احتمال (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 07 شهریور 1400
دسته‌بندی: احتمالات
امتیاز:
بازدید: 45 مرتبه

مقدمه‌ای بر احتمال

همان‌طور که قبلا اشاره شد، آزمایش تصادفی آزمایشی است که نتیجه آن از قبل مشخص نباشد.

به‌طور کلی اصطلاح احتمال مربوط به‌وقوع پیشامدهای تصادفی است.

هر کدام از ما روزانه جملاتی از قبیل جملات زیر را به‌زبان می‌آوریم:

  • احتمالا تیم A در مسابقه برنده می‌شود.
  • احتمالا در این کار موفق می‌شوم.
  • احتمال پیروزی کاندید A برابر 70 درصد است

اگر به جملات فوق توجه کنیم، هر کدام از آنها نشان دهنده یک آزمایش تصادفی است و چون جواب آنها به‌طور قطع مشخص نیست، بنابراین با حدس‌های شخصی و یا اطلاعاتی که از قبل در مورد این‌گونه آزمایش‌ها داریم، جملاتی نظیر آن‌چه ذکر شد را بیان می‌کنیم.

در حقیقت به هر نقطه از فضای نمونه آزمایش مورد نظر، عددی را نسبت می‌دهیم.

به‌عنوان نمونه:

وقتی می‌گوییم احتمال پیروز شدن تیم A برابر 70 درصد است، یک فضای نمونه به‌صورت زیر داریم:

S=shekast,pirozi 

که به پیروزی تیم A عدد 70 و به شکست این تیم عدد 30 را نسبت می‌دهیم.

در یک تعریف غیر رسمی:

احتمال به‌معنای شانس وقوع یک پیشامد در انجام یک آزمایش تصادفی است.

برای فرمول‌بندی اصل موضوع احتمال از عمل نمایش پیشامدها با حروف بزرگ پیروی می‌کنیم: 

  • احتمال پیشامد A را به‌صورت PA می‌نویسیم.
  • احتمال پیشامد B را به‌صورت PB می‌نویسیم.

تعریف احتمال

احتمال، تابعی است از فضای نمونه، به‌داخل اعداد حقیقی، یعنی:

P:SR

به‌عبارت دیگر، احتمال تابع حقیقی است که به هر پیشامد A در فضای نمونه S عدد حقیقی PA را نسبت می‌دهد به‌طوری‌که در اصول زیر صادق باشد:

اصل موضوع احتمال، که ما در این‌جا فرمول‌بندی می‌کنیم فقط وقتی به‌کار می‌روند که فضای نمونه S گسسته باشد.

  1. احتمال یک پیشامد، عددی نامنفی است، یعنی برای هر زیر مجموعه A از S نامساوی PA0 برقرار است.
  2. احتمال یک پیشامد قطعی برابر یک است یعنی PS=1 است.
  3. اگر .....  ,  A2  ,  A1 دنباله‌ای متناهی یا نا‌متناهی از پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار S باشند، آن‌گاه:

PA1A2=PA1+PA2+

تمرین

در يک آزمايش، چهار پيشامد دو به دو ناسازگار D,C,B,A را در نظر می‌گيريم.

برای هر يک از موارد زير توضيح دهيد که چرا راهی مجاز برای تخصيص احتمال ها وجود ندارد.  

  PD=0.20     ,      PC=0.45     ,      PB=0.63     ,      PA=0.12    1PD=46120     ,      PC=27120     ,      PB=45120     ,      PA=9120    2

1   PD=0.20

ناقض اصل موضوع 1 است.

2)  PS=PABCD=9120+45120+27120+46120=127120>1

ناقض اصل موضوع 2 است.

تمرین

آزمايشی دارای پنج برآمد A,B,C,D,E است که دوبه‌دو ناسازگارند.

برای هر يک از موارد زير بررسی کنيد آيا تخصيص احتمال، تخصيصی مجاز است يا نه و دليل پاسخ خود را بيان کنيد. 

1   PE=0.20  ,  PD=0.20  ,  PC=0.20  ,  PB=0.20  ,  PA=0.20

تخصيصی مجاز است، زيرا احتمالات نامنفی‌اند و مجموعشان برابر 1 است.

2   PE=0.10  ,  PD=0.60  ,  PC=0.10  ,  PB=0.30  ,  PA=0.10

تخصيصی مجاز نيست، زيرا احتمال نمی‌تواند منفی باشد، در حالی که PE<0 است.

3   PE=0.08  ,  PD=0.50  ,  PC=0.05  ,  PB=0.12  ,  PA=0.23

تخصيصی مجاز نيست، زيرا مجموع احتمالات کمتر از  عدد یک است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید