مجانب های توابع پارامتری

آخرین ویرایش: 03 اسفند 1402
دسته‌بندی: مجانب در ریاضی
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مجانب های قائم در توابع پارامتری

برای تعیین مجانب قائم منحنی تابع پارامتری x=fty=gt:

  • متغیر y را به‌سمت ∞ میل می‌دهیم تا مقادیری از t به‌دست آید.
  • مقادیر  t را در x=ft قرار می‌دهیم، اگر x=a شود، مجانب قائم منحنی است.    

تمرین

تابع پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

mx=2t  ,  y=tt2−2

با انجام مراحل زیر، مجانب قائم تابع پارامتری فوق را محاسبه کنید.

متغیر y را به‌سمت ∞ میل ‌دهید تا مقادیری از t به‌دست آید:

if  y→∞⇒t2−2=0⇒t=±2

مقادیر  t را در x=2t قرار دهید:

x=2t→t=±2x=2±2⇒x=±1

مجانب های افقی در توابع پارامتری

برای تعیین مجانب افقی منحنی تابع پارامتری زیر:

x=fty=gt

  • متغیر x را به‌سمت ∞ میل می‌دهیم تا مقادیری از t به‌دست آید.
  • مقادیر  t را در y=gt قرار می‌دهیم، اگر y=b شود، مجانب افقی منحنی است.    

تمرین

تابع پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

mx=t3t2−4  ,  y=8t

با انجام مراحل زیر، مجانب افقی تابع پارامتری فوق را محاسبه کنید.

متغیر x را به‌سمت ∞ میل ‌دهید تا مقادیری از t به‌دست آید:

if   x→∞⇒t2−4=0⇒t=±2

مقادیر  t را در  y=8t قرار دهید:

y=8t→t=±2y=8±2⇒y=±4


توجه کنید که وقتی t به‌سمت بی‌نهایت میل کند، y عدد صفر می‌شود.

مجانب های مایل در توابع پارامتری

اگر به ازای مقادیری از t، متغیرهای x و y هر دو به‌سمت ∞ میل کنند، ممکن است منحنی مجانب مایل داشته باشد، در این‌صورت مجانب مایل را از روش حد به‌دست می‌آوریم.

تمرین

معادله مجانب مایل منحنی مکان نقطه زیر را به‌دست آورید.

mx=t+2tt−1  ,  y=t+3tt2+1

شرط وجود مجانب مایل آن است که:

x→∞y→∞


بایستی tی پیدا کنیم که هم x و هم y به‌سمت ∞ میل کنند.

if   t→0⇒x→∞y→∞


فرض کنیم خط y=mx+h معادله مجانب مایل منحنی باشد:

m=limx→∞yx=limt→0 t+3tt2+1 t+2tt−1=t+3tt−1t+2tt2+1=t+3t−1t+2t2+1=0+30−10+20+1=−32

h=limx→∞y−mx=limt→0t+3tt2+1−−32t+2tt−1=−72

y=−32x−72

تمرین

مجانب های توابع پارامتری زیر را تعیین کنید.

x=t2+tt2−4y=t2t2−1

محاسبه مجانب قائم:


y→∞⇒t2−1=0⇒t=±1⇒t=1⇒x=−23t=−1⇒x=0


محاسبه مجانب افقی:


x→∞⇒t2−4=0⇒t=±2⇒t=2⇒y=43t=−2⇒y=43


محاسبه مجانب مایل:


چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که x→∞y→∞ میل کند، تابع مجانب مایل ندارد.  

x=t3+2t2−1y=t2+1t2−t

محاسبه مجانب قائم:


y→∞⇒t2−t=0⇒t=0  ,  t=1⇒t=1⇒x→∞t=0⇒x=−2


محاسبه مجانب افقی:


x→∞⇒t2−1=0⇒t=1  ,  t=−1⇒t=1⇒y→∞t=−1⇒y=1


محاسبه مجانب مایل:


بایستی tی پیدا کنیم که هم x و هم y به‌سمت ∞ میل کنند.

if   t→1⇒x→∞y→∞


فرض کنیم خط y=mx+h معادله مجانب مایل منحنی باشد:

m=limx→∞yx=limt→1 t2+1t2−t t3+2t2−1=43

h=limx→∞y−mx=limt→1t2+1t2−t−43t3+2t2−1=−1

y=43x−1

x=t+2t2y=t3t2+1

محاسبه مجانب قائم:


y→∞⇒t2+1≠0⇒t→∞

x=limt→∞t+2t2=1t=0⇒x=0


محاسبه مجانب افقی:

x→∞⇒t2=0⇒t=0⇒y=01=0


محاسبه مجانب مایل:


چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که x→∞y→∞ میل کند، تابع مجانب مایل ندارد.  

x=t3t2−1y=2tt+2

محاسبه مجانب قائم:


y→∞⇒t+2=0⇒t=−2⇒x=−23−22−1=−83


محاسبه مجانب افقی:

x→∞⇒t2−1=0⇒t=1 , −1⇒t=1⇒y=23t=−1⇒y=−21

if   t→∞⇒y=2


خطوط y=23 , 2 , -2 مجانب های افقی هستند.


محاسبه مجانب مایل:


چون نمی‌توانیم tی به‌دست آوریم که x→∞y→∞ میل کند، تابع مجانب مایل ندارد. 

x=ty=t+Arc tan t

محاسبه مجانب مایل:

if   t→∞⇒x→∞y→∞

m=limx→∞yx=limt→∞t+Arc tan tt=∞∞→Hlimt→∞1+11+t21=1

h=limx→∞y−mx=limx→∞t+Arc tan t−t=±π2


خطوط y=x±π2 مجانب های مایل هستند. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید