سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

زاویه و واحدهای اندازه‌ گیری

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 116 مرتبه

مقدمه: مثلثات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی روابط بین زوایا و اضلاع یک مثلث می‌پردازد.

یکی از اهداف این علم، اندازه‌گیری فاصله‌ها به‌صورت غیر مستقیم است.

مثلثات در علوم مهندسی، فیزیک، نقشه‌برداری، دریا‌نوردی، نجوم و غیره کاربرد دارد.

فرض کنید یک هواپیما در ارتفاع 2 کیلومتری از سطح زمین در حال فرود آمدن است:

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

اگر زاویه هواپیما با افق 13° باشد، می‌خواهیم محل دقیق فرود هواپیما را بدانیم. 

این مسئله و مسائلی نظیر این، با استفاده از روابط مثلثاتی حل می‌شوند. 

تعریف زاویه

از دوران یک نیم خط حول راسش ناحیه‌ای پدید می‌آید که زاویه نامیده می‌شود.

این دوران ممکن است در جهت و یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشد.

در مثلثات، جهت مثلثاتی، خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت می‌باشد و قرار داده شده که زوایایی که در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شوند مثبت و زوایایی که در جهت حرکت عقربه‌های ساعت پیموده می‌شوند منفی باشند.

در زیر، زاویه AO^B خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت و زاویه MO^'N هم‌جهت با حرکت عقربه‌های ساعت دیده می‌شود.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

اگر نیم‌خط OA حول راس خود در یکی از دو جهت، چنان دوران کند تا دوباره بر نقطه شروع منطبق شود، گوییم یک دوران کامل انجام شده است.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

از دوران کامل پاره‌خط OA حول نقطه O، یک دایره پدید می‌آید. 

یک زاویه ممکن است از چرخش بیش از یک دور کامل پدید آید.

در شکل زیر، زاویه‌ای را می‌بینید که از چرخش بیش از یک دور کامل، به وجود آمده است.

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

بنابراین در مثلثات اگر ضلع آغازی و پایانی یک زاویه معلوم باشد نمی‌توان اندازه و حتی علامت آن را مشخص کرد.

درشکل زیر، زاویه داده شده، علاوه بر -45° می‌تواند 315°هم باشد. 

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (درجه)

سه واحد اصلی در مثلثات برای اندازه‌گیری زوایا کاربرد دارند که عبارتند از درجه، گراد و رادیان که در زیر به آنها اشاره می‌کنیم.

اگر محیط یک دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت را یک درجه می‌نامند.

به‌عبارت دیگر 1360 دوران کامل، زاویه‌ای به اندازه یک درجه پدید می‌آورد.

برای نمایش درجه از علامت ° استفاده می‌شود، لذا:

محیط دایره1=1360×

1=1360×2πrad=π180rad

اجزای درجه عبارتند از دقیقه و ثانیه.

هر دقیقه 160 درجه و هر ثانیه 160 دقیقه است.

تمرین

اگر اندازه زاویه‌ای 37 درجه و 25 دقیقه و 15 ثانیه ثانیه می‌باشد، آن را چگونه می‌نویسیم؟ 

37,25',15''

عبارت 37,25',15'' را بر حسب دقیقه بنویسید. 

37,25',15''=37×60+25+1560

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (گراد)

اگر محیط یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت را یک گراد می‌نامند.

به‌عبارت دیگر 1400 دوران کامل، زاویه‌ای به اندازه یک گراد پدید می‌آورد.

برای نمایش درجه از علامت gr استفاده می‌شود، لذا:

محیط دایره 1gr=1400×

اجزای گراد عبارتند از دسی‌ گراد، سانتی گراد، میلی گراد.

دسی‌گراد 110 گراد است، سانتی‌گراد 1100 گراد و میلی‌گراد 11000 گراد است.

واحدهای اندازه‌گیری زاویه (رادیان)

دایره‌ای به شعاع r را در نظر بگیرید، می‌دانیم محیط این دایره 2πr است. 

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

یک رادیان در هر دایره دل‌خواه، اندازه زاویه مرکزی است که طول کمان رو به رو به آن برابر طول شعاع دایره است:

α=rr=1rad

تمرین

در زیر زوایای مختلفی از رادیان در دایره‌ای به شعاع دل‌خواه r رسم شده‌اند و در هر شکل به نسبت طول کمان روبه‌رو به هر زاویه، به شعاع دقت کنید:

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

 برای نمایش رادیان از کلمه rad استفاده می‌شود، بنابراین محیط هر دایره بر حسب رادیان 2π رادیان است، لذا:

محیط دایره1rad=12π×

1  rad=12π×360=180π    ;    1rad=180°π1°=π180 rad

تمرین

زوایای زیر برحسب درجه بیان شده است، آنها را بر حسب رادیان بنویسید.

40

=401=40π180rad=2π9rad

270

=2701=270π180rad=3π2rad

135

=1351=135π180rad=3π4rad

45

=451°=45×π180rad=π4   rad

150

=1501°=150×π180rad=5π6   rad

240

=2401°=240×π180 rad=4π3  rad

تمرین

زوایای زیر بر حسب رادیان بیان شده است، آنها را بر حسب درجه بنویسید.

3 rad

=31rad=3180π=540π

9π2rad

=9π21rad=9π2180π=810

3π2rad

=3π21rad=3π2180π=270°

π6rad

=π61rad=π6180π=30°

π3rad

=π31rad=π3180π=60°

11π6rad

=11π61rad=11π6180π=330°

قضیه

از رابطه زیر برای تبدیل واحدهای اندازه گیری به هم استفاده می‌شود:

D180=G200=Rπ

اثبات

دایره‌ای به شعاع r و زاویه AOB=θ در این دایره را در نظر بگیرید. 

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو


اندازه زاویه بر حسب درجه  طول کمان

                                      2πr                               360AB                                D       AB=2πrD360  AB=πrD180


اندازه زاویه بر حسب گراد  طول کمان

                                       2πr                                400AB                                  G      AB=2πrG400  AB=πrG200


اندازه زاویه بر حسب رادیان  طول کمان

                                       2πr                                  2πAB                                   R      AB=2πrR2π  AB=rR


چون طول کمان AB مقداری ثابت است، خواهیم داشت:

AB=πrD180=πrG200=rRD180=G200=Rπ

تذکر

با توجه به رابطه D180=G200=Rπ داریم:

D=910GG=109D    ,    D=180πRR=π180D    ,    G=200πRR=π200G

جدول زیر را به خاطر بسپارید:

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

واحدهای انازه گیری - پیمان گردلو

تمرین

زاویه 200 درجه برحسب رادیان، چقدر است؟ 

Rπ=D180Rπ=200180Rπ=109R=10π9

زاویه -72 درجه برحسب رادیان، چقدر است؟ 

Rπ=D180Rπ=72180Rπ=615R=6π15

دریافت مثال

زاویه بین دو عقربه ساعت

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری - پیمان گردلو

در ساعت H و M دقیقه، زاویه بین دو عقربه ساعت شمار و دقیقه شمار برحسب درجه عبارت است از:

α=11M230H

دریافت مثال

نکته

اگر در محاسبه α>180 باشد، می‌توانیم 360α را به‌عنوان زاویه بین دو عقربه در نظر گرفت و در ساعت 12 و M دقیقه، می‌توان به‌جای H=0 قرار داد. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

زاویه و واحدهای اندازه‌گیری

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید