حد دنباله (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

مقدمه‌ای بر حد دنباله

برای ورود به بحث، تمرین های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 3 را تا یک رقم اعشار بیابید:

13=0/3

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 3 را تا دو رقم اعشار بیابید:

13=0/33

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 3 را تا سه رقم اعشار بیابید:

13=0/333

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 3 را تا چهار رقم اعشار بیابید:

13=0/3333

خارج قسمت تقسیم های فوق را به‌صورت دنباله بنویسید:

0/3,0/33,0/333,0/3333,...

الگویی که در جملات این دنباله وجود دارد را بیان کنید:

الگویی که در جملات این دنباله وجود دارد، آن‌است که عدد 3 بعد از ممیز همواره تکرار می‌شود.

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 3 را تا n رقم اعشار بیابید:

13=0/3333...3n

عدد 3 بعد از ممیز n مرتبه تکرار شده است.

تفاضل شش جمله اول این دنباله را از کسر 13 حساب کنید.

130/3=13310=10930=130130/33=1333100=10099300=1300130/333=133331000=10009993000=13000130/3333=13333310/000=10/000999930/000=130/000130/33333=13=33333100/000=100/00099999300/000=1300/000130/333333=133333331/000/000=1/000/0009999993/000/000=13/000/000

دنباله این تفاضل ها را تشکیل دهید:

130,1300,13000,130/000,1300/000,13/000/000


در دنباله‌ تفاضل فوق صورت کسر، عدد 1 و به ازای هر 3 بعد از ممیز، عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود.


در تفاضل 130/33 به ازای هر 3 بعد از ممیز (که دو تا می‌باشد) دو تا عدد صفر در مخرج ظاهر می‌شود، یعنی 1300.

جملات دنباله اصلی به چه عددی نزدیک می‌شود؟

جملات خود دنباله اصلی به عدد 13 نزدیک می‌شود.


همان‌طور که مشاهده می‌شود، مخرج جملات دنباله‌ تفاضل، دائم در حال بزرگ شدن است یعنی خود کسر به‌ صفر نزدیک می‌شود.

تمرین

خارج ‌قسمت تقسیم عدد 1 بر عدد 9 را تا یک، دو ، سه ، چهار  رقم اعشار بیابید:

19=0/119=0/1119=0/11119=0/1111

خارج قسمت تقسیم های فوق را به‌صورت دنباله بنویسید:

0/1,0/11,0/111,0/1111,...

تفاضل چهار جمله اول این دنباله را از کسر 19 حساب کنید.

190/1=19110=10990=190190/11=1911100=10099900=1900190/111=191111000=10009999000=19000190/1111=19111110/000=10/000999990/000=190/000

دنباله این تفاضل ها را تشکیل دهید:

190,1900,19/000,190/000

جملات دنباله اصلی به چه عددی نزدیک می‌شود؟

همان‌طور که مشاهده می‌شود، مخرج جملات دنباله‌ تفاضل، دائم در حال بزرگ شدن است یعنی خود کسر به‌ صفر نزدیک می‌شود.


جملات خود دنباله اصلی به عدد 19 نزدیک می‌شود.

تمرین

در مورد هر یک از دنباله های زیر حدس بزنید جملات این دنباله ها به چه عددی نزدیک می‌شوند و با تشکیل دنباله تفاضل حدس خود را بیازمایید.

0/9,0/99,0/999,...

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد 1 نزدیک می‌شود.


با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

10/9=1910=10910=11010/99=199100=10099100=110010/999=19991000=10009991000=11000


همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد 1 کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند، بنابراین جملات این دنباله به عدد 1 نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد 1 نزدیک می‌شوند.   

2/9,2/99,2/999,...

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد 3 نزدیک می‌شود.


با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

32/9=32910=302910=11032/99=3299100=300299100=110032/999=329991000=300029991000=11000


همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد 3 کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند، بنابراین جملات این دنباله به عدد 3 نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد 3 نزدیک می‌شوند.

5/05  ,  5/005   ,  5/0005  ,   ...

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد 5 نزدیک می‌شود.


با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

55/05=5505100=500505100=5100=0/0555/005=550051000=500050051000=51000=0/00555/0005=55000510/000=50/0005000510/000=510/000=0/0005


علامت منفی در دنباله تفاضل نشان‌دهنده‌ آن است که جملات دنباله‌ اصلی کوچک‌تر می‌شوند.


همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد 5 کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند، بنابراین جملات این دنباله به عدد 5 نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد 5 نزدیک می‌شوند.

1/19  ,  1/199  ,  1/1999  ,  ...

حدس می‌زنیم دنباله‌ فوق به عدد 1/20 نزدیک می‌شود.


با تشکیل دنباله‌ تفاضل زیر، حدس خود را ثابت می‌کنیم:

1/201/19=120100119100=11001/201/199=12010011991000=120011991000=110001/201/1999=1201001199910/000=120001199910/000=110/000


همان‌طور که مشاهده می‌شود، جملات دنباله‌ فوق وقتی از عدد 1/20 کم می‌شوند، جملات حاصل به صفر نزدیک می‌شوند، بنابراین جملات این دنباله به عدد 1/20 نزدیک می‌شوند و این موضوع حدس ما را ثابت می‌کند یعنی دنباله‌ فوق به عدد 1/20 نزدیک می‌شوند.

تذکر

برخی دنباله ها به گونه‌ای هستند که اگر به جملات آنها نگاه کنیم، متوجه می‌شویم که این جملات به عدد خاصی نزدیک می‌شوند.

تمرین

جملات متوالی دنباله an=1n به چه عددی نزدیک می‌شود؟

if    n=1a1=11=1if    n=2a2=12if    n=3a3=13                      if    n=+a+=1+=0


توجه کنیم که جملات متوالی دنباله به عدد صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند، هرچند که هیچ یک از جملات دنباله مساوی با صفر نیست.


می‌بینیم که جملات به قدر دل‌خواه به عدد صفر نزدیک می‌شوند به شرط آن‌که تعداد جملات را به قدر کافی بزرگ اختیار کنیم.


در این‌صورت می‌گوییم دنباله an=1n به عدد صفر همگراست.

با استفاده از تعریف حد، حد دنباله فوق را بیان کنید.

به بیان دیگر می‌توانیم 1n0 را کم‌تر از هر ε>0 دل‌خواهی در نظر بگیریم، هرگاه n را به قدر کافی بزرگ بگیریم یعنی n.


به این دلیل است که می‌گوئیم:

limn+1n=0


ε در واقع نماینده همه اعدا کوچک و مثبت می‌باشد و چون در عمل یک عدد دلخواه فرض می‌شود،ما را از تجربه ها و محاسباتی که پایان ندارد، بی نیاز می‌سازد.

تمرین

جملات دنباله های زیر همگی به اعداد خاصی نزدیک می‌شوند:

1n    ;    1n+1    ;    12n    ;    1+12n

تعریف حد دنباله

دنباله an و عدد حقیقی L را در نظر می‌گیریم، می‌گوییم دنباله an دارای حد L است و می‌نویسیم:

limn+an=L

در صورتی‌که برای هر ε>0 عدد طبیعی مانند M وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

ε>0     MN   ;    nManL<ε

برای ارسال نظر وارد سایت شوید