انتگرال

$\sum _{i=1}^n{\Delta }_{i}x-\left(b-a\right)=\left(b-a\right)-\left(b-a\right)=0$

برای هر $\epsilon >0$ هر انتخاب دل‌خواه $\alpha >0$ برقراری نامساوی زیر را تضمین می‌کند:

$\begin{array}{l}\left|\sum _{i=1}^n{\Delta }_{i}x-\left(b-a\right)\right|<\epsilon ,||\Delta ||<\alpha \end{array}$

$\forall \epsilon >0\exists \alpha >0;||\Delta ||<\alpha \Rightarrow \left|\sum _{i=1}^n{\Delta }_{i}x-\left(b-a\right)\right|<\epsilon \Rightarrow \underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{\Delta }_{i}x=b-a$

روش اول:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

اگر برای تمام $x$های در $\left[a,b\right]$ که $f\left(x\right)=k$ باشد، آن‌گاه خواهیم داشت:  

${\int }_a^{b}kdx=\underset{\left|\Delta \right|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}k{\Delta }_{i}x=k\underset{\left|\Delta \right|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{\Delta }_{i}x=k\left(b-a\right)$

روش دوم:

$\begin{array}{l}\Delta x=\frac{b-a}{n}\end{array}$

$\begin{array}{l}{l}_n\left(f\right)=\sum _{i=1}^{n}f\left(x_{i-1}\right)\Delta x=\sum _{i=1}^{n}k\frac{b-a}{n}=k\frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}1=\frac{k}{n}\left(b-a\right)n=k\left(b-a\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}_n\left(f\right)=\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\Delta x=\sum _{i=1}^{n}k\frac{b-a}{n}=k\frac{b-a}{n}\sum _{i=1}^{n}1=\frac{k}{n}\left(b-a\right)n=k\left(b-a\right)\end{array}$

${\int }_a^{b}kdx=k\left(b-a\right)$

طبق فرض توابع $f$ و $g$ بر بازه $\left[a,b\right]$ انتگرال پذیر هستند:

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=M\\ \\ {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx=N\end{array}$

برای این‌که ثابت کنیم $f+g$ روی $\left[a,b\right]$ انتگرال پذیر است، باید نشان دهیم:  

${\int }_a^b\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx=M+N$

برای هر $\epsilon >0$ یک $\alpha >0$ وجود دارد به‌طوری‌که برای تمام افرازهای $∆$ با شرط $||\Delta ||<\alpha$ و به‌ازای هر ${\xi }_i$ دلخواه در $\left[x_{i-1},x_i\right]$ داریم:     

$\left|\sum _{i=1}^n\left[f\left({\xi }_i\right)+g\left({\xi }_i\right)\right]\right|\cdot {\Delta }_{i}x-\left(M+N\right)<\beta$

چون:

$\begin{array}{l}N={\int }_a^{b}g\left(x\right)dx=\underset{\left|\Delta \right|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x\end{array}$

$M={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{\left|\Delta \right|\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{m}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

برای هر $\epsilon >0$ یک ${\alpha }_1>0$ و ${\alpha }_2>0$ وجود دارد به‌قسمی که به ازای تمام افرازهای $∆$ با شرط $||\Delta ||<{\alpha }_1$ و $||\Delta ||<{\alpha }_2$ و به‌ازای هر ${\xi }_i$ دلخواه در $\left[x_{i-1},x_i\right]$ داریم:    

$\begin{array}{l}\left|\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-N\right|<\frac{\epsilon }{2}\\ \\ \left|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-M\right|<\frac{\epsilon }{2}\end{array}$

اگر $\alpha =\min \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ باشد، آن‌گاه برای هر $\epsilon >0$ و برای تمام افرازهای $∆$ با شرط $||\Delta ||<\alpha$ و به‌ازای هر ${\xi }_i$ دلخواه در $\left[x_{i-1},x_i\right]$ داریم:        

$\left|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-M\right|+\left|\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-N\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ;\left(1\right)$

با استفاده از نامساوی مثلثی داریم:

$\left|\left(\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-M\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-N\right)\right|\le \left|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-M\right|+\left|\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-N\right|;\left(2\right)$

از نامساوی $\left(2\right),\left(1\right)$ داریم:

$\left|\left(\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x+\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x\right)-\left(M+N\right)\right|<\epsilon ;\left(3\right)$

هم‌چنین داریم:

$\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x+\sum _{i=1}^{n}g\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x=\sum _{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)+g\left({\xi }_i\right)\right){\Delta }_{i}x;\left(4\right)$

با قرار دادن مقدار $\left(4\right)$ در $\left(3\right)$ می‌توان نتیجه گرفت:

برای هر $\epsilon >0$ و برای تمام افرازهای $∆$ با شرط $||\Delta ||<\alpha$ و با انتخاب $\alpha =\min \left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)$ و به‌ازای هر ${\xi }_i$ دلخواه در $\left[x_{i-1},x_i\right]$ داریم:    

$\left|\sum _{i=1}^n\left[f\left({\xi }_i\right)+g\left({\xi }_i\right)\right]{\Delta }_{i}x-\left(M+N\right)\right|<\epsilon$

بدین ترتیب ثابت می‌شود که $f+g$ روی $\left[a,b\right]$ انتگرال پذیر است و داریم:   

${\int }_a^b\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

مفهوم هندسی این قضیه آن است که:

می‌خواهیم اندازه مساحت ناحیه محصور بین منحنی $y=f\left(x\right)$ و محور $x$ها را از  $a$ تا $b$ که مساوی با مجموع اندازه مساحت های نواحی از  $a$ تا $c$ و از $c$ تا $b$ می‌باشد را اثبات کنیم:      

فرض کنیم $∆$ افرازی از $\left[a,b\right]$ باشد. افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ از بازه $\left[a,b\right]$ را به‌صورت زیر تشکیل می‌دهیم:   

اگر $c$ یکی از نقاط افراز $∆$ باشد مثلا $c=x_i$ برای یک $i$ باشد، آن‌گاه ${\Delta }^{\text{'}}$ دقیقا با $∆$ یکسان است.  

اگر $c$ یکی از نقاط افراز $∆$ نباشد اما در زیر بازه $\left[x_{i-1},x_i\right]$ قرار داشته باشد:

آن‌گاه افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ شامل تمام نقاط افراز $∆$ و به‌علاوه شامل نقطه $c$ می‌باشد. بنابراین زیر بازه های افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ با زیر بازه های $∆$ یکسان هستند.     

با این استثنا که زیر بازه $\left[x_{i-1},x_i\right]$ از افراز $∆$ به دو زیر بازه $\left[x_{i-1},c\right]$ و $\left[c,x_i\right]$ تقسیم می‌شود.   

اگر $||{\Delta }^{\text{'}}||$ نورم ${\Delta }^{\text{'}}$ و $||\Delta ||$ نورم $\Delta$ باشد، آن‌گاه:  

$||{\Delta }^{\text{'}}||\le ||\Delta ||$

اگر در افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ بازه $\left[a,c\right]$ را به $r$ زیر بازه و بازه $\left[c,b\right]$ را به $\left(n-r\right)$ زیر بازه تقسیم کنیم:

آن‌گاه قسمتی از افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ از $a$ تا $c$ مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:    

$\sum _{i=1}^{r}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

و قسمت دیگر افراز ${\Delta }^{\text{'}}$ از $c$ تا $b$ مجموع ریمانی زیر را می‌دهد:  

$\sum _{i=r+1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

با استفاده از تعریف انتگرال معین و خواص نماد سیگما داریم:

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\left[\sum _{i=1}^{r}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x+\sum _{i=r+1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x\right]\end{array}$

$\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{r}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x+\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=r+1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

چون $0<||{\Delta }^{\text{'}}||\le ||\Delta ||$ می‌توانیم به‌جای $||\Delta ||\to 0$ قرار دهیم $||{\Delta }^{\text{'}}||\to 0$ که نتیجه می‌شود:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{||{\Delta }^{\text{'}}||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{r}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x+\underset{||{\Delta }^{\text{'}}||\to 0}{\lim }\sum _{i=r+1}^{n}f\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

اگر اعداد $a$ و $b$ و $c$ متمایز از یکدیگر باشند، شش ترتیب ممکن برای این سه عدد به‌صورت زیر وجود دارد:

$\left\{\begin{array}{l}b<c<a\\ a<c<b\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{l}c<a<b\\ b<a<c\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{l}c<b<a\\ a<b<c\end{array}\right.$

که حالت $a<c<b$  از این قضیه استفاده کرده و ثابت می‌کنیم که تساوی زیر برقرار است:  

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

برای سایر ترتیب‌های اعداد $a$ و $b$ و $c$ برقرار است. 

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx;{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx=-{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx\end{array}$

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx\end{array}$

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx$

مفهوم هندسی:

چون توابع $f$ و $g$ بر بازه $\left[a,b\right]$ انتگرال هستند، پس انتگرال های زیر هر دو موجود هستند، بنابراین داریم:

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ \\ {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\end{array}$

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^b\left[-g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

فرض کنیم تابع $h$ به‌صورت زیر تعریف شده است:

$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$

چون برای تمام $x$های در $\left[a,b\right]$ داریم $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ در نتیجه:   

$\left\{\begin{array}{l}h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.〉h\left(x\right)\ge 0$

می‌خواهیم ثابت کنیم که ${\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\ge 0$:

${\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx={\int }_a^{b}h\left(x\right)dx=\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x$

اثبات به برهان خلف است، فرض کنیم که:

$\left({\rm I}\right):\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x=L<0$

در این‌صورت با فرض $\epsilon =-L$ یک عدد مانند $\alpha >0$ وجود دارد که:    

$\begin{array}{l}\left|\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-L\right|<-L,||\Delta ||<\alpha \end{array}$

$\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-L\le \left|\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-L\right|$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x-L<-L;||\Delta ||<\alpha \end{array}$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x<0;||\Delta ||<\alpha$

عبارت فوق غیر ممکن است چون هر $h\left({\xi }_i\right)$ و ${\Delta }_{i}x$ مثبت است پس به تناقض با فرض $\left({\rm I}\right)$ رسیدیم، بنابراین $\left({\rm I}\right)$ غلط است.    

$\begin{array}{l}\underset{||\Delta ||\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}h\left({\xi }_i\right){\Delta }_{i}x\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\int }_a^{b}h\left(x\right)dx\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\ge 0\end{array}$

$\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

مفهوم هندسی:

چون تابع $f$ بر بازه بسته $\left[a,b\right]$ پیوسته است، قضیه اکسترمم وجود $m$ و $M$ را تضمین می‌کند، هم‌چنین داریم: 

$\begin{array}{l}{\int }_a^{b}mdx=m\left(b-a\right)\\ \\ {\int }_a^{b}Mdx=M\left(b-a\right)\end{array}$

چون تابع $f$ بر بازه بسته $\left[a,b\right]$ پیوسته است، نتیجه می‌شود که $f$ روی $\left[a,b\right]$ انتگرال پذیر است.

از طرفی چون برای تمام $x$های در $\left[a,b\right]$ داشته باشیم $f\left(x\right)\ge m$ پس داریم:   

$\left({\rm I}\right):f\left(x\right)\ge m\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge {\int }_a^{b}mdx\Rightarrow {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge m\left(b-a\right)$

به‌طور مشابه، چون برای تمام $x$های در $\left[a,b\right]$ داشته باشیم $M\ge f\left(x\right)$ پس داریم:    

$\left({\rm I}{\rm I}\right):M\ge f\left(x\right)\Rightarrow {\int }_a^{b}Mdx\ge {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\Rightarrow M\left(b-a\right)\ge {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

از نامساوی هایی $\left({\rm I}{\rm I}\right),\left({\rm I}\right)$ داریم:

$\left\{\begin{array}{l}M\left(b-a\right)\ge {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\\ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge m\left(b-a\right)\end{array}\right.$

$m\left(b-a\right)\le {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le M\left(b-a\right)$