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \\ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ \end{array}$

از تعریف فوق نتایج زیر گرفته می‌شود:

1- دنباله زیر را یک سری نامتناهی یا به‌طور ساده یک سری می‌نامیم.

$\{S_{n}\} = S_{1}, S_{2}, S_{3}, ..., S_{n}, ....$

2- مقدار $S_{n}$ را حاصل جمع جزیی $n$ ام سری می‌نامیم و به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

3- نماد زیر را برای نمایش سری به کار می‌بریم و در آن $...., a_{2}, a_{1}$ را جملات سری و $a_{n}$ را جمله عمومی سری می‌گوییم.

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...$

4- اگر $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ یعنی به سمت عدد متناهی $S$ میل کند، دنباله $\{S_{n}\}$ همگراست و $S$ حد دنباله $\{S_{n}\}$ است.

$S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

5- اگر $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ به‌سمت عدد متناهی میل نکند، آن‌گاه سری واگرا است.

هرگاه در یک سری واگرا، $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ برابر با $+ \infty$ یا $- \infty$ شود، سری را واگرای مشخص می‌نامند.
هرگاه در یک سری واگرا، $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ موجود نباشد و $\pm \infty$ هم نباشند، سری را واگرای نوسانی می‌نامند.

نکته

لفظ سری همواره دو نوع دنباله را در ذهن تداعی می‌کند، یکی دنباله مولد سری یعنی:

$a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$

دیگری دنباله حاصل از مجموعه های جزیی که آن را سری نامیده یعنی:

$S_{1}, S_{2}, S_{3}, ..., S_{n}$

که به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

تذکر

در کار با سری ها اغلب با دو نوع پرسش مواجه هستیم:

گاهی در بررسی یک سری تنها اطلاع از همگرایی یا واگرایی آن کافی است و نیازی به یافتن مقدار حاصل جمع آن در مساله مورد نظر نداریم که در این حالت کار قدری ساده‌تر است.

گاهی از ما خواسته می‌شود که همگرای یک سری را بررسی کنیم و در صورت همگرا بودن حاصل جمع آن را به‌دست آوریم .

در این مورد مثال هایی ارائه خواهیم کرد و بر ما معلوم خواهد شد که به‌دست آوردن مقدار دقیق حاصل جمع یک سری همگرا همواره کار آسانی نیست.

تمرین

اگر $a > 0$ آن‌گاه مقدار سری زیر چقدر است؟

$\sum_{n = 2}^{\infty} (\sqrt[2 n + 1]{a} - \sqrt[2 n - 1]{a})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (\sqrt[5]{a} - \sqrt[3]{a}) + (\sqrt[7]{a} - \sqrt[5]{a}) + ... + (\sqrt[2 n + 1]{a} - \sqrt[2 n - 1]{a}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sqrt[2 n + 1]{a} - \sqrt[3]{a} \end{array}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\sqrt[2 n + 1]{a} - \sqrt[3]{a}) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (a^{\frac{1}{2 n + 1}} - \sqrt[3]{a}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = 1 - \sqrt[3]{a} \\ \Rightarrow S = 1 - \sqrt[3]{a} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

قضایای سری

قضیه

اگر $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ و $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ دو سری همگرا باشد و $c$ عدد ثابتی باشد، آن‌گاه سری های زیر همگرایند و داریم:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \\ \sum_{n = 1}^{\infty} c a_{n} = c \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \end{array}$

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...) \pm (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} + ...) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (a_{1} \pm b_{1}) + (a_{2} \pm b_{2}) + ... + (a_{n} \pm b_{n}) + ... \end{array}$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n})$

$\begin{array}{l} S = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...) \end{array}$

$\Rightarrow c S = c \lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} + ...)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c S = \lim_{n \to \infty} (c a_{1} + c a_{2} + ... + c a_{n} + ...) \end{array}$

$\Rightarrow c \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} c a_{n}$

تذکر

فرض کنیم $c \neq 0$ یک عدد ثابت دلخواهی باشد، اگر سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ واگرا باشد، آن‌گاه سری $\sum_{n = 1}^{\infty} c . a_{n}$ هم واگرا است.

قضیه

اگر سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ همگرا و سری $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ واگرا باشد، آن‌گاه سری های زیر واگرا هستند:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \pm \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \end{array}$

اثبات

اثبات به برهان خلف است، یعنی فرض کنیم که سری زیر همگرا بوده و حاصل جمع آن $S$ است.

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) \end{array}$

سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ همگرا است و فرض کنیم که حاصل جمع سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ برابر $r$ باشیم:

$\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} [(a_{n} + b_{n}) - a_{n}] = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) - \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S - r$

سری $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ همگرا بوده و حاصل جمع آن $S - r$ است، اما این با فرض واگرا بودن $\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) \end{array}$ متناقض است، بنابراین سری $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ واگرا است.

تذکر

اگر سری های $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ و $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ هر دو واگرا باشند، آن‌گاه سری $\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) \end{array}$ ممکن است همگرا باشد یا نباشد.

تمرین

اگر $a_{n} = \frac{1}{n}$ و $b_{n} = \frac{1}{n}$ دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

$\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n}$

مجموع دو سری واگرا است.

تمرین

اگر $a_{n} = \frac{1}{n}$ و $b_{n} = - \frac{1}{n}$ دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

$\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - b_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} 0$

تفاضل دو سری همگرا است.

نکته

بستگی مقدار سری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ به جملات $\{a_{n}\}$

حذف یا افزودن تعداد متناهی از جملات سری در همگرا یا واگرا بودن نقشی ندارد اما این تغییرات در مقدار سری تاثیر دارد، یعنی مقدار یک سری همگرا به تمام جملات سری بستگی دارد.

تمرین

دو سری زیر را با هم مقایسه کنید.

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n}} + ... = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

در صورتی‌که:

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... \frac{1}{2^{n}} + ... = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

یعنی با کم کردن عدد $1$ از سری، مقدار سری نیز یک واحد کاهش یافته است.

قضیه

اگر دنباله $\{a_{k}\}$ با شرط $k = 1, 2, 3, ...$ یک دنباله نامتناهی باشد و فرض کنیم $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = A$ باشد، آن‌گاه:

$\sum_{k = N}^{\infty} a_{k} = A - \sum_{k = 1}^{N - 1} a_{k}$

$N$ عدد طبیعی دل‌خواه است.

اثبات

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{N - 1} a_{k} + \sum_{k = N}^{n} a_{k} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 1}^{N - 1} a_{k} + \sum_{k = N}^{\infty} a_{k}; n \to + \infty$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sum_{k = N}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} - \sum_{k = 1}^{N - 1} a_{k}; A = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{k = N}^{\infty} a_{k} = A - \sum_{k = 1}^{N - 1} a_{k}$

قضیه

نامنفی بودن سری:

$\begin{array}{l} i f \forall n \in N; a_{n} \geq 0 \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \geq 0 \end{array}$

$i f \forall n \in N; a_{n} \leq b_{n} \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$

هر دوسری $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ و $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ همگرا می‌باشند.

اثبات

$\begin{array}{l} a_{n} \geq 0 \\ \Rightarrow S_{n} \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} \geq 0; \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \geq 0$

$\begin{array}{l} i f a_{n} \leq b_{n} \\ \Rightarrow b_{n} - a_{n} \geq 0 \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} (b_{n} - a_{n}) \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}) \geq 0 \\ \Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \geq \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \end{array}$

تمرین

سری زیر را در نظر بگیرید:

$S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}$

مجموعه جزئی $n$ ام سری را بیابید.

$\begin{array}{l} S_{1} = 1 = 2 - \frac{1}{2^{0}} \\ S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2^{1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} = 2 - \frac{1}{2^{2}} \\ ⋮ \end{array}$

$S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}} = 2 - \frac{1}{2^{n - 1}}$

ثابت کنيد سری به عدد $2$ همگرا است.

$S = \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (2 - \frac{1}{2^{n - 1}}) = 2 - 0 = 2$

تمرین

همگرايی سری های زير را با به‌دست آوردن حاصل جمع جزئی $n$ ام سری ثابت کنيد.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{A}{2 n - 1} + \frac{B}{2 n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{A (2 n + 1) + B (2 n - 1)}{(2 n - 1) (2 n + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{n (2 A + 2 B) + (A - B)}{(2 n - 1) (2 n + 1)}; \{\begin{cases} 2 A + 2 B = 0 \\ A - B = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} A = \frac{1}{2} \\ B = - \frac{1}{2} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{\frac{1}{2}}{2 n - 1} - \frac{\frac{1}{2}}{2 n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + ... + (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{2} (1 - 0) \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S = \frac{1}{2} \end{array}$

سری به عدد فوق همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{1}{2}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} \\ \Rightarrow \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{A (n + 1) + B n}{n (n + 1)} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{(A + B) n + A}{n (n + 1)}; \{\begin{cases} A + B = 2 \\ A = 1 \end{cases}〉 \{\begin{cases} A = 1 \\ B = 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}) \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \sum_{k = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1})$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1})$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + .... + {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 1 + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} [1 + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1}] \end{array}$

$\Rightarrow S = 1$

سری به عدد فوق همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = 1$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 (n^{2} + 3 n + 3)}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{2 (n^{2} + 3 n + 3)}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{n (n + 1) + (n + 2) (n + 3)}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n + 2) (n + 3)}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} + \frac{n (n + 1)}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{n (n + 1)} + \frac{1}{(n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n + 1) - n}{n (n + 1)} + \frac{(n + 3) - (n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{n}{n (n + 1)} + \frac{(n + 3)}{(n + 2) (n + 3)} - \frac{(n + 2)}{(n + 2) (n + 3)} \end{array}$

$= \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}$

اکنون $n$ جمله اول اين سری را، به‌طور ستونی در زير يک‌ديگر می‌نويسيم و آنها را جمع می‌کنيم.

$\begin{array}{l} a_{1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \\ ⋮ \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{n - 3} = \frac{1}{n - 3} - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{n - 2} = \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} a_{n - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \end{array}$

$a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}$

اگر طرفين اين تساوی را جمع کنيم، خواهيم داشت:

$\begin{array}{l} S_{n} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3}) \end{array}$

$\Rightarrow S = \frac{4}{3}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو کسر ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} = \log \frac{n (n + 2)}{(n + 1) (n + 1)} \\ \Rightarrow \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} = \log \frac{\frac{n}{n + 1}}{\frac{n + 1}{n + 2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} = \log \frac{n}{n + 1} - \log \frac{n + 1}{n + 2} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} = (\sum_{n = 1}^{\infty} \log \frac{n}{n + 1} - \log \frac{n + 1}{n + 2})$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \log \frac{n}{n + 1} - \log \frac{n + 1}{n + 2}$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (\log \frac{1}{2} - \log \frac{2}{3}) + (\log \frac{2}{3} - \log \frac{3}{4}) + ... (\log \frac{n}{n + 1} - \log \frac{n + 1}{n + 2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \log \frac{1}{2} - \log \frac{n + 1}{n + 2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} (\log \frac{1}{2} - \log \frac{n + 1}{n + 2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \log \frac{1}{2} - \log 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \log \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S = \log \frac{1}{2} \end{array}$

سری به عدد فوق همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \log \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} = \log \frac{1}{2}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}}; \log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$

ابتدا کسر را به حاصل جمع سه کسر ساده تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}} = \frac{1}{\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}} = \frac{6}{n (n + 1) (2 n + 1)}; 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$\begin{array}{l} \frac{6}{n (n + 1) (2 n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{2 n + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{6}{n (n + 1) (2 n + 1)} = \frac{A (n + 1) (2 n + 1) + B n (2 n + 1) + C n (n + 1)}{n (n + 1) (2 n + 1)}; \{\begin{cases} A = 6 \\ B = 6 \\ C = - 24 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{6}{n (n + 1) (2 n + 1)} = \frac{6}{n} + \frac{6}{n + 1} + \frac{- 24}{2 n + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}} = \frac{6}{n} + \frac{6}{n + 1} - \frac{24}{2 n + 1} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{6}{n} + \frac{6}{n + 1} - \frac{24}{2 n + 1})$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \frac{6}{n} + \frac{6}{n + 1} - \frac{24}{2 n + 1}$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} i f n = 1 \Rightarrow a_{1} = \frac{6}{1} + \frac{6}{2} - \frac{24}{3} \\ i f n = 2 \Rightarrow a_{2} = \frac{6}{2} + \frac{6}{3} - \frac{24}{5} \\ i f n = 3 \Rightarrow a_{3} = \frac{6}{3} + \frac{6}{4} - \frac{24}{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (\frac{6}{1} + \frac{6}{2} - \frac{24}{3}) + (\frac{6}{2} + \frac{6}{3} - \frac{24}{5}) + (\frac{6}{3} + \frac{6}{4} - \frac{24}{7}) + ... + (\frac{6}{n} + \frac{6}{n + 1} - \frac{24}{2 n + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 6 + (\frac{6}{2} + \frac{6}{2}) + (\frac{6}{3} + \frac{6}{3} - \frac{24}{3}) + (\frac{6}{4} + \frac{6}{4}) + (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - \frac{24}{5}) + ... \end{array}$

$\Rightarrow S_{n} = 6 + \frac{12}{2} - \frac{12}{3} + \frac{12}{4} - \frac{12}{5} + ....$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 6 + 12 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ...) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 6 + 12 [- 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ...) + 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 6 + 12 [- (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...) + 1] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 18 - 12 (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...); \log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .. \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 18 - 12 \log_{e} 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (18 - 12 \log_{e} 2) \end{array}$

$\Rightarrow S = 18 - 12 \log_{e} 2$

سری به عدد فوق همگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}} = 18 - 12 \log_{e} 2$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n} + 4^{n}}{6^{k}}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو عبارت ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{3^{n} + 4^{n}}{6^{n}} = \frac{3^{n}}{6^{n}} + \frac{4^{n}}{6^{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3^{n} + 4^{n}}{6^{n}} = {(\frac{3}{6})}^{n} + {(\frac{4}{6})}^{n} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n} + 4^{n}}{6^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} [{(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}]$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = [{(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}]$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = [(\frac{1}{2}) + (\frac{2}{3})] + [{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}] + ... + [{(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{2}{3})}^{n}] \end{array}$

$\Rightarrow S_{n} = [\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1}{2})}^{n}] + [\frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2} + ... + {(\frac{2}{3})}^{n}]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} + \lim_{n \to + \infty} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}; (Ι) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = 1 + 2 \\ \Rightarrow \lim_{k \to + \infty} S_{n} = 3 \\ \Rightarrow S = 3 \end{array}$

یادآوری) دو سری هندسی زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}; \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ q = \frac{1}{2} \end{cases}〉 S^{'} = \frac{a}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}; \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ q = \frac{2}{3} \end{cases}〉 S^{''} = \frac{a}{1 - q} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = 2$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$

ابتدا کسر را به حاصل جمع دو عبارت ساده‌تر تجزيه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \end{array}$

$\Rightarrow \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + ... + (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sqrt{n + 1} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n + 1} - 1) \end{array}$

$\Rightarrow S = + \infty$

سری واگراست.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \sin n α$

$1) i f α = k π, k \in Z$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \sin n α$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sin α + \sin 2 α + ... + \sin n α; α = k π \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sin k π + \sin 2 k π + ... + \sin n k π \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = 0 + 0 + ... + 0 \\ \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} 0 \\ \Rightarrow S = 0 \end{array}$

در اين حالت سری به صفر همگراست.

$2) i f α \neq k π, k \in Z$

جمله عمومی سری:

$a_{n} = \sin n α$

اکنون سعی می‌کنيم حاصل جمع جزئی $n$ ام سری را بر‌حسب $n$ به‌دست آوريم:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} [2 \sin \frac{α}{2} . \sin α + 2 \sin \frac{α}{2} . \sin 2 α + ... + 2 \sin \frac{α}{2} . \sin n α] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} \{[\cos (\frac{α}{2} - α) - \cos (\frac{α}{2} + α)] + [\cos (\frac{α}{2} - 2 α) - \cos (\frac{α}{2} + 2 α)] + ... + [\cos (\frac{α}{2} - n α) - \cos (\frac{α}{2} + n α)]\} \end{array}$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} \{[\cos (- \frac{α}{2}) - \cos (\frac{3 α}{2})] + [\cos (- \frac{3 α}{2}) - \cos (\frac{5 α}{2})] + ... + [\cos (\frac{α - 2 n α}{2}) - \cos (\frac{α + 2 n α}{2})]\}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \sin α + \sin 2 α + ... + \sin n α \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} \{[\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{3 α}{2}] + [\cos \frac{3 α}{2} - \cos \frac{5 α}{2}] + ... + [\cos \frac{(2 n - 1) α}{2} - \cos \frac{(2 n + 1) α}{2}]\} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} [\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} α] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} [\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} α] \end{array}$

$\Rightarrow S = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2 \sin \frac{α}{2}} [\cos \frac{α}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} α]$

حد فوق موجود نيست، بنابراين سری زیر حالت کلی واگرا است:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \sin n α$

یادآوری)

$2 \sin α . \sin β = [\cos (α - β) - \cos (α + β)]$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

تعریف سری

2,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

سری ها

تعریف سری

تعریف سری

قضایای سری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟