گزاره‌ های با سور وحدت وجود

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: گزاره سوری
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

گزاره‌ای که بیان‌گر خاصیتی برای یک و تنها یک عنصر از مجموعه مرجع باشد، گزاره با سور وحدت وجود نامند و آن را به‌صورت زیر نشان می‌دهند:

!x;px

به‌عنوان نمونه در زیر گزاره‌ با سور وجودی را مشاهده می‌کنید:

یک و فقط یک عدد حقیقی وجود دارد که در رابطه x12=0 صدق می‌کند.

!x;x12=0

ارزش درستی گزاره‌های با سور وحدت وجود

گزاره !x;px درست است اگر و تنها اگر مجموعه جواب px یک مجموعه تک عضوی باشد.

به‌عنوان نمونه گزاره‌ زیر را در نظر بگیرید:

یک و تنها یک عدد حقیقی هست که در معادله x23x+2=0 صدق می‌کند.

گزاره فوق یک گزاره نادرست است زیرا معادله فوق بیش از یک جواب به صورت D=1,2 دارد. 

نکته

اثبات گزاره‌های سور وحدت وجود 

برای اثبات گزاره !x;px دو مرحله زیر را باید انجام داد:  

مرحله اول) در قسمت وجودی گزاره باید نشان داد که گزاره !x;px درست است. 

مرحله دوم) در قسمت یکتایی باید نشان دهیم که یک و تنها یک عضو از مجموعه مرجع مانند a هست به‌طوری‌که pa درست باشد.

برای این کار فرض کنید a1 و a2 دو عنصر از مجموعه مرجع باشد به‌طوری‌که pa1 و pa2 درست باشند، در این‌صورت نشان می‌دهند a1=a2 و در واقع ثابت می‌کنند گزاره زیر درست است: 

yz;pypzy=z

نکته

اگر px,y را به‌معنای x فرزند y است در نظر بگیریم، در این‌صورت:

p2x,ypx,zpz,y

بنابراین p2x,y معادل است با:

x فرزندِ فرزند y است یا y پدربزرگ (مادر بزرگ) x است.

و به‌طور کلی گزاره‌نمای زیر به معنای x از نسل y است:

nN;pnx,y

با توجه به این قرارداد‌ها گزاره (هر انسانی از نسل یک انسان دیگر است) به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

xHyHnN;pnx,y

نقیض گزاره با سور وحدت وجود

با توجه به آن‌چه در بحث گزاره‌های با سور وحدت وجود گفتیم، داریم:

! ​x;pxx;pxy,z;pyfzy=z~!x;px~x;pxyz;pypzy=z~x;px~yz;pypzy=zx;~pxyz;yzpypz

تمرین

ارزش درستی گزاره زير را تعيين كنيد:

!xR:2x+1=5

با توجه به اين‌كه معادله فقط يک جواب دارد پس گزاره فوق درست است.

تمرین

گزاره نمای (x  فرزند y است) را به‌صورت px,y نشان می‌دهيم، فرض كنيد H مجموعه انسان‌ها و M مجموعه مردان و W مجموعه زنان باشد، با توجه به اين قراردادها هر یک از گزاره های زير را به فارسی بيان كنيد:

xH!yW;px,y

هر انسانی فقط يک مادر دارد.

xH!yM;px,y

هر انسانی فقط يک پدر دارد.

تمرین

نشان دهيد معادله a0  ax=b در اعداد حقيقی جواب منحصر بفرد دارد به‌عبارت ديگر ثابت كنيد گزاره زیر درست است.

!x;ax=b

قسمت وجودی:

گزاره !x;ax=b درست است زيرا مجموعه جواب ax=b حداقل شامل ba است.


قسمت يكتایی:  

فرض می‌كنيم t1 و t2 دو جواب معادله باشند پس:

at1=bat2=bat1=at2t1=t2  ;  a0

تمرین

گزاره زیر را به فارسی روان بيان كنيد.

!yMxHnN;pnx,y

مرد منحصر به فردی وجود دارد كه همه انسان‌ها از نسل او می‌باشند.

تمرین

نقيض گزاره زیر را بنويسيد و با استفاده از آن نشان دهيد اين گزاره نادرست است.

!x;x23x+2=0

~!x;x23x+2=0x;x23x+20yz;yzy23y+2=0z23z+2=0


مجموعه جواب x23x+2=0 تک عضوي نيست زيرا S=1,2 است. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید