سرفصل‌های این مبحث

گزاره سوری

گزاره‌ های با سور صفر

آخرین ویرایش: 17 اسفند 1400

دسته‌بندی: گزاره سوری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

گزاره‌ای که بیان‌گر خاصیتی منفی درمورد همه عناصر مرجع باشد، گزاره با سور صفر نامیده می‌شود مانند گزاره زیر:

هیچ چیز پایدار نیست.

ملاحظه می‌کنید که در واقع گزاره با سور صفر گزاره جدیدی نیست و همان گزاره با سور عمومی است الا این‌که خاصیت داده شده معنایی منفی دارد.

به‌عنوان نمونه در زیر گزاره‌های با سور صفر را مشاهده می‌کنید:

هیچ چیز پایدار نیست معادل همه چیز فناپذیر است.
هیچ عدد فردی بر $2$ بخش‌پذیر نیست.
مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست.
هیچ مربعی لوزی نیست.

تعریف گزاره با سور صفر

هر گزاره به‌صورت $\forall x; ~ p (x)$ را به‌صورت $\exists x; p (x)$ نشان داده و آن را سور صفر می‌نامیم و داریم:

$\exists x; p (x) \equiv \forall x; ~ p (x)$

به‌عنوان نمونه (گزاره مربع هیچ عدد حقیقی منفی نیست) را به‌صورت زیر می‌توان نوشت:

$\forall x; ~ (x^{2} < 0) \equiv \exists x; x^{2} < 0$

تمرین

برای هر يک از گزاره نماهای زير سور مناسب به‌كار بريد.

$\begin{array}{l} x^{2} + 1 = 0; x \in R \end{array}$

$\exists x \in R; x^{2} + 1 = 0$

$|x - y| < |x| - |y|$

$\exists x \in R, \exists y \in R; |x - y| < |x| - |y|$

به قسمت قوانین قدرمطلق مراجعه کنید.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

ارزش درستی گزاره‌های با سور صفر

گزاره $\exists x; p (x)$ گزاره جدیدی نیست، بلکه همان گزاره $\forall x; ~ p (x)$ است.

گزاره $\exists x; p (x)$ درست است اگر و تنها اگر $\forall x; ~ p (x)$ درست باشد اما گزاره $\forall x; ~ p (x)$ درست است اگر و تنها اگر مجموعه جواب $~ p (x)$ برابر $M$ یعنی مرجع باشد و این بدان معناست که $p (x)$ برابر $\emptyset$ باشد.

خلاصه این‌که $\exists x; p (x)$ درست است اگر و فقط اگر $p (x) = \emptyset$ مجموعه جواب باشد.

تمرین

ارزش درستی گزاره های زير را مشخص كنيد.

$\begin{array}{l} \exists x; x^{2} < 0 \end{array}$

گزاره فوق درست است زيرا مجموعه جواب $x^{2} < 0$ تهی است.

$\exists x \in Z : x^{2} + 1 = 0$

حاصل عبارت $x^{2} + 1$ به‌ازای هر مقدار، عددی مثبت است و هيچ‌گاه برابر صفر نيست بنابراين مجموعه جواب گزاره تهی و گزاره درست می‌باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نقیض گزاره $\exists x; p (x)$

دیدیم که:

$\exists x; p (x) \equiv \forall x; ~ p (x)$

پس برای به‌دست آوردن نقیض $(\exists x; p (x))$ کافی است نقیض $\forall x; ~ p (x)$ را به‌دست آوریم، برای این‌کار داریم:

$~ (\exists x; p (x)) \equiv ~ (\forall x; ~ p (x)) \equiv \exists x; p (x)$

تمرین

نقيض گزاره های زير را بنويسيد.

$\begin{array}{l} \exists x \in Z; 11^{x} = x^{11} \end{array}$

گزاره فوق نادرست است زیرا به ازای $x = 1$ تساوی فوق برقرار است.

$~ (\exists x \in Z; 11^{x} = x^{11}) \equiv \exists x \in Z; 11^{x} = x^{11}$

$\exists x \in Z \forall y \in Z : x < y$

$~ (\exists x \in Z \forall y \in Z : x < y) \overset{}{\equiv} \exists x \in Z \forall y \in Z : x < y$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

گزاره‌های با سور صفر

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

گزاره سوری