سرفصل‌های این مبحث

گزاره سوری

گزاره‌ های با سور وحدت وجود

آخرین ویرایش: 09 اسفند 1402

دسته‌بندی: گزاره سوری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

گزاره‌ای که بیان‌گر خاصیتی برای یک و تنها یک عنصر از مجموعه مرجع باشد، گزاره با سور وحدت وجود نامند و آن را به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

$\exists! x; p (x)$

به‌عنوان نمونه در زیر گزاره‌ با سور وجودی را مشاهده می‌کنید:

یک و فقط یک عدد حقیقی وجود دارد که در رابطه ${(x - 1)}^{2} = 0$ صدق می‌کند.

$\exists! x; {(x - 1)}^{2} = 0$

ارزش درستی گزاره‌های با سور وحدت وجود

گزاره $\exists! x; p (x)$ درست است اگر و تنها اگر مجموعه جواب $p (x)$ یک مجموعه تک عضوی باشد.

به‌عنوان نمونه گزاره‌ زیر را در نظر بگیرید:

یک و تنها یک عدد حقیقی هست که در معادله $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ صدق می‌کند.

گزاره فوق یک گزاره نادرست است زیرا معادله فوق بیش از یک جواب به صورت $D = \{1, 2\}$ دارد.

نکته

اثبات گزاره‌های سور وحدت وجود

برای اثبات گزاره $\exists! x; p (x)$ دو مرحله زیر را باید انجام داد:

مرحله اول) در قسمت وجودی گزاره باید نشان داد که گزاره $\exists! x; p (x)$ درست است.

مرحله دوم) در قسمت یکتایی باید نشان دهیم که یک و تنها یک عضو از مجموعه مرجع مانند $a$ هست به‌طوری‌که $p (a)$ درست باشد.

برای این کار فرض کنید $a_{1}$ و $a_{2}$ دو عنصر از مجموعه مرجع باشد به‌طوری‌که $p (a_{1})$ و $p (a_{2})$ درست باشند، در این‌صورت نشان می‌دهند $a_{1} = a_{2}$ و در واقع ثابت می‌کنند گزاره زیر درست است:

$\forall y \forall z; [p (y) \land p (z)] \Rightarrow y = z$

نکته

اگر $p (x, y)$ را به‌معنای $x$ فرزند $y$ است در نظر بگیریم، در این‌صورت:

$p^{2} (x, y) \equiv p (x, z) \land p (z, y)$

بنابراین $p^{2} (x, y)$ معادل است با:

$x$ فرزندِ فرزند $y$ است یا $y$ پدربزرگ (مادر بزرگ) $x$ است.

و به‌طور کلی گزاره‌نمای زیر به معنای $x$ از نسل $y$ است:

$\exists n \in N; p^{n} (x, y)$

با توجه به این قرارداد‌ها گزاره (هر انسانی از نسل یک انسان دیگر است) به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$\forall x \in H \exists y \in H \exists n \in N; p^{n} (x, y)$

نقیض گزاره با سور وحدت وجود

با توجه به آن‌چه در بحث گزاره‌های با سور وحدت وجود گفتیم، داریم:

$\begin{array}{l} \exists! x; p (x) \equiv (\exists x; p (x)) \land [\forall y, \forall z; (p (y) \land f (z)) \Rightarrow y = z] \end{array}$

$\begin{array}{l} ~ (\exists! x; p (x)) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv ~ [(\exists x; p (x)) \land \forall y \forall z; p (y) \land p (z) \Rightarrow y = z] \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv ~ (\exists x; p (x)) \lor ~ (\forall y \forall z; p (y) \land p (z) \Rightarrow y = z) \end{array}$

$\equiv [\forall x; ~ p (x)] \lor (\exists y \exists z; y \neq z \land p (y) \land p (z))$

تمرین

ارزش درستی گزاره زير را تعيين كنيد:

$\exists! x \in R : 2 x + 1 = 5$

با توجه به اين‌كه معادله فقط يک جواب دارد پس گزاره فوق درست است.

تمرین

گزاره نمای ( $x$ فرزند $y$ است) را به‌صورت $p (x, y)$ نشان می‌دهيم، فرض كنيد $H$ مجموعه انسان‌ها و $M$ مجموعه مردان و $W$ مجموعه زنان باشد، با توجه به اين قراردادها هر یک از گزاره های زير را به فارسی بيان كنيد:

$\forall x \in H \exists! y \in W; p (x, y)$

هر انسانی فقط يک مادر دارد.

$\forall x \in H \exists! y \in M; p (x, y)$

هر انسانی فقط يک پدر دارد.

تمرین

نشان دهيد معادله $(a \neq 0) a x = b$ در اعداد حقيقی جواب منحصر بفرد دارد به‌عبارت ديگر ثابت كنيد گزاره زیر درست است.

$\exists! x; a x = b$

قسمت وجودی:

گزاره $\exists! x; a x = b$ درست است زيرا مجموعه جواب $a x = b$ حداقل شامل $\frac{b}{a}$ است.

قسمت يكتایی:

فرض می‌كنيم $t_{1}$ و $t_{2}$ دو جواب معادله باشند پس:

$\{\begin{matrix} a t_{1} = b \\ a t_{2} = b \end{matrix}〉 a t_{1} = a t_{2} \Rightarrow t_{1} = t_{2}; a \neq 0$

تمرین

گزاره زیر را به فارسی روان بيان كنيد.

$\exists! y \in M \forall x \in H \exists n \in N; p^{n} (x, y)$

مرد منحصر به فردی وجود دارد كه همه انسان‌ها از نسل او می‌باشند.

تمرین

نقيض گزاره زیر را بنويسيد و با استفاده از آن نشان دهيد اين گزاره نادرست است.

$\exists! x; x^{2} - 3 x + 2 = 0$

$\begin{array}{l} ~ (\exists! x; x^{2} - 3 x + 2 = 0) \end{array}$

$\begin{array}{l} \equiv [\forall x; x^{2} - 3 x + 2 \neq 0] \lor [\exists y \exists z; y \neq z \land y^{2} - 3 y + 2 = 0 \land z^{2} - 3 z + 2 = 0] \end{array}$

مجموعه جواب $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ تک عضوي نيست زيرا $S = \{1, 2\}$ است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

گزاره سوری

گزاره‌ های با سور وحدت وجود

ارزش درستی گزاره‌های با سور وحدت وجود

نقیض گزاره با سور وحدت وجود

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟