مختصات نقطه و بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: بردار در فضا
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

برای نمایش سه‌تایی مرتب x0,y0,z0 در دستگاه مختصات 3 کافی است ابتدا مانند شکل 1 نقطه x0,y0 را در صفحه xy بیابیم و سپس ارتفاع آن را به‌اندازه z0 در راستای موازی با محور zها (یعنی به‌طور عمودی) تغییر دهیم تا شکل 2 حاصل شود.

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو   

می‌توان سه نقطه به طول‌های x0,y0,z0 به‌ترتیب بر روی محورهای x,y,z در نظر گرفت و سپس:

  • صفحه گذرنده از x0 و موازی با yz در نظر بگیریم.
  • صفحه گذرنده از y0 و موازی با xz در نظر بگیریم.
  • صفحه گذرنده از z0 و موازی با xy در نظر بگیریم.

 محل تقاطع این سه صفحه یک نقطه به‌طول x0، عرض y0، ارتفاع z0 است.

به‌عنوان نمونه در شکل زیر نقطه P2,4,1 نشان داده شده است:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو    

مختصات نقطه در دستگاه فضایی

به هر نقطه از فضای 3 برداری که از مبدا شروع می‌شود، نظیر کرد.

فرض کنید M=x,y,z نقطه‌ای غیر از مبدا 3 باشد، در این‌صورت پاره خط جهت داری که از مبدا مختصات O=0,0,0 شروع شده و در نقطه M پایان می‌یابد، یک بردار در 3 را مشخص می‌کند  و آن را با OM=x,y,z نشان می‌دهیم.

در بردار OM مقادیر x,y,z را مولفه‌های بردار OM می‌گویند.

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم مبدا مختصات O=0,0,0 نمایش‌گر بردار O=0,0,0 است که بردار صفر نامیده می‌شود.       

در شکل زیر چند بردار در 3 نمایش داده شده است:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو   

تعریف- فرض کنیم M=x,y,z نقطه‌ای در دستگاه مختصات باشد:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

برای این‌که نقطه M را روی محورهای مختصات تصویر قائم نماییم.

ابتدا بردار OM را به دو مولفه OH و OR تجزیه می‌کنیم.

سپس OH را به دو مولفه OP و OQ تجزیه کرده و نقاط P و Q و R را تصاویر قائم نقطه M بر محورها می‌نامیم:

در مستطیل ROHM داریم:

OH=OP+OQ

در مستطیل OQHP داریم:

OM¯+OH¯=OH¯+OR¯+OP¯+OQ¯OM¯=OP¯+OQ¯+OR¯

OP¯=xOQ¯=yOR¯=zOM¯=xi+yj+zk

تمرین

نقطه M=2,3,5 را در دستگاه مختصات مشخص کنید.

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو


روی محور xها نقطه A را به‌طول 2 و روی محور yها نقطه B را به عرض 3 اختیار می‌کنیم.


نقطه C روی صفحه xy به‌طول 2 و عرض 3 و ارتفاع 0 مشخص می‌شود یعنی C2,3,0.


اکنون چون ارتفاع نقطه M برابر 5 است از C خط عمودی را بر صفحه xy رسم می‌کنیم ، سپس در جهت مثبت محور zها (چون 5 مثبت است) M را روی این خط چنان مشخص می‌کنیم که طول CM برابر 5 باشد، به این ترتیب جای نقطه M مشخص می‌شود. 

نقاط A=2,3,1 و B=1,2,2 و C=3,4,0 را در دستگاه مختصات مشخص کنید. 

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

فاصله نقطه از مبدا در دستگاه مختصات فضایی

برای یافتن فاصله یک نقطه از فضای 3 مانند M=x,y,z از مبدا مختصات، کافی است از نقطه M عمودی بر صفحه xy رسم کرده و پای عمود را M' بنامیم.

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو  

از قضیه فیثاغورس، طول پاره‌خط OM' به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

OM'=x2+y2

اکنون در مثلث قائم‌الزاویه OMM' از قضیه فیثاغورس برای محاسبه طول وتر OM استفاده می‌کنیم:

OM=OM'2+z2=x2+y2+z2

طول هربردار مانند OM به مختصات x,y,z در 3 از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

OM=x2+y2+z2

تمرین

در شکل زیر اتاقی به ابعاد داده شده را مشاهده می‌کنید:

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

طول قطر این اطاق را از یک گوشه آن به گوشه مقابلش را محاسبه کنید.

قطر مستطیل کف اتاق:

42+52=41


قطر اتاق:

d=412+32=41+9=50=52

نکته

رابطه فوق را می‌توان با توجه به‌شکل برای فاصله دو نقطه دل‌خواه از 3 مانند P=x0,y0,z0 و Q=x1,y1,z1 به‌صورت زیر تعمیم داد:  

PQ=x0x12+y0y12+z0z12

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

نکته

اگر Ax1,y1,z1 و Bx2,y2,z2 دو نقطه باشد:

1- بردار AB به‌وسیله مختصات چنین است:

AB=x2x1,y2y1,z2z1


2- 
مختصات نقطه M وسط AB به‌صورت زیر است: 

M12x1+x2  ,  12y1+y2  ,  12z1+z2


3- 
طول یا اندازه بردار AB برابر است با:   

AB=x2x12+y2y12+z2z12


4-
 فاصله دو نقطه A و B را طول پاره‌خط AB گویند و به‌صورت AB نشان می‌دهیم. 

فاصله بین دو نقطه یا طول یک پاره خط واحد دارای چهار شرط زیر است:

AB0A=BAB=0AB=BAAB+BCAC

نامساوی اخیر به نامساوی مثلثی معروف است.

دریافت مثال

نکته

اگر V1=x1,y1,z1 و V2=x2,y2,z2 دو بردار باشند: 

1- مجموع دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

V=x1+x2,y1+y2,z1+z2V1+V2=x1,y1,z1+x2,y2,z2=x1+x2,y1+y2,z1+z2=V


2- 
جمع دو بردار V1=x1i+y1j+z1kV2=x2i+y2j+z2k با فرمول زیر معین می‌شود:

V1+V2=x1+x2i+y1+y2j+z1+z2k

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو


3- 
برای هر عدد حقیقی r حاصل‌ضرب r در بردار V1=x1,y1,z1 را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: 

rV1=rx1,y1,z1=rx1,ry1,rz1

اگر r>1 باشد V1 و rV1 هم‌راستا هستند و شکل زیر را خواهیم داشت:  

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو


4-
تفاضل دو بردار، برداری است به‌صورت زیر:

V=x1x2,y1y2,z1z2V1V2=x1,y1,z1x2,y2,z2=x1x2,y1y2,z1z2=V


5-
 تفاضل دو بردار V1=x1i+y1j+z1kV2=x2i+y2j+z2k با فرمول زیر معین می‌شود: 

V1V2=x1x2i+y1y2j+z1z2k

مختصات نقطه و بردار در دستگاه فضایی سه بعدی - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

اگر V=x,y,z برداری در دستگاه مختصات باشد:

1- z,y,x را مختصات بردار یا اندازه جبری تصاویر V بر محورها می‌نامیم. 


2- 
z,y,x را اندازه تصاویر بردار V بر محورها می‌نامیم.  


3-
 zk  yj  xi را تصاویر بردار V بر محورها می‌نامیم.  


4-
 V=xi+yj+zk را مجموعه مولفه‌های V بر محورها می‌نامیم.   


5-
 طول یا اندازه بردار V برابر است با: 

V=x2+y2+z2


6-
 تصویر بردار V=x,y,z روی صفحات xy و xz و yz عبارتند از: 

تصویر V روی صفحه xOy

OPx,y,0=xi+yjOP=x2+y2

تصویر V روی صفحه yOz

OP0,y,z=yj+zkOP=y2+z2

تصویر V روی صفحه xOz

OPx,0,z=xi+zkOP=x2+z2


7-
 کسینوس‌های هادی بردار:

جهت یا راستای بردار V=x,y,z به‌وسیله زوایای γ,β,α که بردار با محورها می‌سازد، مشخص می شود. 

کسینوس‌های این زوایا را کسینوس‌های هادی بردار نامیده و از فرمول‌های زیر به‌دست می‌آوریم.

cosα=xV=xx2+y2+z2cosβ=yV=yx2+y2+z2cosγ=zV=zx2+y2+z2

روابط بین کسینوس‌های هادی برای هر بردار به‌صورت زیر است:

cos2α+cos2β+cos2γ=1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مختصات نقطه و بردار

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید