مجانب های توابع پارامتری

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: مجانب
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

مجانب های قائم در توابع پارامتری

برای تعیین مجانب قائم منحنی تابع پارامتری x=fty=gt:

  • متغیر y را به‌سمت  میل می‌دهیم تا مقادیری از t به‌دست آید.
  • مقادیر  t را در x=ft قرار می‌دهیم، اگر x=a شود، مجانب قائم منحنی است.    

تمرین

تابع پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

mx=2t  ,  y=tt22

با انجام مراحل زیر، مجانب قائم تابع پارامتری فوق را محاسبه کنید.

متغیر y را به‌سمت  میل ‌دهید تا مقادیری از t به‌دست آید:

if  yt22=0t=±2

مقادیر  t را در x=2t قرار دهید:

x=2tt=±2x=2±2x=±1

مجانب های افقی در توابع پارامتری

برای تعیین مجانب افقی منحنی تابع پارامتری زیر:

x=fty=gt

  • متغیر x را به‌سمت  میل می‌دهیم تا مقادیری از t به‌دست آید.
  • مقادیر  t را در y=gt قرار می‌دهیم، اگر y=b شود، مجانب افقی منحنی است.    

تمرین

تابع پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

mx=t3t24  ,  y=8t

با انجام مراحل زیر، مجانب افقی تابع پارامتری فوق را محاسبه کنید.

متغیر x را به‌سمت  میل ‌دهید تا مقادیری از t به‌دست آید:

if   xt24=0t=±2

مقادیر  t را در y=8t قرار دهید:

y=8tt=±2y=8±2y=±4


توجه کنید که وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، y عدد صفر می‌شود.

مجانب های مایل در توابع پارامتری

اگر به ازای مقادیری از t، متغیرهای x و y هر دو به‌سمت  میل کنند، ممکن است منحنی مجانب مایل داشته باشد، در این‌صورت مجانب مایل را از روش حد به‌دست می‌آوریم.

تمرین

معادله مجانب مایل منحنی مکان نقطه زیر را به‌دست آورید.

mx=t+2tt1  ,  y=t+3tt2+1

شرط وجود مجانب مایل آن است که:

xy


بایستی tی پیدا کنیم که هم x و هم y به‌سمت  میل کنند.

if   t0xy


فرض کنیم خط y=mx+h معادله مجانب مایل منحنی باشد:

m=limxyx=limt0 t+3tt2+1 t+2tt1=t+3tt1t+2tt2+1=t+3t1t+2t2+1=0+3010+20+1=32

h=limxymx=limt0t+3tt2+132t+2tt1=72y=32x72

تمرین

مجانب های توابع پارامتری زیر را تعیین کنید.

x=t2+tt24y=t2t21

محاسبه مجانب قائم:

yt21=0t=±1t=1x=23t=1x=0


محاسبه مجانب افقی:

xt24=0t=±2t=2y=43t=2y=43


محاسبه مجانب مایل:

چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که xy میل کند، تابع مجانب مایل ندارد.  

x=t3+2t21y=t2+1t2t

محاسبه مجانب قائم:

yt2t=0t=0  ,  t=1t=1xt=0x=2


محاسبه مجانب افقی:

xt21=0t=1  ,  t=1t=1yt=1y=1


محاسبه مجانب مایل:

بایستی tی پیدا کنیم که هم x و هم y به‌سمت  میل کنند.

if   t1xy


فرض کنیم خط y=mx+h معادله مجانب مایل منحنی باشد:

m=limxyx=limt1 t2+1t2t t3+2t21=43h=limxymx=limt1t2+1t2t43t3+2t21=1y=43x1

x=t+2t2y=t3t2+1

محاسبه مجانب قائم:

yt2+10tx=limtt+2t2=1t=0x=0


محاسبه مجانب افقی:

xt2=0t=0y=01=0


محاسبه مجانب مایل:

چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که xy میل کند، تابع مجانب مایل ندارد.  

x=t3t21y=2tt+2

محاسبه مجانب قائم:

yt+2=0t=2x=23221=83


محاسبه مجانب افقی:

xt21=0t=1,1t=1y=23t=1y=21if   ty=2


خطوط y=23 , 2 , -2 مجانب های افقی هستند.


محاسبه مجانب مایل:

چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که xy میل کند، تابع مجانب مایل ندارد. 

x=ty=t+Arctant

محاسبه مجانب مایل:

if   txy

m=limxyx=limtt+Arctantt=Hlimt1+11+t21=1h=limxymx=limxt+Arctantt=±π2


خطوط y=x±π2 مجانب های مایل هستند. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید