سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

بخش پذیری در اعداد صحیح

آخرین ویرایش: 06 مرداد 1403

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در الگوریتم تقسیم، دیدیم:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r \end{array}} \end{array}〉 a = b q + r; (0 \leq r < |b|)$

حالتی که باقیمانده تقسیم $a$ بر $b$ مساوی صفر باشد، از اهمیت خاصی برخوردار است:

$\{\begin{array}{l} a \underset{q}{b} \\ ⋮ \\ \bar{\begin{array}{l} r = 0 \end{array}} \end{array}〉 a = b q + 0$

در این‌صورت تعریف زیر را خواهیم داشت:

تعریف بخش پذیری

عدد صحیح $a$ بر عدد صحیح $b \neq 0$ بخش پذیر است، هرگاه باقیمانده تقسیم $a$ بر $b$ صفر باشد، در این‌صورت:

$a = b q$

اگر عدد صحیح a بر $b$ بخش پذیر باشد، آن را به‌صورت $b |a$ می‌نویسیم و در حالت کلی داریم:‍

$b |a \Leftrightarrow \exists q \in Z; a = b q$

عبارت بالا به صورت‌های زیر خوانده می‌شود:

عدد صحیح $b$ عدد صحیح $a$ را می‌شمارد.
عدد صحیح $b$ عدد صحیح $a$ را عاد می‌کند.
عدد صحیح $b$ یک مقسوم علیه عدد $a$ است.
عدد صحیح $b$ یک شمارنده عدد $a$ است.
عدد صحیح $b$ یک عامل عدد $a$ است.
عدد صحیح $a$ یک مضرب عدد $a$ است.

به‌عنوان نمونه داریم:

عدد $5$ عدد $15$ را می‌شمارد:

$5 |15 \Leftrightarrow 15 = 5 (3)$

عدد $7$ عدد $(- 21)$ را می‌شمارد:

$7 |- 21 \Leftrightarrow - 21 = 7 (- 3)$

عدد $(- 6)$ عدد $42$ را می‌شمارد:

$- 6 |42 \Leftrightarrow 42 = (- 6) (- 7)$

نکته

1- اگر a بر $b$ بخش پذیر نباشد، می‌نویسیم: $b | a$

2- علت بیان (گزاره $b$ یک مقسوم علیه $a$ است و به‌صورت $b |a$ بیان می‌کنند) آن است که با توجه به آن‌که مقسوم علیه یک عدد در مجموعه اعداد طبیعی کوچک‌تر یا مساوی خود عدد است.

یعنی اگر $b |a$ آن‌گاه $b \leq a$ است لذا مانند رابطه $0 \leq 0$ در این‌جا نیز مقسوم علیه را در سمت چپ می‌نویسیم.

3- فرض کنید $a$ یک عدد صحیح دل‌خواه باشد، مجموعه مقسوم علیه های $a$ را با نماد $D (a)$ نشان می‌دهیم.

تمرین

با توجه به تعریف رابطه عاد کردن، جاهای خالی را پر کنید.

$\begin{array}{l} 7| 63 \Leftrightarrow 63 = \dots \times \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} 7| 63 \Leftrightarrow 63 = 7 \times 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} 91 = 7 \times \dots \Leftrightarrow \dots| 91 \end{array}$

$\begin{array}{l} 91 = 7 \times (13) \Leftrightarrow 13| 91 \end{array}$

$\begin{array}{l} - 6| 54 \Leftrightarrow \dots = \dots \times (- 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} - 6| 54 \Leftrightarrow 54 = (- 9) \times (- 6) \end{array}$

$\begin{array}{l} 5| - 35 \Leftrightarrow \dots = 5 \times \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} 5| - 35 \Leftrightarrow - 35 = 5 \times (- 7) \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 = 18 \times \dots \Leftrightarrow 18| \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} 0 = 18 \times (0) \Leftrightarrow 18| 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a| 1 \Leftrightarrow a = \dots, a = \dots \end{array}$

$\begin{array}{l} a| 1 \Leftrightarrow a = 1, a = - 1 \end{array}$

$26 = 2 \times 13 \Leftrightarrow 2| \dots, \dots| 26$

$26 = 2 \times 13 \Leftrightarrow 2| 26, 13| 26$

تمرین

با استفاده از تعریف عاد کردن و قوانین توان، ثابت کنید:

$3^{5}| 3^{9}$

$\begin{array}{l} 3^{9} = 3^{5} \times 3^{4} \Leftrightarrow 3^{5}| 3^{9} \end{array}$

$a^{m}| a^{n}; m, n \in N, m \leq n$

$a^{n} = a^{m} \times a^{n - m} \Leftrightarrow a^{m}| a^{n}$

تمرین

اگر $a$ عدد صحیح و فرد باشد و داشته باشیم:

$b| a + 2$

باقی مانده تقسیم عدد $a^{2} + b^{2} + 3$ بر $8$ را بیابید.

$b| a + 2 \overset{a = 2 n + 1}{\to} b| (2 n + 1) + 2 \Rightarrow b| 2 n + 3$

از $b| 2 n + 3$ نتیجه می‌شود که $2 n + 3$ عددی فرد است، بنابراین $b$ فرد است.

فرض کنید $b = 2 k + 1$ باشد:

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + 3 = {(2 n + 1)}^{2} + {(2 k + 1)}^{2} + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = (4 n^{2} + 4 n + 1) + (4 k^{2} + 4 k + 1) + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = (4 n^{2} + 4 n) + (4 k^{2} + 4 k) + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = 4 [n (n + 1)] + 4 [k (k + 1)] + 5 \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = 4 (2 q_{1}) + 4 (2 q_{2}) + 5 \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = 8 (q_{1} + q_{2}) + 5 \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} + 3 = 8 (q) + 5 \\ \Rightarrow r = 5 \end{array}$

قضایای بخش پذیری

قضیه

$b |a \Rightarrow b |- a$

اثبات

$b |a \Rightarrow a = b q \Rightarrow (- a) = b (- q) \Rightarrow b |- a$

قضیه

$b |a \Rightarrow - b |a$

اثبات

$b |a \Rightarrow a = b q \Rightarrow a = (- b) (- q) \Rightarrow - b |a$

قضیه

$b |a \Rightarrow - b |- a$

اثبات

$b |a \Rightarrow a = b q \Rightarrow (- a) = (- b) q \Rightarrow - b |- a$

قضیه

$b |a \Rightarrow b |m a; a, m \neq 0$

اثبات

$b |a \Rightarrow a = b q \Rightarrow m a = b (m q) \Rightarrow b |m a$

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

$\{\begin{cases} b| a \Rightarrow b| a^{2} \\ b| a \Rightarrow b| a^{n} \end{cases}$

به‌عنوان نمونه داریم:

$3 |6 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 |6 \times 5 \\ 3 |6 \times 4 \\ 3 |6 \times (- 7) \end{cases}$

تمرین

ثابت کنید حاصل ضرب سه عدد صحیح متوالی همواره بر $3!$ بخش پذیر است.

$(1$ فرض كنيم $n (n - 1)$ حاصل ضرب دو عدد صحيح متوالی می‌باشد، روی حالت های ممكن برای $n$ بحث می‌كنيم.

عدد صحيح $n$ را می‌توان به يكی از دو صورت زير نوشت:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} n = 2 k \Rightarrow 2 |n \\ n = 2 k + 1 \Rightarrow n - 1 = 2 k \Rightarrow 2 |n - 1 \end{cases} \\ \Rightarrow 2 |n \times (n - 1) \\ \Rightarrow 2 |n (n - 1) \times (n + 1) \\ \Rightarrow 2 | n^{3} - n \end{array}$

$(2$ $n$ را به سه صورت زیر افراز می‌کنیم:

$\begin{array}{l} n = 3 k \Rightarrow 3 | n \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 k + 1 \Rightarrow n - 1 = 3 k \Rightarrow 3 |(n - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 k + 2 \Rightarrow n + 1 = 3 k + 3 \Rightarrow n + 1 = 3 (k + 1) \Rightarrow n + 1 = 3 k^{'} \Rightarrow 3 | (n + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 | n \times (n - 1) \times (n + 1) \Rightarrow 3 | n^{3} - n \end{array}$

حاصل ضرب سه عدد متوالی به صورت زیر است:

$(n - 1) n (n + 1) = n^{3} - n$

این عدد هم بر عدد $2$ و هم بر عدد $3$ بخش پذیر است.

پس به حاصل ضرب این دو عدد بخش پذیر است:

$2 \times 3 = 3!$

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که $b |m a$ نمی‌توان نتیجه گرفت که $b$ حداقل یکی از دو عدد $m$ و $a$ را عاد می‌کند.

به گزاره‌های زیر دقت کنید:

$\begin{array}{l} 3 |54 \Rightarrow 3 |6 \times 9 \Rightarrow \{\begin{cases} 3 |6 \\ 3 |9 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 |30 \Rightarrow 3 |6 \times 5 \Rightarrow \{\begin{cases} 3 |6 \\ 3 | 5 \end{cases} \end{array}$

$6 |12 \Rightarrow 6 |3 \times 4 \Rightarrow \{\begin{cases} 6 | 3 \\ 6 | 4 \end{cases}$

قضیه

$b |a \Leftrightarrow m b |m a; a, m \neq 0$

اثبات

$b |a \Rightarrow a = b q \Rightarrow m a = (m b) q \Rightarrow m b |m a$

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

$m b |m a \Rightarrow m a = (m b) q \Rightarrow a = b q \Rightarrow b |a$

قضیه

$b |a \Rightarrow |b| \leq |a|; a, b \neq 0$

اثبات

$\begin{array}{l} b |a \\ \Rightarrow a = b q \\ \Rightarrow |a| = |b q| \\ \Rightarrow |a| = |b| |q|; |q| = 0, |q| = 1, ...... \end{array}$

$i f |q| = 0 \overset{|a| = |b| |q|}{\to} |a| = 0 \Rightarrow a = 0$

که این خلاف فرض است زیرا $a \neq 0$ .

$\begin{matrix} i f |q| = 1 \overset{|a| = |b| |q|}{\to} |a| = |b| \Rightarrow |b| = |a| \end{matrix}$

$\begin{matrix} i f |q| > 1 \overset{|a| = |b| |q|}{\to} |b| < |a| \end{matrix}$

$|b| \leq |a|$

قضیه

$\{\begin{cases} b |a \\ a |b \end{cases}〉 b = \pm a$

اثبات

$\{\begin{array}{l} b |a \Rightarrow |b| \leq |a| \\ a |b \Rightarrow |a| \leq |b| \end{array}〉 |b| = |a| \Rightarrow b = \pm a$

قضیه

$\{\begin{cases} b |a \\ b |c \end{cases}〉 b |a \pm c$

اثبات

$\{\begin{cases} b |a \Rightarrow a = b q_{1} \\ b |c \Rightarrow c = b q_{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} a \pm c = b q_{1} \pm b q_{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a \pm c = b (q_{1} \pm q_{2}); q_{1} \pm q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a \pm c = b (q) \end{array}$

$\Rightarrow b |a \pm c$

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که $b |a \pm c$ نمی‌توان نتیجه گرفت که $b |a$ یا $b |c$ .

به گزاره زیر دقت کنید:

$5 |8 + 2 \Rightarrow \{\begin{cases} 5 | 8 \\ 5 | 2 \end{cases}$

قضیه

$\{\begin{cases} b |a \\ b |c \end{cases}〉 b |a \times c$

اثبات

$\{\begin{cases} b |a \Rightarrow a = b q_{1} \\ b |c \Rightarrow c = b q_{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} a \times c = (b q_{1}) \times (b q_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a \times c = b (q_{1} \times q_{2}); q_{1} \times q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a \times c = b (q) \end{array}$

$\Rightarrow b |a \times c$

یادآوری

عکس قضیه فوق برقرار نیست یعنی از این‌که $b |a \times c$ نمی‌توان نتیجه گرفت که $b |a$ یا $b |c$ .

به گزاره زیر دقت کنید:

$6 |4 \times 9 \Rightarrow \{\begin{cases} 6 | 4 \\ 6 | 9 \end{cases}$

قضیه

$\{\begin{cases} b |a \\ b |c \end{cases}〉 b |m a \pm n c; \forall m, n \in Z$

اثبات

هرگاه عددی دو عدد صحیح را بشمارد، هر ترکیب خطی آن دو عدد را خواهد شمرد.

$\{\begin{cases} b |a \Rightarrow a = b q_{1} \Rightarrow m a = b (m q_{1}) \\ b |c \Rightarrow c = b q_{2} \Rightarrow n c = b (n q_{2}) \end{cases}$

$\begin{array}{l} m a \pm n c = b (m q_{1}) \pm b (n q_{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m a \pm n c = b (m q_{1} \pm n q_{2}); m q_{1} \pm n q_{2} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m a \pm n c = b (q) \end{array}$

$\Rightarrow b |m a \pm n c$

از قضیه فوق نتیجه می‌شود:

$b {|a}_{1}, b |a_{2}, \dots, b |a_{n} \Rightarrow b |a_{1} m_{1} + a_{2} m_{2} + \dots + a_{n} m_{n}$

تمرین

اگر $a \neq 0$ عدد صحیح و دو عدد $(6 m + 5), (7 m + 6)$ بر $a$ بخش پذیر باشند، ثابت کنید:

$a = \pm 1$

$\{\begin{cases} a| 7 m + 6 \Rightarrow a| 6 \times (7 m + 6) \Rightarrow a| 42 m + 36 \\ a| 6 m + 5 \Rightarrow a| 7 \times (6 m + 5) \Rightarrow a| 42 m + 35 \end{cases}$

$\begin{matrix} a| (42 m + 36) - (42 m + 35) \Rightarrow a| 1 \Rightarrow a = \pm 1 \end{matrix}$

تمرین

اگر $a > 1$ و داشته باشیم:

$a| 9 k + 4$

$a| 5 k + 3$

ثابت کنید $a$ عدد اول است.

$\{\begin{cases} a |9 k + 4 \Rightarrow a |5 \times (9 k + 4) \Rightarrow a |45 k + 20 \\ a |5 k + 3 \Rightarrow a |9 \times (5 k + 3) \Rightarrow a |45 k + 27 \end{cases}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} a |(45 k + 27) - (45 k + 20) \\ \Rightarrow a |(45 k + 27) - (45 k + 20) \\ \Rightarrow a |7 \\ \Rightarrow a = 7; a > 1 \end{array} \end{matrix}$

قضیه

$b | 1 \Rightarrow b = \pm 1$

اثبات

$b | 1 \Rightarrow |b| \leq 1 \Rightarrow \{\begin{cases} |b| = 0 \Rightarrow b = 0 \Rightarrow 0 | 1 \\ |b| = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \end{cases}$

$0 | 1$ غیر ممکن است.

قضیه

$\{\begin{cases} b | a \\ c | d \end{cases}〉 b c | a d$

اثبات

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b | a \Rightarrow a = b q^{'} \\ c | d \Rightarrow d = c q^{''} \end{cases} \\ a \times d = (b q^{'}) \times (c q^{''}) \\ \Rightarrow a d = b c (q^{'} q^{''}); q^{'} q^{''} = q \\ \Rightarrow a d = b c (q) \\ \Rightarrow b c | a d \end{array}$

قضیه

$b | a \Leftrightarrow b^{n} | a^{n}; (n \in N)$

اثبات

$\begin{array}{l} b | a \Rightarrow a = b q \Rightarrow {(a)}^{n} = {(b q)}^{n} \Rightarrow a^{n} = b^{n} . q^{n} \overset{q^{n} = q^{'}}{\to} a^{n} = b^{n} q^{'} \Rightarrow b^{n} | a^{n} \end{array}$

$b^{n} | a^{n} \Rightarrow a^{n} = b^{n} q^{'} \overset{q^{'} = q^{n}}{\to} a^{n} = b^{n} . q^{n} \Rightarrow a = b q \Rightarrow b | a$

تمرین

اگر عددی مانند $k$ در $ℤ$ باشد به‌طوری که:

$5 | 4 k + 1$

ثابت کنید:

$25 |16 k^{2} + 28 k + 6$

$\{\begin{cases} 5 |4 k + 1 \Rightarrow {(5)}^{2} {|(4 k + 1)}^{2} \Rightarrow 25 |16 k^{2} + 8 k + 1 \\ 5 |4 k + 1 \Rightarrow 5 \times 5 |5 \times (4 k + 1) \Rightarrow 25 |20 k + 5 \end{cases}$

$\begin{matrix} 25 |(16 k^{2} + 8 k + 1) + (20 k + 5) \\ \Rightarrow 25 |16 k^{2} + 28 k + 6 \end{matrix}$

تذکر

1- صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است:

$\forall a \in Z; a | 0 \Rightarrow 0 = a \times q \overset{q = 0}{\to} 0 = a \times 0$

2- هر عدد صحیح بر $\pm 1$ بخش پذیر است:

$\forall a \in Z; \pm 1 | a$

3- رابطه بخش پذیری روی $Z$ خاصیت بازتابی دارد:

$\forall a \in Z; a = a \times 1 \Rightarrow a | a$

4- رابطه بخش پذیری روی $Z$ خاصیت تقارنی ندارد:

$i f b | a \Rightarrow a | b$

5- رابطه بخش پذیری روی $Z$ خاصیت پادتقارنی ندارد:

$i f b | a, a | b \Rightarrow a = b$

6- رابطه بخش پذیری روی $Z$ خاصیت تعدی دارد:

$b | a \land a | c \Rightarrow b | c$

$\{\begin{cases} b | a \Rightarrow a = b q^{'} \\ a | c \Rightarrow c = a q^{''} \end{cases}$

$c = (b q^{'}) q^{''} \Rightarrow c = b q \Rightarrow b | c$

تمرین

ثابت کنید:

$i f b^{3} | c^{2} \Rightarrow b | c$

$\begin{array}{l} b^{3} | c^{2} \\ \Rightarrow c^{2} = b^{3} q \\ \Rightarrow c^{2} = b^{2} (b q); b q = q^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow c^{2} = b^{2} q^{'} \\ \Rightarrow b^{2} | c^{2}; b | a \Leftrightarrow b^{n} | a^{n} \\ \Rightarrow b | c \end{array}$

$i f m | n \Rightarrow (b^{m} - 1) | (b^{n} - 1); n, m \in N, b > 1$

$\begin{array}{l} m | n \Rightarrow n = m q \\ b^{n} - 1 = b^{m q} - 1 \\ \Rightarrow b^{n} - 1 = ({(b^{m})}^{q} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b^{n} - 1 = (b^{m} - 1) [{(b^{m})}^{q - 1} + {(b^{m})}^{q - 2} + \dots + 1]; {(b^{m})}^{q - 1} + {(b^{m})}^{q - 2} + .... + 1 = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b^{n} - 1 = (b^{m} - 1) (q) \\ \Rightarrow (b^{m} - 1) | (b^{n} - 1) \end{array}$

$i f 5 | 2 k + 1 \Rightarrow 25 | 14 k^{2} + 19 k + 6$

$5 | 2 k + 1 \Rightarrow 5^{2} |{(2 k + 1)}^{2} \Rightarrow 25 | 4 k^{2} + 4 k + 1; b | a \Leftrightarrow b^{n} | a^{n}$

$5 | 2 k + 1 \Rightarrow 5 \times 5 | 5 \times (2 k + 1) \Rightarrow 25 | 10 k + 5; b |a \Rightarrow m b |m a$

$\begin{array}{l} 25 | 10 k + 5 \Rightarrow 25 |(10 k + 5) \times k \Rightarrow 25 | 10 k^{2} + 5 k; b |a \Rightarrow b |m a \end{array}$

$25 | (4 k^{2} + 4 k + 1) + (10 k + 5) + (10 k^{2} + 5 k) \Rightarrow 25 | 14 k^{2} + 19 k + 6$

$n - 3| 2 n + 1 \Rightarrow n = 2, 4, 10; n \in N$

$\begin{array}{l} n - 3 | 2 n + 1 \\ \Rightarrow 2 n + 1 = k (n - 3) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k = \frac{2 n + 1}{n - 3} \\ \Rightarrow k = 2 + \frac{7}{n - 3} \end{array}$

حال بايد داشته باشيم:

$\begin{array}{l} n - 3 = \pm 1 \Rightarrow \{\begin{cases} n = 4 \\ n = 2 \end{cases} \\ n - 3 = \pm 7 \Rightarrow \{\begin{cases} n = 10 \\ n = - 4 \otimes \end{cases} \\ n = 2, 4, 10 \end{array}$

$\{\begin{cases} a| 5 m + 4 \\ a| 4 m + 3 \end{cases}〉 a = \pm 1; a \in Z$

$\begin{array}{l} a |5 m + 4 \Rightarrow a |4 (5 m + 4) \Rightarrow a |20 m + 16 \end{array}$

$\begin{array}{l} a |4 m + 3 \Rightarrow a |5 (4 m + 3) \Rightarrow a |20 m + 15 \end{array}$

$a |(20 m + 16) - (20 m + 15) \Rightarrow a |1 \Rightarrow a = \pm 1$

$\{\begin{cases} a| 4 n + 2 \\ a| 12 n + 5 \end{cases}〉 a \neq \pm 1; a \in Z$

$\begin{array}{l} a | 4 n + 2 \Rightarrow a | 3 (4 n + 2) \Rightarrow a | 12 n + 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} a | 12 n + 5 \end{array}$

$a | (12 n + 6) - (12 n + 5) \Rightarrow a | 1 \Rightarrow a = \pm 1$

$\{\begin{array}{l} \forall m, n \in Ν \\ m^{3} - n^{3} = 19 \end{array}〉 m, n = ?$

$\begin{array}{l} m^{3} - n^{3} = 19 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (m - n) (m^{2} + m n + n^{2}) = 1 \times 19 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} m - n = 1 \\ m^{2} + m n + n^{2} = 19 \end{cases}〉 \{\begin{cases} m = 3 \\ n = 2 \end{cases}$

تمرین

ثابت کنید:

$\begin{array}{l} 15 | 4^{2 n} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 4^{2 n} - 1 = 16^{n} - 1 \\ \Rightarrow 4^{2 n} - 1 = 16^{n} - 1^{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4^{2 n} - 1 = (16 - 1) (16^{n - 1} + ... + 1^{n - 1}); 16^{n - 1} + ... + 1^{n - 1} = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4^{2 n} - 1 = 15 q \\ \Rightarrow 15 |4^{2 n} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a! b! |(a + b)!; a, b \in Z \end{array}$

$\begin{array}{l} (\begin{matrix} a + b \\ a \end{matrix}) = \frac{(a + b)!}{a! (a + b - a)!} \\ \Rightarrow (\begin{matrix} a + b \\ a \end{matrix}) = \frac{(a + b)!}{a! b!} \\ \Rightarrow a! b! |(a + b)! \end{array}$

$8 | m^{2} - n^{2}; m, n \in 2 k + 1$

یادآوری)

$\{\begin{cases} m = 2 t + 1; m^{2} = 8 t + 1 \\ n = 2 k + 1; n^{2} = 8 k + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} m^{2} - n^{2} = (8 t + 1) - (8 k + 1) \\ \Rightarrow m^{2} - n^{2} = 8 t - 8 k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - n^{2} = 8 (t - k); t - k = q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow m^{2} - n^{2} = 8 q \\ \Rightarrow 8 | m^{2} - n^{2} \end{array}$

$4 | a^{2} + 2; a \in Z$

حالت اول)

$\begin{array}{l} i f a = 2 k \\ \Rightarrow a^{2} = {(2 k)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} + 2) = 4 k^{2} + 2; k^{2} = q \end{array}$

$\Rightarrow (a^{2} + 2) = 4 q + 2$

يعنی باقی مانده $a^{2} + 2$ بر $4$ مساوی $2$ است، در نتيجه:

$4 | a^{2} + 2$

حالت دوم)

$\begin{array}{l} i f a = 2 k + 1 \\ \Rightarrow a^{2} = {(2 k + 1)}^{2} \\ \Rightarrow (a^{2} + 2) = {(2 k + 1)}^{2} + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} + 2) = 4 k^{2} + 4 k + 1 + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} + 2) = 4 (k^{2} + k) + 3; k^{2} + k = q \end{array}$

$\Rightarrow (a^{2} + 2) = 4 q + 3$

يعنی باقی مانده $a^{2} + 2$ بر $4$ مساوی $3$ است، در نتيجه:

$4 | a^{2} + 2$

$7 |4^{2 n} + 2^{2 n} + 1$

چون عدد $2^{n}$ بر $3$ بخش پذير نيست، بنابراين $2^{n}$ به يكی از دو صورت زير خواهد بود:

$\{\begin{cases} 2^{n} = 3 k + 1 \\ 2^{n} = 3 k + 2 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 1) i f 2^{n} = 3 k + 1 \\ A = 4^{2 n} + 2^{2 n} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = {(4)}^{3 k + 1} + {(2)}^{3 k + 1} + 1 \\ \Rightarrow A = 4 {(4^{3})}^{k} + 2 {(2^{3})}^{k} + 1 \\ \Rightarrow A = 4 {(64)}^{k} + 2 {(8)}^{k} + 1 \end{array}$

اكنون باقی مانده عدد $A$ را بر $7$ می‌يابيم:

$4 {(1)}^{k} + 2 {(1)}^{k} + 1 = 7 \Rightarrow r = 0$

$\begin{array}{l} 2) i f 2^{n} = 3 k + 2 \\ A = 4^{2 n} + 2^{2 n} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 4^{3 k + 2} + 2^{3 k + 2} + 1 \\ \Rightarrow A = 4^{2} (4^{3 k}) + 2^{2} (2^{3 k}) + 1 \\ \Rightarrow A = 16 {(64)}^{k} + 4 {(8)}^{k} + 1 \end{array}$

اكنون باقی مانده عدد $A$ را بر $7$ می‌يابيم:

$16 {(1)}^{k} + 4 {(1)}^{k} + 1 = 21 \Rightarrow r = 0$

يعنی $A$ بر عدد $7$ بخش پذير است.

$7 |3^{6 m} + 2^{3 n} + 5; m, n > 0$

$\begin{array}{l} A = 3^{6 m} + 2^{3 n} + 5 \\ \Rightarrow A = {(3^{3})}^{2 m} + {(2^{3})}^{n} + 5 \\ \Rightarrow A = {(27)}^{2 m} + {(8)}^{n} + 5 \end{array}$

اكنون باقی مانده عدد $A$ را بر $7$ می‌يابيم:

${(- 1)}^{2 m} + {(1)}^{n} + 5 = 1 + 1 + 5 = 7 \Rightarrow r = 0$

$8| 9^{n} + 7; n \in N$

از استقراء رياضی استفاده می‌كنيم:

$\begin{array}{l} n = 1 : 9^{1} + 7 = 16 = 2 \times 8 \end{array}$

برقرار است.

فرض استقراء:

$\begin{array}{l} n = k : 9^{k} + 7 = 8 q \end{array}$

حكم استقراء:

$n = k + 1 : 9^{k + 1} + 7 = 8 q^{'}$

دو طرف فرض استقراء را در $9$ ضرب می‌كنيم. ( در عددی ضرب می‌كنيم كه عدد توان دار درحكم ظاهر شود.)

$\begin{array}{l} 9^{k} + 7 = 8 q \\ \Rightarrow 9 (9^{k} + 7) = 9 (8 q) \\ \Rightarrow 9^{k + 1} + 63 = 9 \times 8 q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9^{k + 1} + (7 + 56) = 9 \times 8 q \\ \Rightarrow 9^{k + 1} + 7 = 9 \times 8 q - 56 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9^{k + 1} + 7 = 8 (9 q - 7); 9 q - 7 = q^{'} \end{array}$

$\Rightarrow 9^{k + 1} + 7 = 8 q^{'}$

حكم استقراء ثابت شد.

تمرین

اگر اعدادی $a, b$ فرد باشند، ثابت کنید:

$a^{2} - b^{2} = 8 k$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a^{2} = 8 k_{1} + 1 \\ b^{2} = 8 k_{2} + 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = 8 (k_{1} - k_{2}) = 8 (k) \end{array}$

$8 |(a^{2} + b^{2}) - 2$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a^{2} = 8 k_{1} + 1 \\ b^{2} = 8 k_{2} + 1 \end{cases} \\ a^{2} + b^{2} = 8 (k_{1} + k_{2}) + 2 \\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 8 (k) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} + b^{2}) - 2 = 8 k \\ \Rightarrow 8 |(a^{2} + b^{2}) - 2 \end{array}$

$16 |a^{4} - b^{4}$

$\begin{array}{l} a^{2} = 8 k_{1} + 1 \Rightarrow a^{4} = {(8 k_{1} + 1)}^{2} = 64 {k_{1}}^{2} + 16 k_{1} + 1 = 16 (4 k_{1}^{2} + k_{1}) + 1 = 16 (k^{'}) + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} b^{2} = 8 k_{2} + 1 \Rightarrow b^{4} = {(8 k_{2} + 1)}^{2} = 64 k_{2}^{2} + 16 k_{2} + 1 = 16 (4 k_{2}^{2} + k_{2}) + 1 = 16 (k^{''}) + 1 \end{array}$

$a^{4} - b^{4} = 16 (k^{'} - k^{''}) = 16 (k) \Rightarrow 16 |a^{4} - b^{4}$

تمرین

با استقراء ثابت كنيد:

$7 | 2^{3 n} - 1; n \in N$

از استقراء رياضی استفاده می‌كنيم:

$\begin{array}{l} n = 1 : 7 | 2^{3 (1)} - 1 \Rightarrow 7 | 2^{3} - 1 \Rightarrow 7 | 7 \end{array}$

برقرار است.

فرض استقراء:

$\begin{array}{l} n = k : 7 | 2^{3 k} - 1 \end{array}$

حكم استقراء:

$n = k + 1 : 7 | 2^{3 (k + 1)} - 1$

$\begin{array}{l} 7 | 2^{3 k} - 1 \\ \Rightarrow 2^{3 k} - 1 = 7 q \\ \Rightarrow 2^{3} \times (2^{3 k} - 1) = 2^{3} \times 7 q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{3 k + 3} - 8 = 56 q \\ \Rightarrow 2^{3 k + 3} - 1 - 7 = 56 q \\ \Rightarrow 2^{3 k + 3} - 1 = 56 q + 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{3 k + 3} - 1 = 7 (8 q + 1); 8 q + 1 = q^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{3 k + 3} - 1 = 7 q^{'} \\ \Rightarrow 7 |2^{3 k + 3} - 1 \\ \Rightarrow 7 |2^{3 (k + 1)} - 1 \end{array}$

تمرین

ثابت كنيد:

حاصل ضرب دو عدد صحيح متوالی بر $2$ بخش پذير است.

فر ض كنيم $n (n - 1)$ حاصل ضرب دو عدد صحيح متوالی باشد.

روی حالت‌های ممكن برای $n$ بحث می‌كنيم.

عدد صحيح $n$ را می‌توان به يكی از دو صورت زير نوشت:

$\begin{array}{l} n = 2 k \Rightarrow 2 |n \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 2 k + 1 \Rightarrow n - 1 = 2 k \Rightarrow 2 |n - 1 \end{array}$

$2 |n \times (n - 1)$

نشان دهید $3 | n^{3} - n$

$n$ را به سه صورت زیر افراز می‌کنیم:

$\begin{array}{l} n = 3 k \Rightarrow 3 | n \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 k + 1 \Rightarrow n - 1 = 3 k \Rightarrow 3 |(n - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} n = 3 k + 2 \Rightarrow n + 1 = 3 k + 3 \Rightarrow n + 1 = 3 (k + 1) \Rightarrow n + 1 = 3 k^{'} \Rightarrow 3 | (n + 1) \end{array}$

$3 | n \times (n - 1) \times (n + 1) \Rightarrow 3 | n^{3} - n$

تمرین

اگر عددی صحيح دل‌خواه باشد، آن‌گاه:

ثابت كنيد همواره $a + 2$ يا $a + 4$ بر $3$ بخش پذير است.

اگر $a$ صحيح باشد، می‌توان آن را به يكی از سه صورت زیر نوشت:

$\begin{array}{l} a = 3 k \Rightarrow 3 |a \end{array}$

$\begin{array}{l} a = 3 k + 1 \Rightarrow a + 2 = 3 k + 1 + 2 = 3 (k + 1) = 3 k^{'} \Rightarrow a + 2 = 3 k^{'} \Rightarrow 3 |a + 2 \end{array}$

$a = 3 k + 2 \Rightarrow a + 4 = 3 k + 2 + 4 = 3 (k + 2) = 3 k^{'} \Rightarrow a + 4 = 3 k^{'} \Rightarrow 3 |a + 4$

تمرین

در يک تقسيم، مقسوم و مقسوم عليه هر دو بر عدد صحيح $n$ بخش پذير است.

ثابت كنيد باقی مانده همواره بر $n$ بخش پذير است.

طبق فرض داریم:

$\begin{array}{l} a = b q + r \Rightarrow a - b q = r \end{array}$

$\{\begin{array}{l} n | a \\ n | b \Rightarrow n | b q \end{array}〉 n | a - b q \Rightarrow n | r$

تمرین

مربع رقم ده گان به اضافه $16$ برابر مربع رقم يكان يک عدد دو رقمی، مساوی $8$ برابر حاصل ضرب ارقامش است.

نشان دهید اين عدد همواره بر $41$ بخش پذير است.

فرض کنیم $A = a b$ یک عدد دو رقمی است:

$\begin{array}{l} a^{2} + 16 b^{2} = 8 a b \\ \Rightarrow (a^{2} + 16 b^{2} - 8 a b) = 0 \\ \Rightarrow {(a - 4 b)}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a - 4 b = 0 \\ \Rightarrow a = 4 b \\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{4}{1} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 1 \end{cases}〉 A = 41 \end{array}$

تمرین

$a$ مضربی از $6$ و $b$ مضربی از $15$ می‌باشد.

نشان دهید باقی مانده تقسيم $a$ بر $b$ ، بر عدد $3$ همواره بخش پذير است.

$\{\begin{cases} a = 6 q^{'} \\ b = 15 {q^{'}}^{'} \end{cases}$

$\begin{array}{l} a = b q + r \\ \Rightarrow 6 q^{'} = (15 {q^{'}}^{'}) q + r \\ \Rightarrow r = 6 q^{'} - 15 {q^{'}}^{'} q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r = 3 (2 q^{'} - 5 {q^{'}}^{'} q); 2 q^{'} - 5 {q^{'}}^{'} q = Q \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow r = 3 (Q) \\ \Rightarrow 3 | r \end{array}$

باقی مانده تقسيم $a$ بر $b$ ، بر عدد $3$ همواره بخش پذير است.

تمرین

ثابت كنيد حاصل جمع دو عدد صحيح زوج و هم‌چنين حاصل جمع دو عدد صحيح فرد، عددی زوج است.

$k^{'}, {k^{'}}^{'} \in Ζ$

مجموع دو عدد زوج، زوج است:

$\{\begin{array}{l} a = 2 k^{'} \\ b = 2 {k^{'}}^{'} \end{array}〉 a + b = 2 (k^{'} + {k^{'}}^{'}) \Rightarrow a + b = 2 (k) \Rightarrow 2 | a + b$

مجموع دوعدد فرد، زوج است:

$\{\begin{array}{l} a = 2 k^{'} + 1 \\ b = 2 {k^{'}}^{'} + 1 \end{array}〉 a + b = 2 (k^{'} + {k^{'}}^{'} + 1) \Rightarrow a + b = 2 (k) \Rightarrow 2 | a + b$

ثابت كنيد حاصل ضرب دو عدد فرد، فرد است.

$\{\begin{cases} a = 2 k^{'} + 1 \\ b = 2 {k^{'}}^{'} + 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a . b = (2 k^{'} + 1) . (2 {k^{'}}^{'} + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a . b = 4 k^{'} {k^{'}}^{'} + 2 k^{'} + 2 {k^{'}}^{'} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a . b = 2 (2 k^{'} {k^{'}}^{'} + k^{'} + {k^{'}}^{'}) + 1; 2 k^{'} {k^{'}}^{'} + k^{'} + {k^{'}}^{'} = k \end{array}$

$\Rightarrow a . b = 2 (k) + 1$

$a b$ فرد است.

ثابت كنيد حاصل ضرب هر دو عدد به‌صورت $4 q + 1$ و هم‌چنين حاصل ضرب هر دو عدد به‌صورت $4 q + 3$ به صورت $4 q + 1$ است.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 4 q + 1 \\ b = 4 q^{'} + 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} a . b = (4 q + 1) . (4 q^{'} + 1) = 16 q q^{'} + 4 q + 4 q^{'} + 1 = 4 (4 q q^{'} + q + q^{'}) + 1 = 4 k + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} c = 4 q + 3 \\ d = 4 q^{'} + 3 \end{cases} \end{array}$

$c . d = (4 q + 3) . (4 q^{'} + 3) = 16 q q^{'} + 12 q + 12 q^{'} + 9 = 4 (4 q q^{'} + 3 q + 3 q^{'} + 2) + 1 = 4 k^{'} + 1$

ثابت كنيد مربع هر عدد فرد به‌صورت $8 q + 1$ است.

$\begin{array}{l} a = 2 k + 1 \\ \Rightarrow a^{2} = {(2 k + 1)}^{2} \\ \Rightarrow a^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} = 4 [k (k + 1)] + 1 \\ \Rightarrow a^{2} = 4 (2 q) + 1 \\ \Rightarrow a^{2} = 8 q + 1 \end{array}$

توجه کنید که حاصل ضرب دو عدد متوالی، همواره بر عدد $2$ بخش پذیر است:

$k (k + 1) = 2 q$

نشان دهيد حاصل ضرب دو عدد به‌شکل $6 q + 5$ به‌صورت $6 q + 1$ است.

$\{\begin{cases} a = 6 q_{1} + 5 \\ b = 6 q_{2} + 5 \end{cases}$

$\begin{array}{l} a . b = (6 q_{1} + 5) . (6 q_{2} + 5) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a . b = 36 q_{1} q_{2} + 30 q_{1} + 30 q_{2} + 25 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a . b = 36 q_{1} q_{2} + 30 q_{1} + 30 q_{2} + 24 + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a . b = 6 (6 q_{1} q_{2} + 5 q_{1} + 5 q_{2} + 4) + 1; 6 q_{1} q_{2} + 5 q_{1} + 5 q_{2} + 4 = q \end{array}$

$\Rightarrow a . b = 6 q^{'} + 1$

دستوری برای تعيين عدد $n \in N$ بيابيد به طوری‌كه عدد $3 n + 7$ همواره مضرب $5$ باشد.

$\begin{array}{l} 3 n + 7 = 5 m \Rightarrow n = \frac{5 m - 7}{3} \Rightarrow n = 2 m - 2 - \frac{m + 1}{3} \end{array}$

$\frac{m + 1}{3} = k \Rightarrow m = 3 k - 1$

مقدار $m$ را در معادله فرض قرار می‌دهيم:

$\begin{array}{l} 3 n + 7 = 5 m \\ \Rightarrow 3 n + 7 = 5 (3 k - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 n + 7 = 5 m \\ \Rightarrow 3 n + 7 = 5 (3 k - 1) \\ \Rightarrow 3 n + 7 = 15 k - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 n = 15 k - 12 \\ \Rightarrow n = 5 k - 4 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

المپیاد جهانی ریاضی استرالیا

اگر داشته باشیم:

$a b + 1 |a^{2} + b^{2}; a, b \in N$

کدام گزینه زیر، مربع کامل است؟

$\frac{b^{2} + 1}{a b + 1}$
$\frac{a^{2} + 1}{a b + b^{2}}$
$\frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$
$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

بخش پذیری در اعداد صحیح

7,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

بخش پذیری در اعداد صحیح

تعریف بخش پذیری

قضایای بخش پذیری

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟