سری ها

$\underset{k\to +\infty }{\lim }{a}_k=\underset{k\to +\infty }{\lim }\sin k\pi =0;k\in N$

شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:

$\sum _{n=1}^{\infty }\sin n\pi =\sin \pi +\sin 2\pi +\sin 3\pi +\cdots +\sin n\pi =0$

سری به صفر همگرا است.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\log \left(1+\frac{1}{n}\right)=\log 1=0$

شرط لازم برای همگرايی موجود است، ممکن است همگرا باشد يا نباشد، بايستی تحقيق شود:

$\begin{array}{l}\sum _{k=1}^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{k}\right)\\ \\ =\sum _{k=1}^{\infty }\log \left(\frac{k+1}{k}\right)\\ \\ =\sum _{k=1}^{\infty }\left[\log \left(k+1\right)-\log \left(k\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=-\sum _{k=1}^{\infty }\left[\log \left(k\right)-\log \left(k+1\right)\right];f\left(k\right)=\log \left(k\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=-\left[f\left(1\right)-\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(n+1\right)\right]\\ \\ =-\left[\log 1-\underset{n\to +\infty }{\lim }\log \left(n+1\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\log \left(n+1\right)\\ \\ =+\infty \end{array}$

سری واگرا است.

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5+\frac{1}{5^n}\right)\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=5+0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=5\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگرا است.

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{n^2}\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگرا است.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }3\times {\left(-1\right)}^{n+1}$

حد دنباله فوق وجود ندارد پس واگراست. 

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[\left(n+\frac{2}{2\times 1}\right)-n\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگراست.

یادآوری)

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{a{n}^2+bn+c}=\sqrt{a}\left(n+\frac{b}{2a}\right)$

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{n^2+5n+1}{n^2+4n+2}\right)}^{n^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1\right)}^{n^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1^{+\infty }\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگراست.

یادآوری)

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{c}^n=\left\{\begin{array}{cc}1& c=1\\ \otimes & c=-1\\ 0& \left|c\right|<1\\ +\infty & c>1\\ \otimes & c<-1\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n}{2n+1}\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=1\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگراست.

$\begin{array}{l}\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{2}\right)}^n\\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=+\infty \\ \\ \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0\end{array}$

سری واگراست.