ب‌ م‌ م (مقدمه)

آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:

تعريف ب‌م‌م

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک دو عدد، بزرگ‌ترين عدد طبيعی است که هر دو عدد بر آن بخش پذير باشند.

بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک دو عدد طبيعی a و b را با علامت ab یا a,b نمايش می‌دهند.

روش‌های تعيين ب‌م‌م

تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی 

در اين روش فرض کنيم می‌خواهيم ب‌م‌م دو عدد a و b را به‌دست آوريم.

ابتدا Da و Db را يافته (مجموعه مقسوم عليه‌های اعداد a و b) سپس در مجموعه DaDb بزرگ‌ترين عضو مجموعه، همان ب‌م‌م دو عدد می‌باشد.

تمرین

با روش تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی، ب‌م‌م هر دسته از اعداد داده شده در زير را به‌دست آوريد.

1812

D18=1,2,3,6,9,18D12=1,2,3,4,6,12  D18D12=1,2,3,61812=6

1445

D14=1,2,7,14D45=1,3,5,9,15,45  D14D45=11445=1

153545

D15=1,3,5,15D35=1,5,7,35D45=1,3,5,9,15,45  D15D35D45=1,5153545=5

نکته

دو عدد متباين (نسبت به‌هم اول)

دو عدد را نسبت به‌هم اول گويند در صورتی که بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک آنها عدد 1 باشد.   

تمرین

آیا دو عدد 8 و 15 نسبت به‌هم اولند؟

D8=1,2,4,8D15=1,3,5,15  D8D15=1815=1

ثابت کنيد دو عدد اول متفاوت مانند p و q نسبت به‌هم اولند.

p:Dp=1,pq:Dq=1,qDpDq=1pq=1

تقسيم‌های متوالی (روش نردبانی)

می‌خواهيم 1812 را که قبلا با روش تشکيل مجموعه مقسوم عليه‌های طبيعی محاسبه کرده‌ايم، به‌روش تقسيم‌های متوالی حساب کنيم: 

    1812                               12612¯    1                12¯  2               1812=6     6                                        0

مرحله اول- عدد 18 (عدد بزرگ‌تر) را بر 12 تقسيم می‌کنيم. اين تقسيم باقيمانده‌ای برابر 6 دارد.

مرحله دوم- مقسوم عليه قديمی (يعنی 12) را بر باقيمانده غير صفر (یعنی 6) تقسيم می‌کنيم. در اين مرحله باقيمانده صفر می‌شود.

مقسوم عليه اين تقسيم که همان باقيمانده تقسيم قبلی است ب‌م‌م می‌باشد.

اين الگوريتم را تا آنجا بايد ادامه دهيم که باقيمانده صفر شود.

عمليات فوق را در جدول زیر می‌توان تنظيم کرد:

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو   

1812=6

سطر اول اين جدول سلسله خارج قسمت‌ها است و اين جدول به جدول نردبانی معروف است.

خانه‌های سطر دوم از تفاضل مقسوم و باقيمانده مربوط به همان تقسيم به‌دست می‌آيد. 

تمرین

ب‌م‌م اعداد زير را به‌روش نردبانی به‌دست آوريد:

3815

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو


38515=5

442286

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو


442286=26

n+1n

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو


n+1n=1

تمرین

در تمرینات زير برای يافتن ب‌م‌م دو عدد، از روش نردبانی استفاده کرده‌ايم. جدول را کامل کنيد و اعداد a و b را به‌دست آوريد.

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

a=b×1+r1b=r1×2+3r1=3×3+0r1=9b=9×2+3=21a=21×1+9=30


بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو


a=b×2+r1        ;    1b=r1×1+r2       ;    2r1=r2×q3+2    ;    3r2=2×3+0r2=6r12=18r1=20320=6×q3+218=6×q3q3=32b=20×1+6=26   1a=26×2+20=72


بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

a=b×q1+r1       ;    1b=r1×q2+r2     ;    2r1=r2×q3+r3    ;    3r2=r3×3+0        ;    4ar1=20             ;    5br2=7               ;    6r1r3=6              ;    7

r20=3r2=343=r3×3r3=17r11=6r1=7br2=7r2=3b3=7b=10ar1=20r1=7a7=20a=27r1=r2×q3+r3r3=1r1=7,r2=37=3×q3+16=3×q3q3=2b=r1×q2+r210=7×q2+37=7×q2q2=1a=b×q1+r127=10×q1+720=10×q1q1=2


بزرگ‌ترين مقسوم‌ عليه مشترک - پیمان گردلو

تجزيه به حاصل ‌ضرب اعداد اول

در اين روش برای تعيين ب‌م‌م دو عدد a و b ابتدا آنها را به حاصل ضرب عوامل اول تجزيه می‌کنيم، سپس عوامل مشترک را با کم‌ترين توان انتخاب و درهم ضرب می‌کنيم.

تمرین

بزرگ‌ترين مقسوم عليه مشترک، هر دسته از اعداد زير را با استفاده از تجزيه هر عدد به حاصل ضرب عوامل اول به‌دست آوريد.

1812

18=2×3212=22×3  1812=2×3=6

33615001800

336=24×3×71500=22×3×531800=23×32×52  33615001800=22×3=12

45×12×18272×5

45×12×18=32×5×22×3×2×32=23×35×5272×5=332×5=36×545×12×18272×5=35×5=1215

900036006048

9000=23×32×533600=24×32×526048=25×33×7  900036006048=23×32=72

82×103×124183×152×142

82×103×124=232×2×53×22×34=26×23×53×28×34=217×34×53183×152×142=2×323×3×52×2×72=23×36×32×52×22×72=25×38×52×7282×103×124183×152×142=25×34×52

تمرین

اگر ب‌م‌م دو عدد زیر برابر 288 باشد، مقدار x چقدر است؟

M=4x×63N=82×9

M=4x×63=22x×2×33=22x×23×33=22x+3×33N=82×9=232×32=26×32MN=28825×3222x+3×3326×32=25×322x+3=52x=2x=1

تمرین

در دو عدد زیر، حاصل عبارات MNM و MNN را به‌دست آوريد.

M=242×183×4N=154×125

M=242×183×4=23×32×2×323×22=26×32×23×36×22=211×38N=154×125=3×54×22×35=34×54×210×35=210×39×54MN=211×38210×39×54=221×317×54MNM=221×317×54211×38=211×38=MMNN=221×317×54210×39×54=210×39×54=N

برای ارسال نظر وارد سایت شوید