سرفصل‌های این مبحث

گزاره سوری

گزاره‌ های با سور وجودی

آخرین ویرایش: 09 اسفند 1402

دسته‌بندی: گزاره سوری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

نوع دیگر از گزاره‌هایی که خاصیتی را در مورد عناصر یک مجموعه بیان می‌کند، گزاره‌هایی به‌صورت زیر هستند:

دست‌کم یک عدد حقیقی وجود دارد که مربع آن مساوی صفر است.

ملاحظه کنید که گزاره فوق بیان‌گر وجود عنصری در مجموعه اعداد حقیقی است که در خاصیتی صدق می‌کند.

این چنین گزاره‌هایی موسوم به گزاره‌های وجودی هستند که به‌نوبه خود جایگاهی خاص در ریاضی دارند.

تعریف گزاره با سور وجودی

گزاره با سور وجودی عبارت از گزاره‌ای است که خاصیتی را دست‌کم به یک عضو از مجموعه‌ای نسبت می‌دهد.

به‌عبارت دیگر هر گزاره با سور وجودی بیان‌گر وجود دست کم یک عضو از مجموعه‌ای است که از خاصیت مشخصی صدق می‌کند.

اگر $p (x)$ گزاره‌نمایی باشد که خاصیتی را در مورد عناصر مجموعه $M$ بیان می‌کند، در این‌صورت گزاره‌ای که می‌گوید این خاصیت در مورد دست‌کم یک عضو مجموعه $M$ برقرار است، به‌صورت زیر نشان می‌دهد:

$(\exists x) (p (x)) \lor \exists x; p (x)$

مجموعه $M$ را مرجع یا دامنه متغیر گزاره $\exists x; p (x)$ می‌نامند.

نکته

به‌طور کلی اگر $M$ مجموعه مرجع و $A$ زیرمجموعه‌ای از $M$ باشد، گزاره $\exists x \in A; p (x)$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$\exists x \in A, P (x) \equiv \exists x (x \in A \land p (x))$

تمرین

برای هر یک از گزاره‌نماهای زیر سور مناسب به‌کار ببرید.(فرض کنید $R$ مرجع است.)

دست‌کم یک $x$ هست که $x^{2} - 2 = 0$ .

$\exists x; x^{2} - 2 = 0$

دست‌کم یک عدد حقیقی مثبت هست به‌طوری‌که $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

$\exists x; (x \in R^{+} \land x^{2} + 3 x - 4 = 0)$

در این‌جا منظور از $R^{+}$ مجموعه اعداد حقیقی مثبت است که برای سادگی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$\exists x \in R^{+}; x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$\cos x . \tan x = \sin x$

$\exists x \in R; \cos x . \tan x = \sin x$

ارزش درستی گزاره‌های با سور وجودی

فرض کنید $M$ مرجع و $S$ مجموعه جواب گزاره‌نمای $p (x)$ باشد، گزاره $\exists x; p (x)$ درست است هرگاه مجموعه جواب $p (x)$ تهی نباشد.

به‌عبارت دیگر گزاره $\exists x; p (x)$ درست است هرگاه بتوان یک عضو از مرجع مانند $a$ یافت به‌طوری‌که اگر به‌جای $x$ قرار دهیم $p (a)$ درست باشد، وجود همین یک عضو کافی است که $\exists x; p (x)$ درست باشد.

تمرین

به جدول زیر توجه کنید:

تمرین

درستی یا نادرستی گزاره‌های سوری زیر را با ذکر دلیل مشخص کنید.

$\exists x \in Z; |x| - 1 < 0$

گزاره درست است، زیرا حداقل یک عضو مانند $x = 0$ وجود دارد که به‌ازای آن، گزاره‌نما به گزاره‌ای با ارزش درست تبدیل می‌شود.

$\exists x \in P; x = 2 k$

$i f k = 1 \Rightarrow x = 2 (1) \Rightarrow x = 2 \in P$

گزاره درست است، زیرا عدد $2$ عددی اول و زوج است، پس مجموعه جواب گزاره‌نما $\{2\}$ و ناتهی است.

$\exists x \in R; x^{2} + 1 = 0$

گزاره نادرست است، زیرا مجموعه جواب گزاره‌نما مجموعه تهی است.

$\exists x \in N; 2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

ریشه‌های معادله $x = - 1$ و $x = - \frac{1}{2}$ هستند که عضو $N$ نمی‌باشند.

گزاره نادرست است، زیرا مجموعه جواب گزاره‌نما، مجموعه تهی است.

$\exists A \in S; P (A) > 1$

گزاره فوق بیان می‌کند، در فضای نمونه $S$ پیشامدی مانند $A$ وجود دارد به‌قسمی‌که $P (A) > 1$ .

با توجه به مفاهیم احتمال همواره داریم:

$0 \leq P (A) \leq 1$

گزاره نادرست است.

نقیض گزاره $\exists x; p (x)$

قضیه

نقیض گزاره $\exists x; p (x)$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$~ (\exists x; p (x)) \equiv \forall x; ~ p (x)$

اثبات

می‌دانیم $p \equiv q$ اگر و تنها اگر $~ p \equiv ~ q$ پس کافی است ثابت کنیم:

$~ (\forall x; ~ p (x)) \equiv \exists x; p (x)$

برای این کار داریم:

$\begin{array}{l} ~ (\forall x; ~ p (x)) \\ \equiv \exists x; ~ (~ p (x)) \\ \equiv \exists x; p (x) \Rightarrow ~ (\exists x; p (x)) \\ \equiv \forall x; ~ p (x) \end{array}$

توجه کنید که گزاره‌های با سور وجودی را با سور صفر می‌توان نقیض کرد.

$~ [\exists x; p (x)] = \exists x : p (x)$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

گزاره‌های از نوع $\exists x \exists y; p (x, y)$

گزاره $\exists x \exists y; p (x, y)$ در واقع همان گزاره $\exists x (\exists y; p (x, y))$ است، بنابراین کلیه مطالبی که در مورد گزاره‌های وجودی بیان کردیم در مورد این گزاره صادق است.

به‌عنوان نمونه گزاره زیر را با سور وجودی نمایش می‌دهیم:

دست‌کم یک $x$ و یک $y$ هست به‌طوری‌که $x^{2} + y^{2} = 1$ .

$\exists x \exists y; x^{2} + y^{2} = 1$

به‌طور قرارداد گاهی برای خلاصه‌نویسی به‌جای $\exists x \exists y; p (x, y)$ می‌نویسیم $\exists x, y; p (x, y)$ .

چون گزاره $\exists x \exists y; p (x, y)$ عبارت است از $\exists x (\exists y; p (x, y))$ پس این گزاره وقتی درست است که یک عنصر از مرجع مانند $a$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که اگر به‌جای $x$ مقدار $a$ را قرار دهیم، گزاره $\exists y; p (a, y)$ درست باشد.

می‌دانیم گزاره اخیر وقتی درست است که یک عنصر مرجع، مانند $b$ وجود داشته باشد به‌طوری‌که اگر به‌جای $y$ در $p (a, y)$ قرار دهیم، گزاره $p (a, b)$ درست شود.

پس به‌طور کلی گزاره $\exists x \exists y; p (x, y)$ درست است، هرگاه یک $a$ و یک $b$ از مرجع وجود داشته باشد به‌گونه‌ای که گزاره $p (a, b)$ درست باشد.

تمرین

درستی گزاره زیر را با مرجع $\{0, 1, 2\}$ بررسی کنید:

$\exists x \exists y; x + y \leq 1$

گزاره فوق با مرجع بیان شده درست است زیرا اگر به‌جای $x$ و $y$ به‌تربیت $1$ و $0$ را قراردهیم گزاره درست خواهد بود.

$(1) + (0) \leq 1$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

1- ارزش درستی گزاره $\exists x \forall y; p (x, y)$

گزاره $\exists x \forall y; p (x, y)$ در واقع گزاره وجودی $\exists x (\forall y; p (x, y))$ است.

گزاره $\exists x \forall y; p (x, y)$ درست است هرگاه بتوان عنصری از مرجع مانند $a$ یافت به‌طوری‌که اگر به‌جای $x$ قرار دهیم، گزاره $\forall y; p (a, y)$ درست باشد.

می‌دانیم گزاره $\forall y; p (a, y)$ وقتی درست است که برای هر عنصر از مرجع مانند $b$ گزاره $p (a, b)$ تبدیل به یک گزاره درست شود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

2- ارزش درستی گزاره $\forall x \exists y; p (x, y)$

گزاره $\forall x \exists y; p (x, y)$ درست است هرگاه بتوان عنصری از مرجع مانند $a$ یافت به‌طوری‌که اگر به‌جای $x$ قرار دهیم، گزاره $\exists y; p (a, y)$ درست باشد.

می‌دانیم گزاره $\exists y; p (a, y)$ وقتی درست است که برای هر عنصر از مرجع مانند $b$ گزاره $p (a, b)$ تبدیل به یک گزاره درست شود.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

گزاره‌های با سور وجودی

10,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

گزاره سوری