مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 50 مرتبه

مساحت و مفهوم  انتگرال

چگونه می‌توان اندازه مساحت ناحیه‌ای از صفحه را به‌وسیله یک منحنی محصور شده است، به‌دست آورد؟

ناحیه R را در شکل زیر در نظر بگیرید:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

ناحیه R به‌وسیله محور xها ، خطوط x=a و x=b و منحنی y=fx محصور شده است و f تابعی پیوسته در بازه بسته a,b می‌باشد.

می‌خواهیم عددی مانند A را به عنوان اندازه مساحت ناحیه R به‌دست آوریم:   

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

برای این کار از یک فرایند حدی استفاده می‌کنیم:

بازه بسته a,b را به n قسمت و زیر بازه تقسیم می‌کنیم و طول این زیر بازه‌ها را مساوی و برابر با x در نظر می‌گیریم.   

بنابراین Δx=ban و نقاط انتهایی این زیر بازه‌ها را xn  ,  ...  ,  x2  ,  x1  ,  x0 نشان می‌دهیم به‌طوری‌که:

x0=ax1=a+Δxx2=a+2Δx       xi=a+iΔx       xn1=a+n1Δxxn=b

فرض کنید، زیر بازه iام را با xi1,xi نشان دهیم، چون f بر بازه بسته a,b پیوسته است پس بر هر یک از بازه های موجود پیوسته است.

با توجه به قضیه اکسترمم در هر یک از این زیر بازه ها، عددی وجود دارد که f به ازای آن دارای مقدار min مطلق است. 

فرض کنید در زیر بازه iام این عدد برابر ci باشد، بنابراین fci مقدار min مطلق f بر زیر xi1,xi باشد.

n مستطیل در نظر می‌گیریم که هر یک دارای طول قاعده x واحد و ارتفاع fci واحد باشد.

فرض کنید مجموع مساحت های این n مستطیل Sn واحد مربع باشد:

Sn=fc1Δx+fc2Δx++fciΔx++fcnΔxSn=i=1nfciΔx

حال فرض کنید n افزایش یابد، در این‌صورت تعداد مستطیل ها زیاد می‌شود:

هر چقدر n افزایش یابد، مقدار Sn افزایش می‌یابد یعنی اگر f بر a,b پیوسته باشد، در این‌صورت وقتی n را به‌طور بی‌کران افزایش می‌دهیم، مقدار Snی که از معادله Sn=i=1nfciΔx به‌دست می‌آید به یک حد میل می‌کند و همین حد است که آن را به‌عنوان تعریف اندازه مساحت ناحیه R می‌گیریم.    

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

مساحت و فرایند حدی در انتگرال

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد و برای تمام xهای در بازه a,b داشته باشیم fx0 و R ناحیه محدود به منحنی y=fx، محور xها ، خطوط x=a و x=b باشد.     

بازه بسته a,b را به n زیر بازه، هریک به‌طول Δx=ban تقسیم می‌کنیم و زیر بازه iام را با xi1,xi نشان می‌دهیم.

اگر fci مقدار min مطلق تابع بر زیر بازه iام باشد، اندازه مساحت R به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:      

A=limni=1nfciΔx

این به آن معناست است که برای هر ε>0، عددی مانند N وجود دارد به‌قسمی که: (n عددی مثبت و صحیح است)

i=1nfciΔxA<ε  ,  n>N

تذکر

می‌توان به‌جای مستطیل های محاطی، مستطیل های محیطی را در نظر گرفت:

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

در این حالت مقدار max مطلق تابع f را بر هر زیر بازه به‌عنوان ارتفاع مستطیل اختیار می‌کنیم، بنابراین اندازه مساحت ناحیه R را می‌توان با فرمول زیر تعریف کرد: 

A=limn+i=1nfdiΔx

که fdi مقدار max مطلق تابع f بر بازه xi1,xi است.   

تمرین

ناحيه‌ای را که به منحنی y=x2 و محور xها و خطوط x=0,3 محصور شده است را در نظر بگیرید.

مساحت این ناحیه را با استفاده از مستطيل های محاطی حساب کنيد.

Δx=ban=30n=3nx0=0x1=0+Δxx2=0+2Δx        xi1=0+i1Δxxi=0+iΔx


چون تابع f بر بازه a,b صعودی است، بنابراين مقدار min مطلق تابع y=fx=x2 به زير بازه iام يعنی xi1  ,  xi برابر fxi1 است.

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

A=limn+i=1nfxi1Δxfx=x2xi1=i1Δxfxi1=i1Δx2


i=1nfxi1Δx=i=1ni1Δx2×Δx=i=1ni12Δ3x    ;    Δx=3n=i=1ni123n3

=27n3i=1ni12=27n3i=1ni22i+1=27n3i=1ni22i=1ni+i=1n1=27n3nn+12n+162nn+12+n=92.2n23n+1n2A=limni=1nfxi1Δx=limn92.2n23n+1n2=9

دریافت مثال

 مجموع پایین ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محاطی استفاده شود، مقدار به‌دست آمده را تقریب نقصان می‌نامیم که این مقدار را مجموع‌ پایین ریمان نامیده و با Lnf نمایش می‌دهیم.

n=3Δx=ba3Lnf=fx0Δx+fx1Δx+fx2Δx=i=13fxi1ΔxS=limn+Lnf=limn+i=13fxi1Δx

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

مجموع بالای ریمان

اگر در محاسبه مساحت زیر نمودار، از مستطیل های محیطی استفاده شود،‌ مقدار به‌دست آمده را تقریب اضافی می‌نامیم که این مقدار را مجموع بالای ریمان نامیده و با unf نشان می‌دهیم.

n=3Δx=ba3unf=fx1Δx+fx2Δx+fx3Δx=i=13fxiΔxS=limn+unf=limn+i=13fxiΔx

مساحت - فرایند حدی - مجموع بالای ریمان - مجموع  پایین ریمان - پیمان گردلو

تذکر

اگر limnLnflimnunf باشد، در این‌صورت مساحتی برای تابع نمی‌توان در نظر گرفت.

شرط لازم و کافی برای انتگرال پذیری تابع f در a,b آن است که تساوی فوق برابر باشند و مقادیرشان عددی حقیقی باشد. 

قضیه

اگر f تابعی نامنفی و یکنوا روی a,b باشد، آن‌گاه محدوده خطا برای تقریب‌های اضافی و نقصانی مجموع، برابر‌ است با: 

unflnf=fbfaban

اثبات

فرض کنیم f صعودی باشد (برای حالت نزولی نیز مانند آن است) و n یک افراز منظم a,b باشد، در این‌صورت: 

Δx=banx0=ax1=a+Δxx2=a+2Δx        xi1=a+i1Δxxi=a+iΔx

unflnf=i=1nfxiΔxi=1nfxi1Δxunflnf=i=1nfa+iΔxΔxi=1nfa+i1ΔxΔxunflnf=i=1nfa+ibanbani=1nfa+i1banbanunflnf=bani=1nfa+ibanfa+i1banunflnf=banfbfa

از قاعده ادغام در سری ها استفاده شده است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مساحت و مجموع پایین و بالای ریمان

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید