انتگرال معین (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

در بخش قبل، اندازه مساحت یک ناحیه مفروض را به‌صورت حد زیر تعریف کردیم:

A=limn+i=1nfciΔx

برای رسیدن به این تعریف، بازه بسته a,b را به زیر بازه هایی با طول مساوی تقسیم کردیم و ci را به‌عنوان نقطه ای در زیر بازه iام در نظر گرفتیم که به ازای آن f دارای مقدار min مطلق باشد.    

هم‌چنین مقادیر تابع fx را محدود به اعداد غیر منفی بر بازه a,b نمودیم و به‌علاوه گفتیم که f باید بر بازه a,b پیوسته باشد.

این بازه را به n زیر بازه با انتخاب n-1 نقطه دلخواه بین نقاط a و b تقسیم می‌کنیم.

xn=b     ,     x0=a

و نقاط xn1  ,  ...,  x2  ,  x1 نقاط میانی به‌صورت زیر باشند:

x0<x1<x2<....<xn1<xn

نقاط xn  ,  xn1  ,  ...  ,  x2  ,  x1  ,  x0 لزوما از یکدیگر به یک فاصله نیستند.

فرض کنیم Δ1x=x1x0 طول اولین زیر بازه باشد، Δ2x=x2x1 طول دومین زیر بازه و Δix=xixi1 طول iامین زیر بازه باشد:

انتگرال معین - پیمان گردلو 

مجموعه‌ای از همه این زیر بازه های a,b را یک افراز از بازه a,b نامیده و با  نشان می‌دهند.

افراز  شامل n زیر بازه است:

x0,x1  ,  x1,x2  ,   ....  ,  xn1,xn

یکی از این زیر بازه ها طویل‌ترین زیر بازه است، ولی ممکن است بیش از یک طویل‌ترین زیر بازه وجود داشته باشد.

طول طویل‌ترین زیر بازه از افراز  را نورم افراز نامیده می‌شود و با علامت Δ نشان می‌دهند. در هر یک از این زیر بازه های افراز  نقطه ای انتخاب کنید. 

فرض کنید ξ1 نقطه انتخابی در بازه x0,x1 باشد، به‌طوری‌که x0ξ1x1 باشد و هم‌چنین ξ2 نقطه انتخابی در بازه x1,x2 باشد به‌طوری‌که x1ξ2x2 و الی آخر.   

بنابراین ξi نقطه انتخابی در زیر بازه xi1,xi بوده و xi1ξixi می‌باشد. حاصل مجموع زیر را در نظر بگیرید: 

fξ1Δ1x+fξ2Δ2x+fξ3Δ3x+...+fξiΔix+...+fξnΔnx=i=1nfξiΔix

چنین مجموعی را مجموع ریمانی می‌نامند و شکل زیر داریم:

انتگرال معین - پیمان گردلو

چون مقادیر تابع f در پاره ای نقاط منفی است، بعضی از  fξi منفی می‌باشند.

در چنین مواقعی تعبییر هندسی مجموع ریمانی عبارت است از مجموع اندازه مساحت مستطیل هایی که بالای محور xها قرار می‌گیرند و قرینه اندازه مساحت مستطیل هایی که زیر محور xها واقعند و در این حالت چون:

fξ3  ,  fξ4  ,  fξ5  ,  fξ8  ,  fξ9  ,  fξ10

اعداد منفی می‌باشند، بنابراین داریم:

i=110fξiΔix=A1+A2A3A4A5+A6+A7A8A9A10=L

فرض کنید f تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته a,b است، تصور کنید عددی مانند L وجود دارد به‌طوری‌که برای تمام افرازهای  که نورم های آنها به اندازه کافی کوچک هستند و برای هر ξi دلخواه در بازه xi1,xi برای i=1,2,...,n قدرمطلق زیر بتواند به اندازه دلخواه کوچک باشد:

i=1nfξiΔixL

در چنین حالتی f را در بازه a,b انتگرال پذیر گویند:

limnfx=Lε>0     M>0    ;    n>MfxL<ε

limni=1nfξiΔix=Lε>0     M>0    ;    n>Mi=1nfξiΔixL<ε

یادآوری

مجموع پایین ریمانی

هرگاه در تعریف مجموع ریمانی، هر ξi چنان اختیار شوند که fξi در آن min مطلق f در بازه xi1,xi باشد، آنگاه این مجموع را مجموع پایین ریمانی f در بازه a,b گویند و مقدارش به‌صورت lnf=i=1nfξiΔx محاسبه می‌شود.        


مجموع بالای ریمانی

هرگاه در تعریف مجموع ریمانی، هر ξi چنان اختیار شوند که fξi در آن max مطلق f در بازه xi1,xi باشد، آنگاه این مجموع را مجموع بالای ریمانی f در بازه a,b گویند و مقدارش به‌صورت unf=i=1nfξiΔx محاسبه می‌شود.        

تعریف تابع انتگرال پذیر

فرض کنید f تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته a,b است. می‌گوییم f بر بازه بسته a,b انتگرال پذیر است، اگر برای هر ε و α شرط زیر صادق باشد:  

ε>0     α>0    ;    Δ<αi=1nfξiΔixL<ε

در چنین حالتی می‌نویسیم:

limni=1nfξiΔix=LΔx=banif   nΔx=baΔx0    ,    Δ0

limni=1nfξiΔix=limΔ0i=1nfξiΔix=L

limΔ0i=1nfξiΔix=Lε>0     α>0    ;      Δ0  <αi=1nfξiΔixL<ε

تعریف انتگرال معین

فرض کنید f تابعی است که دامنه آن شامل بازه بسته a,b است، آن‌گاه انتگرال معین f از a تا b را با abfx  dx نشان داده می‌شود و به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

abfx  dx=limΔ0i=1n  fξiΔix

به‌شرطی که حد فوق وجود داشته باشد.

در نماد انتگرال معین abfx  dx:

  • تابع fx را انتگران می‌نامیم.
  • اعداد a و b را به‌ترتیب (حد بالا) و (حد پایین) انتگرال می‌نامیم. 

سوالی که مطرح می‌شود آن است که تحت چه شرایطی تابع دارای انتگرال می‌باشد؟

یعنی عددی مانند L یافت می‌شود که limΔ0i=1nfξiΔix=L موجود است. به‌وسیله قضیه زیر جوابی به این سوال داده می‌شود:

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، آن‌گاه تابع f روی بازه a,b انتگرال پذیر است.  

تذکر

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، قضیه فوق به ما اطمینان می‌دهد که abfx  dx موجود است. 

اما امکان دارد که انتگرال موجود باشد، ولی تابع در بعضی از اعداد متعلق به a,b پیوسته نباشد. 

قضیه

اگر تابع f روی فاصله بسته a,b انتگرال پذیر باشد‌، مقدار این انتگرال یکتاست. 

اثبات

فرض کنیم:

1)  limni=1nfξiΔix=abfxdx=L12)  limni=1n  fξiΔix=abfx  dx=L2

نشان می‌دهیم L1=L2 می‌باشد.

ε>0     M1>0      ;      n>M1abfx  dxL1<ε2ε>0     M2>0     ;     n>M2abfx  dxL2  <  ε2

یادآوری می‌کنیم که:

A+BA+B

L2L1=abfx  dxL1A+L2abfx  dxBL2L1abfx  dxL1+abfx  dxL2L2L1<ε2+ε2L2L1<ε

اگر n>maxM1,M2 باشد، می‌توان نتیجه گرفت L1L2<ε پس L1=L2 است.  

اگر L1L2 باشد، آن‌گاه ε=L1L2 و داریم L1L2<L1L2 و این یک تناقض است.

دریافت مثال

تعریف افراز منظم

abfx  dx=limn+i=1nfξiΔx=limΔx0i=1nfξiΔxif   Δx=bann=baΔxif   n+Δx0

اگر برای تعیین مساحت، بازه a,b را به n زیر بازه با طول مساوی تقسیم کنیم چنین افرازی از بازه a,b را یک افراز منظم می‌نامیم.  

در کاربردهای انتگرال معین، اغلب افراز منظم به کار می‌رود. در یک افراز منظم x با نورم Δ برابر است.

بنابراین اگر R ناحیه‌ای محدود به منحنی y=fx، محور xها ، خطوط x=a و x=b باشد، در این‌صورت اندازه مساحت ناحیه R عبارت است از:

A=limΔ0i=1nfξiΔix=abfx  dx

تعریف فوق می‌گوید که اگر برای تمام xهای در a,b داشته باشیم fx0 در این‌صورت انتگرال معین abfx  dx را می‌توان از نظر هندسی به‌عنوان اندازه مساحت ناحیه R در شکل زیر تعبیر کرد:

انتگرال معین - پیمان گردلو   

تذکر

از تساوی زیر:

abfx  dx=limn+   i=1nfξiΔx

می‌توان برای یافتن مقدار دقیق انتگرال معین استفاده کرد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (تعریف)

500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید