انتگرال معین (قضیه فشردگی و مقدار میانگین)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: انتگرال
امتیاز:
بازدید: 21 مرتبه

قضیه فشردگی در انتگرال

قضیه

فرض کنیم f و g و h توابع کرانداری روی بازه a,b باشند و به ازای هر x از این بازه:

gxfxhx

اگر g و h بر a,b انتگرال پذیر و داشته باشیم: 

abgx  dx=abhx  dx=A

آن‌گاه f روی بازه a,b انتگرال پذیر و abfx  dx=A می‌باشد.

اثبات

abgxdxabfxdxabhxdxAabfxdxAabfxdx=A

 قضیه مقدار میانگین در انتگرال

این قضیه در اثبات بسیاری از قضایای مهم به‌کار می‌رود که یکی از برجسته‌ترین آنها قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

قبل از بیان قضیه میانگین برای انتگرال ها، نمونه‌ای را که تعبیر هندسی این قضیه می‌باشد، ارائه می‌دهیم.

فرض کنید برای تمام مقادیر x در a,b تابع fx0 باشد، پس abfx  dx0 اندازه مساحت ناحیه محدود به منحنی y=fx و محور xها و خطوط x=a و x=b را می‌دهد.    
شکل زیر را ببینید:
قضیه فشردگی  و مقدار میانگین در انتگرال - پیمان گردلو
قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ها می‌گوید که عددی مانند Xa,b وجود دارد به‌طوری‌که مساحت AEFB به ارتفاع fX واحد و قاعده b-a واحد، مساوی با مساحت ناحیه ADCB می‌باشد:
abfx  dx=fXba

قضیه

اگر تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، آن‌گاه عددی مانند X در a,b وجود دارد به‌طوری‌که:   

abfx  dx=fXba

اثبات

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، با توجه به قضیه اکسترمم، تابع f روی a,b دارای مقدار min مطلق و مقدار max مطلق می‌باشد.    

فرض کنیم m مقدار min مطلق در x=xm باشد:  

fxm=m    ;    axmb

فرض کنیم M مقدار max مطلق در x=xM باشد:  

fxM=M    ;    xMb

بنابراین می‌توان نتیجه گرفت:

xa,bmfxMabm  dxabfx  dxabMdxmbaabfx  dxMba

چون b>a می‌باشد و b-a>0 است، طرفین نامساوی مفروض را بر b-a تقسیم می‌کنیم:

mbabaabfxdxbaMbabamabfxdxbaMfxmabfxdxbafxM

توجه شود که عددی مانند X در بازه بسته شامل xm و xM وجود دارد به‌قسمی که:  

fX=abfxdxbaabfx  dx=fXba    ;    aXb

نکته

1- مقدار X لزوما یکتا نیست.

این قضیه روشی برای یافتن X ارائه نمی‌دهد، اما می‌گوید که مقداری از X موجود است و از این مطلب برای اثبات قضایای دیگری استفاده می‌شود.  

2- مقدار fX را مقدار متوسط یا مقدار میانگین می‌نامند که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

fX=abfxdxba


3- تعبیری از abfxdxba  

فرض کنیم fx1,fx2,...,fxn مجموعه‌ای از n عدد باشد، میانگین این n عدد برابر است با: 

x¯=fx1+fx2+...+fxnn=i=1nfxin

فرض کنیم M مقدار این میانگین باشد:

M=1ni=1nfxiM=i=1nfxi1nM=1bai=1nfxibanM=1bai=1nfxiΔxM=1baabfxdx

 لذا به طور تقریب M میانگین n عدد فوق با 1baabfxdx برابر است:

M1baabfx  dx

4- در قضیه مقدار میانگین، اگر f پیوسته باشد، آن‌گاه مقدار متوسط، موجود و 1baabfxdx موجود است. 

اما توجه داشته باشیم که تعریف مقدار متوسط به پیوستگی بستگی ندارد، یعنی ممکن است تابعی ناپیوسته و مقدار متوسط موجود باشد اما هیچ X موجود نباشد که fX برابر مقدار متوسط باشد. 

تمرین

تابع fx=1    ;   1x<22   ;  2x<3 را در نظر بگیریم: 

مقدار متوسط را به‌دست آورید:

13fx  dx=3

1ba×13fx  dx=131×3=32

مقدار X را بیابید. 


هیچ Xی وجود ندارد که fX=32 شود.

دریافت مثال

قضیه

اگر توابع f و g بر بازه بسته a,b پیوسته باشد، برای تمام مقادیر x در بازه a,b داشته باشیم gx>0 ، آن‌گاه عددی مانند X در a,b وجود دارد به‌طوری‌که:   

  a  bfx.gx  dx=fX  a  bgx  dx

اثبات

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، تابع f روی a,b دارای max و min مطلق است:   

اگر min مطلق را با m و max مطلق را M نشان دهیم:  

fxm=m      ,  axmbfxM=M   ,   axMb  xa,b     ;    mfxM

چون به ازای هر  x در بازه a,b داریم gx>0 پس: 

if   mfxMmgxfx.gxM.gxm  a  bgx  dx  a  bfx.gx  dxMabgx  dxm  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dxM

فرض کنیم:

k=  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dx    ;    mkM

چون تابع f بر بازه بسته a,b پیوسته است، پس عددی مانند X روی a,b وجود دارد به قسمی‌که fX=k.  

if   fX=kfX=  a  bfx.gx  dx  a  bgx  dx  a  bfx.gx  dx=fX.  a  bgx  dx

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

انتگرال معین (قضیه فشردگی و مقدار میانگین)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید