مقدمه‌ ای بر بردار

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: بردار در صفحه
امتیاز:
بازدید: 37 مرتبه

کمیت

هر چیزی که قابل اندازه‌گیری باشد را کمیت می‌نامند.

کمیت اسکالر

اسکالر، کمیتی فیزیکی است که فقط اندازه یا مقدار دارد و جهت ندارد.

کمیت‌هایی مانند طول، مساحت، حجم، کار انجام شده، جرم و ... اسکالر هستند. 

کمیت برداری

بردار، کمیتی است فیزیکی که هم اندازه و هم جهت دارد.

کمیت‌هایی مانند سرعت، شتاب، نیرو، میدان مغناطیسی و ... کمیت‌های برداری هستند.      

بردار

قایق کوچکی را در نقطه‌ای مانند A از یک رودخانه پر آبی بدون حرکت در نظر می‌گیریم:

بردار - پیمان گردلو

اگر تصور کنیم که این قایق از نقطه A فقط در اثر جریان آب شروع به حرکت کند و در نقطه‌ای دیگر مانند B متوقف شود، در اصطلاح مسافت طی شده AB را که دارای اندازه و امتداد و جهت است را یک بردار می‌نامیم.

تعریف بردار

بردار پاره خطی است جهت‌دار که دارای ابتدا و انتها می‌باشد.

  • برداری که ابتدایش A و انتهایش B باشد، به‌صورت AB نشان داده می‌شود.
  • گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نمایش می‌دهند.

بردار - پیمان گردلو

نکته

خطی که از امتداد بردار پدید می‌آید راستا یا محمل بردار خوانده می‌شود.

بردار - پیمان گردلو

مختصات یک بردار

بردار AB به‌منزله یک انتقال در صفحه است، انتقالی از نقطه A به نقطه B.

این انتقال را با توجه به مختصات نقاط در صفحه می‌توان به دو انتقال یکی در امتداد افق و دیگری در امتداد قائم تجزیه کرد. 

بردار - پیمان گردلو  

در شکل فوق نقطه A توسط بردار AB به نقطه B منتقل شده است.

در این جابه‌جایی به طول A به اندازه 5 واحد مثبت اضافه شده و از عرض نقطه A به اندازه 4 واحد کاسته شده است.

در این حالت می‌گوییم مختصات بردار AB عبارت است از   54 و می‌نویسیم:

AB=  54

برای هر بردار در صفحه یک مختصات تعریف می‌شود، این مختصات با توجه به توضیحات بالا همان انتقال است که بردار انجام می‌دهد:

A=2  3B=  31BA=  312  3=32  13=  54=AB

نکته

برای یافتن مختصات یک بردار که ابتدا و انتهایش مشخص باشد، می‌توانیم مختصات انتها را از مختصات ابتدا کم کنیم، یعنی:

اگر A=xAyA و B=xByB باشد، آن‌گاه: 

AB=xByBxAyA

دریافت مثال

بردار مکان یک نقطه

نقطه A=ab را در صفحه مختصات در نظر بگیرید. 

بردار - پیمان گردلو

بردار OA که ابتدای آن مبدا مختصات و انتهای آن نقطه A می‌باشد، بردار مکان نقطه A نامیده می‌شود.

شکل فوق نشان می‌دهد که مختصات بردار OA همان مختصات نقطه A است.

OA=AO=ab00=ab=AOA=A

نکته

معمولا اگر ابتدا یا انتهای برداری در دسترس نباشد و فقط مختصات بردار را داشته باشیم، ابتدای بردار را مبدا مختصات در نظر می‌گیریم.

تمرین

نقطه A=  34 و بردار CA=45 داده شده‌اند:

مختصات نقطه C را به‌دست آورید.

CA=AC  45=  34CC=  34  45C=1   1

از مبدا مختصات بردار OB را مساوی CA رسم کنید.    

CA=45=OB


بردار - پیمان گردلو


معمولا اگر ابتدا یا انتهای برداری در دسترس نباشد و فقط مختصات بردار را داشته باشیم، ابتدای بردار را مبدا مختصات در نظر می‌گیریم.

مختصات بردار OB و نیز مختصات نقطه B را حساب کنید. 

مختصات بردار OB با مختصات نقطه B یکسان است.

OB=B=  45

دو بردار موازی

دو بردار را موازی گویند، هرگاه راستای‌شان موازی یا منطبق باشند.

بردار - پیمان گردلو

 

نکته

برای این‌که سه نقطه A و B و C بر روی یک خط راست قرار گیرند، کافی است داشته باشیم:

AB=kBC     ;    kR

اندازه یک بردار 

طول پاره خطی که دو سر آن ابتدا و انتهای یک بردار باشند، اندازه بردار نامیده می‌شود.

اندازه بردار AB را با نماد AB نشان می‌دهند.

نکته

اگر AB=xy باشد، اندازه بردار AB از فرمول زیر به‌دست می‌آید: 

AB=x2+y2

تمرین

اندازه بردار زیر را تعیین ‌کنید:

AB=  34

AB=32+42=9+16=25=5

ضرب یک عدد در یک بردار

منظور از ضرب عدد حقیقی k در برداری مانند a که آن را با نماد k.a نشان می‌دهند، عبارت است از:

حالت اول) اگر k>0 باشد:  

k.a برداری است که امتدادش موازی امتداد a و اندازه‌اش k برابر اندازه a و جهت آن، هم‌جهت با a است.

    بردار - پیمان گردلو

حالت دوم) اگر k<0 باشد:  

k.a برداری است که امتدادش موازی امتداد a و اندازه‌اش k برابر اندازه a و جهت آن، مختلف‌الجهت با a است.

بردار - پیمان گردلو

حالت سوم) اگر -1<k<1 باشد:  

k.a برداری است که طولش از طول بردار a کوچک‌تر است.

بردار - پیمان گردلو 

حالت چهارم) اگر k>1 یا k<-1 باشد:

k.a برداری است که طولش از طول بردار a بزرگ‌تر است.  

بردار - پیمان گردلو

حالت پنجم) اگر k=-1 باشد: 

k.a برداری است که قرینه بردار a است. 

بردار - پیمان گردلو

نکته

1- اگر a=xy و k عددی حقیقی باشد، آن‌گاه:

ka=kxy=kxky

2- به‌ازای هر دو بردار هندسی a و b و اعداد حقیقی α و β داریم:   

αβa=αβaα+βa=αa+βaαa+b=αa+αb

3- شرط لازم و کافی برای آن‌که دو بردار هندسی ناصفر a و b موازی باشند آن است که عددی حقیقی مانند k0 وجود داشته باشد به‌طوری‌که a=kb.  

بنابراین اگر A و B و C سه نقطه متمایز باشند به‌طوری‌که AB=λAC آن‌گاه سه نقطه روی یک خط هستند.  

تمرین

اگر a یک بردار و m>1 عددی حقیقی باشد: 

1- بردارهای ma و a هم‌جهت‌اند و طول ma از طول a کوچک‌تر است.  
 

2- بردارهای ma و a هم‌جهت‌اند و طول ma از طول a بزرگ‌تر است.     

3- بردارهای ma و a مختلف‌الجهت‌اند و طول ma از طول a کوچک‌تر است. 

 4- بردارهای ma و a مختلف‌الجهت‌اند و طول ma از طول a بزرگ‌تر است. 

کدام‌یک از جملات فوق درست است؟

گزینه 2 صحیح است.

اگر a یک بردار و -1<m<0 عددی حقیقی باشد، کدام‌یک از جملات فوق درست است؟ 

گزینه 3 صحیح است.

بردار یکانی یک محور

بردار یکانی یک محور، برداری موازی و هم‌جهت با محور است که اندازه آن برابر با واحد است.

بردار یکانی محور طول را با نماد i و بردار یکانی محور عرض را با نماد j یا مختصرا با i و j  نشان می‌دهند، پس می‌توان گفت:

i=10  ,  j=01

تمرین

شکل زیر را در نظر بگیرید:

بردار - پیمان گردلو

بردارهای شکل فوق را با استفاده از بردار یکانی یک محورها نمایش دهید: 

a=32=3i+2jb=40=410=4ic=  03=301=3j

نکته

هر بردار A=xAyA در فضای 2 را می‌توان بر حسب بردارهای پایه 2 نوشت، لذا در 2 داریم:   

A=xAyA=xA  0+  0yA=xA10+yA01=xA.i+yA.j

دریافت مثال

قرینه یک بردار

اگر a یک بردار باشد، قرینه a را با -a نمایش می‌دهیم و آن عبارت است از برداری که موازی a بوده، اندازه آن مساوی a است ولی جهت آن با جهت بردار a متفاوت است.

بردار - پیمان گردلو      

تمرین

قرینه بردار a=3  5 را ابتدا از نقطه 03 رسم ‌کنید.

ابتدای بردار a مشخص نیست، مبدا مختصات را ابتدای بردار در نظر می‌گیریم.


بردار - پیمان گردلو 

بردار صفر

برداری که انتقالی را در صفحه انجام ندهد، بردار صفر نامیده می‌شود ( به‌عبارتی ابتدا و انتهایش بر هم منطبق باشد) و با نماد 0 نشان داده می‌شود.

بدیهی است که اندازه بردار 0 برابر صفر است و مختصات آن به‌صورت 00 می‌باشد.

دو بردار مساوی (همسنگ)

دو بردار AB و CD را مساوی می‌نامیم، هرگاه سه شرط زیر برقرار باشند:

بردارهای AB و CD موازی باشند.

دو بردار هم‌راستا  و هم‌جهت باشند.

اندازه بردار AB که آن را با AB نشان می‌دهیم با اندازه بردار CD یعنی CD مساوی باشد:

AB=CD

در شکل زیر دو بردار مساوی AB و CD نشان داده شده است.

بردار - پیمان گردلو 

جهت بردار AB از A به B است و اگر جهت بردار از B به A باشد، آن را به‌صورت BA نمایش می‌دهیم.

نکته

1- دو بردار مساوی، یک انتقال را در صفحه انجام می‌دهند.

بدیهی است که با مشخص بودن یک بردار در صفحه می‌توان یک‌دسته از بردارهایی را مساوی با آن بردار در نظر گرفت.

در شکل زیر همه بردارهای رسم شده با a برابرند. 

بردار - پیمان گردلو


2- دو بردار مساوی در واقع هم‌جهت و هم‌اندازه می‌باشند، پس می‌توان گفت دو بردار از نظر مختصاتی برابرند که طول آنها با هم و عرض‌های آنها با هم برابر باشند:

a=xyb=ztif  a=bx=zy=t

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مقدمه‌ای بر بردار

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید