تعریف سری

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

تعریف سری

دنباله an از اعداد حقیقی را در نظر می‌گیریم، فرض کنیم:

S1=a1S2=a1+a2S3=a1+a2+a3                                                        Sn=a1+a2+a3+...+an=k=1nak                                                        

از تعریف فوق نتایج زیر گرفته می‌شود:

1- دنباله زیر را یک سری نامتناهی یا به‌طور ساده یک سری می‌نامیم.

Sn=S1  ,  S2  ,  S3  ,  ...  ,  Sn  ,  ....

2- مقدار Sn را حاصل جمع جزیی nام سری می‌نامیم و به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

Sn=a1+a2+...+an=k=1nak

3- نماد زیر را برای نمایش سری به کار می‌بریم و در آن ....,a2  ,  a1 را جملات سری و an را جمله عمومی سری می‌گوییم.

n=1+an=a1+a2+...+an+...

4- اگر limnSn=S یعنی به سمت عدد متناهی S میل کند، دنباله Sn همگراست و S حد دنباله Sn است.  

S=limnSn=limna1+a2+...+an+...=n=1an

5- اگر limnSn به‌سمت عدد متناهی میل نکند، آن‌گاه سری واگرا است. 

  • هرگاه در یک سری واگرا، limn+Sn برابر با + یا - شود، سری را واگرای مشخص می‌نامند.
  • هرگاه در یک سری واگرا، limn+Sn موجود نباشد و ± هم نباشند، سری را واگرای نوسانی می‌نامند.

نکته

لفظ سری همواره دو نوع دنباله را در ذهن تداعی می‌کند، یکی دنباله مولد سری یعنی: 

a1  ,  a2  ,  ...  ,  an

دیگری دنباله حاصل از مجموعه های جزیی که آن را سری نامیده یعنی:

S1  ,  S2  ,  S3  ,  ...  ,  Sn

که به‌صورت زیر بیان می‌شود:

Sn=k=1nak

تذکر

در کار با سری ها اغلب با دو نوع پرسش مواجه هستیم:

گاهی در بررسی یک سری تنها اطلاع از همگرایی یا واگرایی آن کافی است و نیازی به یافتن مقدار حاصل جمع آن در مساله مورد نظر نداریم که در این حالت کار قدری ساده‌تر است.

گاهی از ما خواسته می‌شود که همگرای یک سری را بررسی کنیم و در صورت همگرا بودن حاصل جمع آن را به‌دست آوریم . در این مورد مثال هایی ارائه خواهیم کرد و بر ما معلوم خواهد شد که به‌دست آوردن مقدار دقیق حاصل جمع یک سری همگرا همواره کار آسانی نیست.

دریافت مثال

قضایای سری

قضیه

اگر n=1an و n=1bn دو سری همگرا باشد و c عدد ثابتی باشد، آن‌گاه سری های زیر همگرایند و داریم:

n=1an±bn=n=1an±n=1bnn=1can=cn=1an

اثبات

n=1an±n=1bn=a1+a2+...+an+...±b1+b2+...+bn+...=a1±b1+a2±b2+...+an±bn+...=n=1an±bn


S=n=1anS=limna1+a2+...+an+...cS=climna1+a2+...+an+...cS=limnca1+ca2+...+can+...cn=1an=n=1can

تذکر

فرض کنیم c0 یک عدد ثابت دلخواهی باشد، اگر سری n=1an واگرا باشد، آن‌گاه سری n=1c.an هم واگرا است.  

قضیه

اگر سری n=1an همگرا و سری n=1bn واگرا باشد، آن‌گاه سری های زیر واگرا هستند:

n=1an±bn=n=1an±n=1bn

اثبات

اثبات به برهان خلف است، یعنی فرض کنیم که سری زیر همگرا بوده و حاصل جمع آن S است.  

n=1an+bn

سری n=1an همگرا است و فرض کنیم که حاصل جمع سری n=1an برابر r باشیم:   

n=1bn=n=1an+bnan=n=1an+bnn=1an=Sr

سری n=1bn همگرا بوده و حاصل جمع آن Sr است، اما این با فرض واگرا بودن n=1an+bn متناقض است، بنابراین سری n=1bn واگرا است.   

تذکر

اگر سری های n=1an و n=1bn هر دو واگرا باشند، آن‌گاه سری n=1an±bn ممکن است همگرا باشد یا نباشد.   

تمرین

اگر an=1n و bn=1n دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

n=1an+bn=n=11n+1n=n=12n


مجموع دو سری واگرا است.

تمرین

اگر an=1n و bn=-1n دو سری واگرا باشد، آن‌گاه:

n=1anbn=n=11n1n=n=10


تفاضل دو سری همگرا است.

نکته

بستگی مقدار سری n=1an به جملات an  

حذف یا افزودن تعداد متناهی از جملات سری در همگرا یا واگرا بودن نقشی ندارد اما این تغییرات در مقدار سری تاثیر دارد، یعنی مقدار یک سری همگرا به تمام جملات سری بستگی دارد.

تمرین

دو سری زیر را با هم مقایسه کنید:

n=012n=1+12+122+...+12n+...=1112=2


در صورتی‌که:

n=112n=12+122+...12n+...= 12112=1


یعنی با کم کردن عدد 1 از سری، مقدار سری نیز یک واحد کاهش یافته است.

قضیه

اگر دنباله ak با شرط k=1  ,  2  ,  3  ,  ... یک دنباله نامتناهی باشد و فرض کنیم k=1ak=A باشد، آن‌گاه:  

k=Nak=Ak=1N1ak

N عدد طبیعی دل‌خواه است.

اثبات

k=1nak=k=1N1ak+k=Nnakk=1ak=k=1N1ak+k=Nak    ;   n+k=Nak=k=1akk=1N1ak     ;   A=k=1akk=Nak=Ak=1N1ak

قضیه

نامنفی بودن سری:

if  nN;  an0n=1an0if  nN;  anbnn=1ann=1bn

هر دوسری n=1an و n=1bn همگرا می‌باشند. 

اثبات

an0Sn0limn+Sn0  ;  limn+Sn=n=1ann=1an0

if   anbnbnan0n=1bnan0n=1bnn=1an0n=1bnn=1an

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تعریف سری

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید