سرفصل‌های این مبحث

مثلثات

نسبت‌ های مثلثاتی و محورهای مختصات

تاریخ انتشار: 12 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: مثلثات
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

فرض کنیم Px,y نقطه‌ای در صفحه مختصات، غیر از مبدا باشد و θ زاویه ای باشد که OP با جهت مثبت محور x در جهت مثلثاتی می‌سازد.

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

r=OP=x2+y2

از P عمود PH را بر محور طول‌ها و عمود PH' را بر محور عرض‌ها رسم می‌کنیم.

نسبت های مثلثاتی tanθ,cos θ,sinθ با فرض زیر:

r=OP=x2+y2

به‌صورت زیر قابل تعریف می‌باشند:

x=OH¯,y=OH'¯sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yrcosθ=OH¯OPcosθ=xrtanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxcotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xy

توجه شود که فاصله نقطه P بر روی این نیم‌خط از نقطه O در محاسبات مهم نیست.

از تعریف فوق چنین بر می‌آید که اگر Px,y بر مبدا واقع نباشد، همواره سینوس و کسینوس زاویه θ (زاویه‌ای که بین شعاع حاصل OP و جهت مثبت محور Ox در جهت مثلثاتی ساخته می‌شود) قابل تعریف است.

  • اگر x=0 یعنی P بر محور y ها واقع باشد، تانژانت زاویه θ تعریف نمی‌شود.
  • اگر y=0 یعنی P بر محور x ها واقع باشد، کتانژانت زاویه θ تعریف نمی‌شود.
  • اگر  P بر هیچ‌یک از محور نباشد، تانژانت و کتانژانت زاویه θ وارون یک‌دیگرند.

تمرین

نقاط زیر را در یک دستگاه محورهای مختصات مشخص کنید.

U0,1,T3,0,S0,2,R5,0,Q3,2,P4,3,N2,3,M3,5

M3,5:r=OM=9+25=34sinθ=yr=534cosθ=xr=334tanθ=yx=53cotθ=35


N2,3:r=ON=4+9=13sinθ=yr=313cosθ=xr=213tanθ=yx=32cotθ=23


R5,0:r=OR=25=5sinθ=yr=05=0cosθ=xr=55=1tanθ=yx=05=0


S0,2:r=OS=4=2sinθ=yr=22=1cosθ=xr=02=0cotθ=xy=02=0


نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

در نقطه P نسبت مثلثاتی cotθ تعریف نمی‌شود.


در نقطه S نسبت مثلثاتی tanθ تعریف نمی‌شود.

علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه 

اگر Px,y نقطه‌ای در صفحه مختصات بوده و بر هیچ‌یک از محورهای مختصات واقع نباشد و θ زاویه بین شعاع حاصل از نقطه P و نیم خط Ox در جهت مثلثاتی باشد، علامت هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را می‌توان مشخص کرد.

علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه اول 

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yry>0sinθ>0cosθ=OH¯OPcosθ=xrx>0cosθ>0tanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxy>0x>0tanθ>0cotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xyy>0x>0cotθ>0

علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه دوم 

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yry>0sinθ>0cosθ=OH¯OPcosθ=xrx<0cosθ<0tanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxy>0x<0tanθ<0cotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xyy>0x<0cotθ<0

علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه سوم 

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yry<0sinθ<0cosθ=OH¯OPcosθ=xrx<0cosθ<0tanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxy<0x<0tanθ>0cotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xyy<0x<0cotθ>0

علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه چهارم 

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

sinθ=PHOPsinθ=OH'¯OPsinθ=yry<0sinθ<0cosθ=OH¯OPcosθ=xrx>0cosθ>0tanθ=PHOHtanθ=OH'¯OHtanθ=yxy<0x>0tanθ<0cotθ=OHPHcotθ=OHOH'¯cotθ=xyy<0x>0cotθ<0

یادآوری

خلاصه مطالب فوق، در جدول زیر آمده است:

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

استفاده از تشابه در مثلثات

برای معرفی مفهوم مثلثات، به مفهوم تشابه نیاز داریم.

نسبت های مثلثاتی در دستگاه محورهای مختصات - پیمان گردلو

در شکل فوق بر نیم خط Ot دو نقطه Px1,y1 و Qx2,y2 به‌غیر از مبدا اختیار شده‌اند.

اگر این خط با جهت مثبت محور x'Ox زاویه θ بسازد، خواهیم داشت:

برای نقطه P داریم:

Ι   :   sinθ=MP¯OP=OR¯OP

برای نقطه Q داریم:

ΙΙ    :     sinθ=NQ¯OQ=OS¯OQ

ΔOPM~ΔOQNOPOQ=MP¯NQ¯NQ¯OQ=MP¯OP

طرف دوم تساوی‌های فوق با هم برابرند، به‌عبارت دیگر برای یافتن sinθ اگر بر نیم خط Ot هر نقطه غیر از مبدا را اختیار کنیم نتیجه یکسان خواهد بود و این مطلب در مورد سایر نسبت‌های مثلثاتی هم صادق است.

معمولا نقطه P را بر روی نیم‌خط Ot چنان اختیار می‌کنند که به ازای آن OP=r=1 باشد.

تمرین

بر روی نيم خط x+y0 با شرط x0 نقطه‌ای دل‌خواه اختيار کنيد و نسبت‌های مثلثاتی زاويه پديد آمده بين شعاع حامل اين نقطه و نيم‌خط ox در جهت مثلثاتی را محاسبه کنيد.

اين نيم‌خط به‌صورت شکل زیر است:

نسبت‌های مثلثاتی - محورهای مختصات - پیمان گردلو


نقطه P1,1 را بر روی اين نيم‌خط اختيار می‌کنيم، خواهيم داشت:

OP=r=12+12=2sinθ=yr=12=22         ,        tanθ=yx=11=1cosθ=xr=12=22     ,       cotgθ=xy=11=1

تمرین

اولا: نيم‌خط 3y2x=0 را با شرط x0 را رسم کنيد.

نسبت‌های مثلثاتی - محورهای مختصات - پیمان گردلو

ثانيا: با اختيار نقطه‌ای دل‌خواه بر آن نسبت‌های مثلثاتی زاويه θ را مشخص کنيد.

3y2x=0y=23x    ,     y0ifA3,2,O0,0:OA=r=32+22=9+4=13sinθ=yr=213cosθ=xr=313tanθ=yx=23=23cotgθ=xy=32=32

تمرین

نقطه P3,m1 در ناحيه چهارم واقع بوده و θ زاويه بين شعاع حامل نقطه P و نيم‌خط ox در جهت مثلثاتی است، به‌طوری‌که cosθ=610 است: 

اولا : مقدار m را محاسبه کنید.

cosθ=xr610=3rr=5x2+y2=2532+m12=25m12=16m1=±4m=5m=3


نقطه P در ناحيه چهارم است.


بنابراین m-1<0 است پس m=-3 قابل قبول است.

m=3   ;   P3,4

ثانيا: ساير نسبت‌های مثلثاتی زاويه θ را معلوم کنيد. 

sinθ=yr=45tanθ=yx=43cotgθ=34

تمرین

اگر Px,y نقطه‌ای در صفحه مختصات باشد به‌طوری‌که واقع بر هيچ‌يک از محورهای مختصات نباشد و θ زاويه بين شعاع حامل نقطه P و نيم‌خط ox در جهت مثلثاتی باشد، ثابت کنيد:  

sin2θ+cos2θ=1

Px,y    :     r=x2+y2sin2θ+cos2θ=yr2+xr2=y2r2+x2r2=y2+x2r2=y2+x2x2+y2=1

tanθ=sinθcosθ

tanθ=yx= yr xr=sinθcosθ

cotθ=cosθsinθ

cotθ=xy=xryr=cosθsinθ

tanθ.cotθ=1

tanθ×cotθ=yx×xy=1

برای ارسال نظر وارد سایت شوید