انتگرال معین (قضایا)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

محاسبه انتگرال معین با استفاده از تعریف، یعنی این‌که عملا حد یک مجموع را پیدا کنیم، معمولا بسیار خسته کننده و تقریبا غیر ممکن است، برای رسیدن به روش های بسیار ساده‌تر لازم است بعضی از قضایای انتگرال معین را بیان کنیم.

قضیه

اگر  افراز دلخواهی از بازه بسته a,b باشد، آن‌گاه:  

abdx=limΔ0i=1nΔix=ba

اثبات

i=1nΔixba=baba=0

برای هر ε>0 هر انتخاب دل‌خواه α>0 برقراری نامساوی زیر را تضمین می‌کند:

i=1nΔixba<ε   ,    Δ<αε>0   α>0    ;    Δ<αi=1nΔixba<εlimΔ0  i=1nΔix=ba

قضیه

اگر تابع y=fx بر بازه بسته a,b تعریف شده باشد و حد limΔ0i=1nfξiΔix موجود باشد و  افراز دلخواهی از بازه a,b باشد، آن‌گاه اگر k ثابت دلخواه باشد، داریم:    

limΔ0i=1nkfξiΔix=klimΔ0i=1nfξiΔix

به‌عبارت دیگر، اگر تابع f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر بوده و k ثابتی دلخواه باشد، آن‌گاه:  

abkfx  dx=kabfx  dx

قضیه

اگر k ثابتی دلخواه باشد، آن‌گاه:  

abkdx=kba

اثبات

روش اول:

abfxdx=  limΔ0   i=1nfξiΔix

اگر برای تمام xهای در a,b که fx=k باشد، آن‌گاه خواهیم داشت:  

abkdx=limΔ0i=1nkΔix=k  limΔ0  i=1nΔix=kba


روش دوم:

Δx=banlnf=i=1nfxi1Δx=i=1nk  ban=k  bani=1n1=kn  ban=kbaunf=i=1nfxiΔx=i=1nk  ban=k  bani=1n1=kn  ban=kbaabkdx=kba

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر باشند، آن‌گاه f+g روی a,b انتگرال پذیر است و داریم:  

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx

اثبات

طبق فرض توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر هستند:

abfxdx=Mabgxdx=N

برای این‌که ثابت کنیم f+g روی a,b انتگرال پذیر است، باید نشان دهیم:  

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx=M+N

برای هر ε>0 یک α>0 وجود دارد به‌طوری‌که برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:     

i=1nfξi+gξiΔixM+N<β

چون:

N=abgx  dx=limΔ0   i=1ngξiΔixM=abfx  dx=limΔ0  i=1mfξiΔix

برای هر ε>0 یک α1>0 و α2>0 وجود دارد به‌قسمی که به ازای تمام افرازهای  با شرط Δ<α1 و Δ<α2 و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:    

i=1ngξiΔixN<ε2i=1nfξiΔixM<ε2

اگر α=minα1,α2 باشد، آن‌گاه برای هر ε>0 و برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:        

i=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixN<ε2+ε2=ε    ;    1

با استفاده از نامساوی مثلثی داریم:

i=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixNi=1nfξiΔixM+i=1ngξiΔixN    ;    2

از نامساوی 2,1 داریم:

i=1nfξiΔix+i=1ngξiΔixM+N<ε    ;    3

هم‌چنین داریم:

i=1nfξiΔix+i=1ngξiΔix=i=1nfξi+gξiΔix    ;    4

با قرار دادن مقدار 4 در 3 می‌توان نتیجه گرفت که برای هر ε>0 و برای تمام افرازهای  با شرط Δ<α و با انتخاب α=minα1,α2 و به‌ازای هر ξi دلخواه در xi1,xi داریم:    

i=1nfξi+gξiΔixM+N<ε

بدین ترتیب ثابت می‌شود که f+g روی a,b انتگرال پذیر است و داریم:   

abfx+gxdx=abfxdx+abgxdx

قضیه

اگر تابع f روی بازه های بسته c,b   ,   a,c   ,   a,b انتگرال پذیر باشد و a<c<b باشد، آن‌گاه:

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

اثبات

مفهوم هندسی این قضیه آن است که:

می‌خواهیم اندازه مساحت ناحیه محصور بین منحنی y=fx و محور xها را از  a تا b که مساوی با مجموع اندازه مساحت های نواحی از  a تا c و از c تا b می‌باشد را اثبات کنیم:      

قضایای انتگرال - پیمان گردلو

فرض کنیم  افرازی از a,b باشد. افراز Δ' از بازه a,b را به‌صورت زیر تشکیل می‌دهیم:   

اگر c یکی از نقاط افراز  باشد مثلا c=xi برای یک i باشد، آن‌گاه Δ' دقیقا با  یکسان است.  

اگر c یکی از نقاط افراز  نباشد اما در زیر بازه xi1,xi قرار داشته باشد، آن‌گاه افراز Δ' شامل تمام نقاط افراز  و به‌علاوه شامل نقطه c می‌باشد. بنابراین زیر بازه های افراز Δ' با زیر بازه های  یکسان هستند.     

با این استثنا که زیر بازه xi1,xi از افراز  به دو زیر بازه xi1,c و c,xi تقسیم می‌شود.   

اگر Δ' نورم Δ' و Δ نورم Δ باشد، آن‌گاه:  

Δ'Δ

اگر در افراز Δ' بازه a,c را به r زیر بازه و بازه c,b را به n-r زیر بازه تقسیم کنیم، آن‌گاه قسمتی از افراز Δ' از a تا c مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:    

i=1rfξiΔix

و قسمت دیگر افراز Δ' از c تا b مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:  

i=r+1nfξiΔix

با استفاده از تعریف انتگرال معین و خواص نماد سیگما داریم:

abfxdx=limΔ0   i=1nfξiΔixabfxdx=   limΔ0  i=1rfξiΔix+i=r+1nfξiΔixabfxdx=limΔ0  i=1rfξiΔix  +   limΔ0  i=r+1nfξiΔix

چون 0<Δ'Δ می‌توانیم به‌جای Δ0 قرار دهیم Δ'0 که نتیجه می‌شود:

abfx  dx=  limΔ'0    i=1rfξiΔix+   limΔ'0  i=r+1nfξiΔix=acfx  dx+cbfx  dx

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته ای که شامل اعداد a و b و c است، انتگرال پذیر باشد آن‌گاه بدون توجه به ترتیب این اعداد، داریم:  

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

اثبات

اگر اعداد a و b و c متمایز از یکدیگر باشند، شش ترتیب ممکن برای این سه عدد به‌صورت زیر وجود دارد:

b<c<aa<c<b    ;    c<a<bb<a<c    ;    c<b<aa<b<c

که حالت a<c<b  از این قضیه استفاده کرده و ثابت می‌کنیم که تساوی زیر برقرار است:  

abfxdx=acfxdx+cbfxdx

برای سایر ترتیب‌های اعداد a و b و c برقرار است. 

abfxdx+bcfxdx=acfxdx       ;    bcfxdx=cbfxdxabfxdxcbfxdx=acfxdxabfxdx=acfxdx+cbfxdx

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه a,b انتگرال پذیر باشند، و اگر برای تمام xهای متعلق به a,b داشته باشیم fxgx در این‌صورت:      

abfxdxabgxdx

اثبات

مفهوم هندسی:

قضایای انتگرال - پیمان گردلو

چون توابع f و g بر بازه a,b انتگرال هستند، پس انتگرال های زیر هر دو موجود هستند، بنابراین داریم:

abfxdxabgxdx

abfxdxabgxdx=abfxdx+abgxdx=abfxgxdx

فرض کنیم تابع h به‌صورت زیر تعریف شده است:

hx=fxgx

چون برای تمام xهای در a,b داریم fxgx در نتیجه:   

hx=fxgxfxgxfxgx0  hx0

می‌خواهیم ثابت کنیم که abfxgxdx0:

abfxgxdx=abhxdx=   limΔ0  i=1nhξiΔix

اثبات به برهان خلف است، فرض کنیم که:

Ι  :  limΔ0   i=1nhξiΔix=L<0

در این‌صورت با فرض ε=-L یک عدد مانند α>0 وجود دارد که:    

i=1nhξiΔixL<L  ,  Δ<αi=1nhξiΔixLi=1nhξiΔixLi=1nhξiΔixL<L    ;    Δ<αi=1nhξiΔix<0                 ;    Δ<α

عبارت فوق غیر ممکن است چون هر hξi و Δix مثبت است پس به تناقض با فرض Ι رسیدیم، بنابراین Ι غلط است.    

limΔ0  i=1nhξiΔix0abhxdx0abfxgxdx0abfxdxabgxdx0abfxdxabgxdx

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نمی‌باشد.

دریافت مثال

قضیه

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد.  

اگر m و M به‌ترتیب مقادیر min و max مطلق f بر a,b باشند، یعنی داشته باشیم:    

axbmfxMmbaabfxdxMba

اثبات

مفهوم هندسی:

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، قضیه اکسترمم وجود m و M را تضمین می‌کند، هم‌چنین داریم: 

قضایای انتگرال - پیمان گردلو

abmdx=mbaabMdx=Mba

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، نتیجه می‌شود که f روی a,b انتگرال پذیر است، از طرفی چون برای تمام xهای در a,b داشته باشیم fxm پس داریم:   

Ι   :  fxmabfxdxabm  dxabfx  dxmba

به‌طور مشابه، چون برای تمام xهای در a,b داشته باشیم Mfx پس داریم:    

ΙΙ   :   MfxabMdxabfxdxMbaabfxdx

از نامساوی هایی ΙΙ,Ι داریم:

Mbaabfx  dxabfx  dxmbambaabfxdxMba

دریافت مثال

قضیه

فرض کنید تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، آن‌گاه:

abfx  dxabfxdx

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

fxfxfxif   fx0fxfxfxif   fx0fxfxfx

fxfxfxfxdxfxdxfxdx    ;   A=fxdxAfx  dxAfx  dxAabfxdxabfxdx

تذکر

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی ممکن است f روی یک بازه انتگرال پذیر نباشد، اما f انتگرال پذیر باشد.   

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (قضایا)

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید