همگرایی در سری

آخرین ویرایش: 07 آبان 1400
دسته‌بندی: سری‌ها
امتیاز:

همگرایی در سری ها

برای ورود به بحث به تمرین زیر توجه کنید:

تمرین

به سری های زیر توجه کنید:

n=155n+25n+7=17n=2+2nn+1=1k=1n14k21=12n=1n1n!=1


مقدار این سری ها در مطالب پیشین مورد بررسی قرار گرفت. سری های فوق همگرا هستند و حد جمله عمومی همه آنها صفر است.


در سری اول داریم:

limn+an=limn+55n+25n+7=0

قضیه

اگر سری n=1an همگرا باشد، آن‌گاه حد جمله عمومی آن صفر است:

limn+an=0

اثبات

اگر Sn1 و Sn به‌ترتیب حاصل جمع های جزیی n-1ام و nام سری باشند، داریم:

Sn1=a1+a2+...+an1Sn=a1+a2+...+an1+anSnSn1=a1+a2+...+an1+ana1+a2+...+an1SnSn1=anlimn+SnSn1=limn+anlimn+Snlimn+Sn1=limn+anSS=limn+anlimn+an=0

نکته

عکس قضیه در حالت کلی برقرار نیست یعنی اگر limn+an=0 باشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که سری n=1an همگرا است.  

تمرین

در سری n=11n+1+n حد جمله عمومی صفر است:

limn+1n+1+n=0


اما سری واگراست:

n=11n+1+n=+

تذکر

1- همان‌گونه که در عنوان قضیه بالا دیده شد، شرط قضیه برای همگرایی لازم است ولی کافی نیست.

2- شرط کافی همگرایی سری به کمک آزمون های مختلفی صورت می‌گیرد که بعدا گفته می‌شود.

3- گاهی اوقات ممکن است از قضیه بالا برای واگرایی یک سری استفاده کنیم، یعنی اگر بتوانیم نشان دهیم که حد جمله عمومی سری صفر نمی‌شود، آن‌گاه به استناد قضیه فوق حکم به واگرایی سری می‌کنیم.

یعنی اگر limn+an0 آن‌گاه سری n=1an واگراست. 

دریافت مثال

همگرایی مطلق

سری an مطلقا همگراست، اگر سری |an| همگرا باشد.

اگر سری an مطلقا همگرا باشد، بنابراین همگرا هم می‌باشد. 

نکته

اگر an همگرا باشد و |an| واگرا باشد،آن سری همگرایی مشروط دارد.  

تمرین

کدام‌یک از سری های زیر همگرا مطلق، همگرای مشروط یا واگرا هستند.

n=1(1)nn

n=1|(1)nn|=n=11n


با توجه به سری همساز (هارمونیک) این سری واگراست.


بنابراین، این سری به طور مطلق همگرا نیست و به‌طور مشروط همگرا است زیرا خود سری همگرا می‌باشد.

n=1(1)n+2n2

n=1|(1)n+2n2|=n=11n2


این سری با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست

n=2(1)n+1n3+1

n=2|(1)n+1n3+1|=n=21n3+1


1n3+1<1n3


سری n=21n3 با توجه به سری ریمانی، همگراست، بنابراین سری فوق مطلقا همگراست. 

مثال‌ها و جواب‌ها

همگرایی در سری

500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید