ب‌ م‌ م (تعریف و قضایا)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

مقسوم علیه مشترک دو عدد

عدد صحیح c را مقسوم علیه مشترک یا شمارنده مشترک دو عدد a و b می‌نامیم، در صورتی‌که هر دو را بشمارد، یعنی c|a و c|b.

به‌عنوان نمونه 3 یک شمارنده مشترک برای دو عدد 6 و -9 است، زیرا  3|6 و 3|-9

بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

دو عدد 12 و 18 را در نظر می‌گیریم:

مجموعه مقسوم علیه مشترک مثبت دو عدد 12 و 18 به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

D1=1,2,3,4,6,12D2=1,2,3,6,9,18

اشتراک دو مجموعه فوق، مجموعه مقسوم علیه مشترک مثبت دو عدد 12 و 18 عبارتند از:

D1D2=1,2,3,6

بزرگ‌ترین عضو این مجموعه یعنی 6 را به‌عنوان بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 12 و 18 تعریف می‌کنیم.

بنابراین بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد در واقع بزرگ‌ترین عضو مجموعه شمارنده مشترک دو عدد است.

تعریف- اگر a و b دو عدد صحیح دل‌خواهی باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر باشد، در این‌صورت بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب‌م‌م) a و b عددی مثبت است مانند d و با نماد d=a,b نشان می‌دهند، به‌طوری‌که:

d=a,b1       da     ,   db2        c>0    ;    ca  ,  cbcd

هر مقسوم علیه مشترک a و b از d کوچک‌تر است.

  • شرط 1 مقسوم علیه مشترک بودن را برای d تامین می‌کند.
  • شرط 2 نشان می‌دهد که d از هر مقسوم علیه مشترک دل‌خواهی مانند c بزرگ‌تر است.

به‌عنوان نمونه داریم:

3,6=34,9=16,8=28,12=46,18=6

نکته

1- توجه داشته باشید که اگر  a و b هر دو صفر باشد، در این‌صورت مجموعه مقسوم علیه های مشترک مثبت a و b مجموعه اعداد طبیعی N است.   

اما N از راست بی‌کران است و بزرگ‌ترین عضوی ندارد، لذا در حالتی که a و b هر دو صفر باشند، بزرگ‌ترین مقسوم علیه (بزرگترین شمارنده مشترک) وجود ندارد.   

2- اگر برای دو عدد صحیح a و b داشته باشیم a,b=1 در این‌صورت می‌گوییم a و b نسبت به‌هم اول (متباین) هستند. 

به‌عنوان نمونه داریم:

5,6=13,5=14,9=1

تمرین

اگر a یک عدد صحیح مخالف صفر باشد، نشان دهید:

a,0=a

مجموعه شمارنده های مثبت a:

A=1,....,a


مجموعه شمارنده های مثبت صفر:

N=1,2,3,....


مجموعه شمارنده های مشترک مثبت صفر و a:

1,...,a=Aa,0=a

تمرین

اگر Da و Db به‌ترتیب مجموعه شمارنده های a و b باشند، نشان دهید:

if  a|bDaDb

x یک شمارنده a است:

xDaxa  ,  abxbxDb

قضایای بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

قضیه

همواره بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح که حداقل یکی از آنها مخالف صفر باشد، موجود است.

اثبات

اگر دو عدد a و b مفروض باشند و مجموعه همه مقسوم علیه های مشترک a و b را A بنامیم.

فرض می‌کنیم:

A=c>0     c|a,c|b

واضح است که AΖ و AO زیرا حداقل 1A

از طرف دیگر فرض کنیم a<b در این‌صورت a یک کران بالا برای مجموعه A است زیرا عددی بزرگ‌تر a نمی‌توان یافت که a را عاد کند.  

پس طبق قضیه‌های بیان شده، هر زیرمجموعه ناتهی که از بالا کراندار باشد، دارای عضو انتها است، بنابراین مجموعه A دارای انتها می‌باشد که این عضو همان عضو انتهای بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک است. 

قضیه

a,bZ    ;    a0   ,  a|ba,b=a

اثبات

باید ثابت کنیم که aهر دو شرط ( ب‌م‌م) را دارد:

a یک مقسوم علیه مشترک a و b است:

1       a|a  ,  a|a|a|aa|b  ,  a|b|a|  b

2    if   c>0  ,  c|a  ,  c|b    

a از هر مقسوم علیه مشترک a و b بزرگ‌تر است:  

c|acac|a|    ;    c>0

قضیه

if   a,b=1ka±b,a=1     ;    kΖ

اثبات

فرض کنیم ka±b,a=d، ثابت می‌کنیم d=1 است. 

ka±b,a=d1       d|ka±bd|ad|kad|kaka±bd|b2        d|a   ,  d|bda,b  da,ba,b=1d=1

if    k=1     ;     a,b=1a±b  ,  a=1

قضیه

a,b=a,b=a,b=a,b

اثبات

فرض کنیم a,b=d1a,b=d2 آن‌گاه ثابت می‌کنیم d1=d2.

a,b=d1d1|ad1|ad1|bd1|a,b=d2d1|d2d1d2

به‌طریق مشابه ثابت می‌کنیم اگر d2d1 می‌توان نتیجه گرفت d1=d2 و در بقیه حالات، مطابق بالا عمل می‌کنیم.  

تذکر

اگر a مقسوم علیه یک عدد باشد، -a نیز مقسوم علیه دیگر آن عدد است.

به ‌عنوان نمونه مجموعه مقسوم علیه های عدد 6 عبارت است از:

±1  ,  ±2  ,  ±3  ,  ±6

بنابراین برای به‌دست آوردن مجموعه مقسوم علیه های یک عدد صحیح، کافی است مقسوم علیه های مثبت آن را یافته و قرینه آنها را به این مجموعه بیفزاییم.

قضیه

if    a,b=1an,bm=1    ;    m  ,  nΝ

اثبات

با استقرای ریاضی داریم:

p1  :a,b=1(a1,b)=1p1T

تساوی به‌ازای n=1 برقرار است.

فرض استقرای ریاضی:

Pk   :   a,b=1ak,b=1

حکم استقرای ریاضی:

pk+1  :   a,b=1ak+1,b=1


a,b=1ak,b=1a.ak,b=1ak+1,b=1

ثابت کردیم که اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، آن‌گاه هر توان یکی از آن دو عدد و عدد دیگر نیز نسبت به‌هم اولند.

با توجه به این مطلب، برای حالت an,bm=1 نیازی به استفاده از استقرا روی m نداریم و می‌نویسیم:

a,b=1an,b=1b,an=1bm,an=1an,bm=1

قضیه

if  a,b=1ab,a±b=1

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

a,b=1a,a±b=1

a,b=1a±b,a=1a,b=1a±b,b=1a±b,ab=1

قضیه

if   a,b=1  ,  a,c=1  ,  b,c=1  abc,ab+ac+bc=1

اثبات

a,b=1a,c=1a,bc=1a  ,ab+ac+bc=1 ; ab+ac =kaa,b=1c,b=1ac,b=1b  ,  ab+bc+ac=1 ; ab+bc =kba,c=1b,c=1c,ab=1c  ,ac+bc+ab=1 ; ac+bc =kcabc,ab+ac+bc=1

قضیه

if   a,b=dan,bn=dn

اثبات

a,b=dad,bd=ddad,bd=1adn,bdn=1nandn,bndn=1dn×andn,bndn=dn×1dnandn,bndn=dnan,bn=dn

قضیه

a,b=1a+b,a2+b2+ab=1

اثبات

اثبات از طریق برهان خلف:

فرض کنیم a+b,a2+b2+ab1 بنابراین داریم:

a+b,a2+b2+ab=d  pΝ   ;  p|dp|a+bp|a2+b2+abp|a+b2ab

چون p|a+b پس p|a.b و از رابطه اخیر خواهیم داشت: 

p|a.bp|ap|bp|a,bp1p=1

که این غیر ممکن است زیرا p عددی است اول، بنابراین بایستی تساوی زیر را داشته باشیم:

a+b,a2+b2+ab=1

قضیه

عمل (ب‌م‌م) خاصیت شرکت پذیری دارد، یعنی به ازای هر سه عدد صحیح که تمامشان صفر نیستند:

a,b,cΖ    ;    (a,b),c=a,(b,c)

اثبات

فرض می‌کنیم a,b,c=d1 و a,b,c=d2 باشد، داریم:    

(a,b),c=d1d1|a,bd1|a  ,   d1|bd1|cd1|ad1b,cd1a,b,cd1|d2d1d2a,(b,c)=d2d2|ad2|(b,c)d2|b  ,   d2|cd2|cd2a,bd2(a,b),cd2|d1d2d1d1=d2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ب‌م‌م (تعریف و قضایا)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید