بخش پذیری در اعداد صحیح

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

در الگوریتم تقسیم، دیدیم:

      a  bq    r¯a=bq+r    ;    0r<b

حالتی که باقیمانده تقسیم a بر b مساوی صفر باشد، از اهمیت خاصی برخوردار است:

    a  bq        r=0¯a=bq+0  

در این‌صورت تعریف زیر را خواهیم داشت:

تعریف بخش پذیری

عدد صحیح a بر عدد صحیح b0 بخش پذیر است، هرگاه باقیمانده تقسیم a بر b صفر باشد، در این‌صورت a=bq.    

اگر عدد صحیح a بر b بخش پذیر باشد، آن را به‌صورت ba می‌نویسیم و در حالت کلی داریم:‍

ba   qZ    ;    a=bq

عبارت بالا به صورت‌های زیر خوانده می‌شود:

  • عدد صحیح b عدد صحیح a را می‌شمارد.
  • عدد صحیح b عدد صحیح a را عاد می‌کند.
  • عدد صحیح b یک مقسوم علیه عدد a است.
  • عدد صحیح b یک شمارنده عدد a است.
  • عدد صحیح b یک عامل  عدد a است.
  • عدد صحیح a یک مضرب عدد a است.

به‌عنوان نمونه داریم:

عدد 5 عدد 15 را می‌شمارد:

51515=53

عدد 7 عدد -21 را می‌شمارد:

72121=73

عدد -6 عدد 42 را می‌شمارد:

64242=67

نکته

1- اگر a بر b بخش پذیر نباشد، می‌نویسیم: b  |a 

2- علت بیان (گزاره b یک مقسوم علیه a است و به‌صورت ba بیان می‌کنند) آن است که با توجه به آن‌که مقسوم علیه یک عدد در مجموعه اعداد طبیعی کوچک‌تر یا مساوی خود عدد است.

یعنی اگر ba آن‌گاه ba است لذا مانند رابطه 00 در این‌جا نیز مقسوم علیه را در سمت چپ می‌نویسیم. 

3- فرض کنید a یک عدد صحیح دل‌خواه باشد، مجموعه مقسوم علیه های a را با نماد Da نشان می‌دهیم.  

قضایای بخش پذیری

baba

اثبات

baa=bqa=bqba

baba

اثبات

baa=bqa=bqba

baba

اثبات

baa=bqa=bqba

babma    ;    a  ,  m0

اثبات

baa=bqma=bmqbma

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

baba2baban

به‌عنوان نمونه داریم:

3636×536×436×7

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که bma نمی‌توان نتیجه گرفت که b حداقل یکی از دو عدد m و a را عاد می‌کند. 

به گزاره‌های زیر دقت کنید:

35436×9363933036×5363|561263×46|36|4

bambma    ;    a  ,  m0

اثبات

baa=bqma=mbqmbma

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

mbmama=mbqa=bqba

baba    ;    a  ,  b0

اثبات

baa=bqa=bqa=bq    ;    q=0  ,  q=1  ,  ......  

if   q=0a=bqa=0a=0

که این خلاف فرض است زیرا a0.

if    q=1a=bqa=bb=aif    q>1a=bqb<aba

baab   b=±a

اثبات

babaababb=ab=±a

babcba±c

اثبات

baa=bq1bcc=bq2

a±c=bq1±bq2a±c=bq1±q2    ;    q1±q2=qa±c=bqba±c

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که ba±c نمی‌توان نتیجه گرفت که ba یا bc.

به گزاره زیر دقت کنید:

58+25|85|2

babcba×c

اثبات

baa=bq1bcc=bq2


a×c=bq1×bq2a×c=bq1×q2    ;    q1×q2=qa×c=bqba×c

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که ba×c نمی‌توان نتیجه گرفت که ba یا bc.

به گزاره زیر دقت کنید:

64×96|46|9

babcbma±nc    ;    m  ,  nZ

اثبات

هرگاه عددی دو عدد صحیح را بشمارد، هر ترکیب خطی آن دو عدد را خواهد شمرد.

baa=bq1ma=bmq1bcc=bq2nc=bnq2

ma±nc=bmq1±bnq2ma±nc=bmq1±nq2    ;    mq1±nq2=qma±nc=bqbma±nc

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

ba1  ,  ba2  ,,  banba1m1+a2m2++anmn

b|1b=±1

اثبات

b|1b1b=0b=00|1 b=1b=±1

0|1 غیر ممکن است.

b|ac|dbc|ad

اثبات

b|aa=bq'c|dd=cq''a×d=bq'×cq''ad=bcq'q''    ;    q'q''=qad=bcqbc|ad

b|abn|an    ;    nN

اثبات

b|aa=bqan=bqnan=bn.qnqn=q'an=bnq'bn|anbn|anan=bnq'q'=qnan=bn.qna=bqb|a

دریافت مثال

تذکر

1- صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است:

aZ   ;a|00=a×qq=00=a×0

2- هر عدد صحیح بر ±1 بخش پذیر است:

aZ     ;    ±1|a

3- رابطه بخش پذیری روی Z خاصیت بازتابی دارد:

aZ    ;   a=a×1a|a

4- رابطه بخش پذیری روی Z خاصیت تقارنی ندارد: 

if    b|aa|b

5- رابطه بخش پذیری روی Z خاصیت پادتقارنی ندارد: 

if    b|a  ,  a|ba=b

6- رابطه بخش پذیری روی Z خاصیت تعدی دارد: 

b|a         a|cb|c

b|aa=bq'a|cc=aq''c=bq'q''c=bqb|c

مثال‌ها و جواب‌ها

بخش پذیری در اعداد صحیح

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید