حد دنباله (واگرایی دنباله‌ ها)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

دیدیم که دنباله an به عدد L همگرا است، هرگاه:

ε>0      MN  ;     nManL<ε

در غیر این‌صورت می‌گوییم که دنباله an واگراست. واگرایی یک دنباله را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: 

تعریف واگرایی در دنباله ها

دنباله an وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کند و می‌نویسیم:

limn+an=

در صورتی‌که برای هر عدد N>0 عدد M>0 وجود داشته باشد به‌قسمی که:

  N>0     M     ;    nMan>N

در واقع دو حالت زیر مفروض است:

limn+an=+      :      N>0       M     ;     nMan>Nlimn+an=      :          N>0      M     ;      nMan<N

بایستی در این‌جا توجه کرد که این واگرا بودن به معنی آن است که:

الف) limn+an= 

ب)  جملات دنباله با افزایش n نه به‌سمت بی‌نهایت میل می‌کنند و نه به‌سمت عدد معین مانند دنباله an=1n که به‌طور متناوب تغییرمی‌کند. 

در این دو حالت است که می‌گوئیم دنباله واگرا است. 

نکته

1- اگر a<1 باشد، آن‌گاه limn+an=0 در این‌صورت دنباله an همگرا است.

2- اگر a>1 باشد، آن‌گاه دنباله an واگرا است. 

3- اگر دنباله‌ ای واگرا به + باشد از بالا بی‌کران است و در صورتی‌که واگرا به - باشد از پائین بی‌کران است. 

4- اگر دنباله ‌ای واگرا باشد، وقتی حد دنباله نه به‌سمت بی‌نهایت میل کند و نه به‌سمت عددی معین. در حالت اخیر نتیجه می‌گیریم که ممکن است دنباله ‌ای کراندار باشد اما همگرا نباشد.

دنباله an=1n دارای حد متناهی و هم‌چنین حد نامتناهی نیستند و در اصطلاح نوسانی هستند بنابراین کراندار هستند اما همگرا نیستند.

5- هر دنباله صعودی (اکیدا صعودی) یا همگراست یا به + میل می‌کند:

nN;   anan+1     ,     limn+an=L+

اگر حد دنباله L باشد، آن‌گاه an همگرا است.

اگر حد دنباله + باشد، آن‌گاه an واگرا است.

6- هر دنباله نزولی (اکیدا نزولی) یا همگراست یا به - میل می‌کند: 

nN  ;   anan+1  ,  limn+an=L

اگر حد دنباله L باشد، آن‌گاه an همگرا است.

اگر حد دنباله - باشد، آن‌گاه an واگرا است.

 

روش‌های اثبات واگرایی    

روش اول در اثبات واگرایی

در حالت کلی با استفاده از تعریف واگرایی، دنباله یا مفهوم حد دنباله واگرا limnan= می‌توان واگرا بودن دنباله را بررسی کرد.

تمرین

ثابت کنید دنباله‌ های زیر واگرا هستند.

n

نشان می‌دهیم limn+n=+:

N>0      M;nMan>Nan>Nn>NMNM=N+1

n2

نشان می‌دهیم limn+n2=+:

N>0       M     ;     nMan>N


n2>Nn>N+2n>N+22M  N+22M=N+22+1

n24n

نشان می‌دهیم limn+n24n=+:

N>0       M     ;     nMan>N


n24n>Nn24n+4>N+4n22>N+4n2>N+4    ;    n+n2>N+4n>N+4+2    ;    n>N+4+2nMMN+4+2M=N+4+2+1M=N+4+3

n!

n!=1×2×3×...×n    ;    n10!=1N>0         M   ;   nMan>Nn!>Nn>NMNM=N+1

روش دوم در اثبات واگرایی

مثال‌هایی را بررسی می‌کنیم که در آنها به کمک تعریف، عدم وجود حد را ثابت می‌کنیم.

در صورتی‌که ادعا کنیم که دنباله واگراست، برای اثبات این ادعا معمولا از برهان خلف استفاده می‌کنیم.

به‌همین منظور فرض می‌کنیم که دنباله همگرا و حد آن L باشد، آن‌گاه تعریف همگرایی را برای آن می‌نویسیم، چون به ازای هر ε داشته باشیم anL<ε می‌باشد لذا یک ε مناسب انتخاب کرده و نامساوی anL<ε را تشکیل می‌دهیم و سعی می‌کنیم به یک تناقض برسیم.

ε مناسب یک عدد حقیقی مانند ε=1 یا ε=110 است که انتخاب آن به شرایط مسئله بستگی دارد.     

تمرین

واگرایی دنباله‌های زیر را ثابت کنید.

n3

با افزايش n جمله‌های دنباله افزايش مي‌يابند، يعني می‌توانيم جمله‌های دنباله را از هر عدد بزرگی، بزرگ‌تر كنيم به‎طوری‌كه به هيچ عدد حقيقی همگرا نباشد پس ادعا می‌كنيم دنباله واگراست.


براي اثبات اين مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌كنيم، يعني فرض می‌كنيم كه دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهيم كه اين فرض منجر به تناقص می‌شود.


اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

limn+n3=Lε>0    MN   ;    nManL<ε


n3L<ε  n3L<1      ;      if   ε=11<n3L<1L1<n3<L+1L13<n<L+13


این امکان ندارد زیرا مجموعه اعداد طبیعی کراندار نیست.


یک تناقض به‌دست می‌آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است،‌ بنابراین دنباله واگراست.

1n+1

جمله عمومی دنباله an=1n+1 است و دیده می‌شود که:

an=0         ;   n=2k+12        ;     n=2k      ;   k


جملات دنباله به‌صورت 0,2,0,2,0,2,... هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.


برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.


اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

ε>0         MN;nManL<ε


فرض کنیم ε=12 است:

anL<εanL<1212<anL<12ifn=2k+1an=012<L<12ifn=2kan=212<2L<12   if    L>122L>12+22L>32


اگر 2L>32 باشد، نمی‌تواند کم‌تر از 12 باشد، یعنی یک تناقض به‌دست می‌آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است، بنابراین دنباله واگراست.

n+1nnn+1

جمله عمومی دنباله an=n+1nnn+1 است و دیده می‌شود که:

an=0            ;    n=2k+12nn+1    ;      n=2k     ;    k


جملات دنباله به‌صورت 0,43,0,85,... هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.


برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.

اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

ε>0        MN;nManL<ε


فرض کنیم ε=1100 است:

anL<1100ifn=2k+1an=00L<1100L<1100ifn=2kan  =2nn+12nn+1L<1100  



2nn+1=2nn+1L+L2nn+12nn+1L+L2nn+1<1100+11002nn+1<2100nn+1<1100


اگر مقادیر مختلف زوج به n بدهیم، می‌بینیم که نامساوی بالا غلط است و بنابراین فرض خلف باطل است، یعنی دنباله واگراست.

n1n

جمله عمومی دنباله an=n1n است و دیده می‌شود که جملات دنباله به‌صورت 1,2,13,... هستند و به‌نظر می‌رسد که دنباله واگرا است.


برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.


اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

ε>0        MN;nManL<ε


فرض کنیم ε=14 است:

ifn=2k+1  n1L<141nL<14ifn=2knL  <  14



n1n=n1nn1n=nL1nLn1n<nL+1nLn1n<14+14<12n1n<12n<12+1n


نامساوی فوق همواره غلط است و بنابراین فرض خلف باطل است، یعنی دنباله واگراست.

n+1n

برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.


اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

ε>0        MN;nManL<ε


فرض کنیم ε=1 است:

n+1nL  <11<n+1nL<1L1<n+1n<L+1


اما L ثابت است و n را هر اندازه که بخواهیم می‌توانیم بزرگ کنیم.

مجموعه اعداد طبیعی کراندار نیست و یک تناقض به‌دست می آوریم که نتیجه می‌دهد فرض خلف باطل است، بنابراین دنباله واگراست.

2n+13

می‌خواهیم ثابت کنیم limn+2n+13 موجود نیست.


برای اثبات این مطلب از روش برهان خلف استفاده می‌کنیم، یعنی فرض می‌کنیم که دنباله همگرا باشد و نشان می‌دهیم که این فرض منجر به تناقص می‌شود.

اگر دنباله دارای حد L باشد، یعنی limn+an=L است، آن‌گاه بنا به تعریف:

ε>0        MN;nManL<ε


2n+13L<εε<2n+13L<ε3+Lε<2n+1<3+L+ε


نامساوی 2n+1<3+L+ε را در نظر می‌گیریم و از طرفین آن در مبنای 10 لگاریتم می‌گیریم:

2n+1<3+L+εlog2n+1<log3+L+εn+1log2<log3+L+εn+1<log3+L+εlog2n<log3+L+εlog21


با توجه به این که n+ میل می‌کند، نامساوی بالا حداکثر برای یک تعداد متناهی از مقادیر n برقرار است اما همواره نامساوی فوق برقرار نیست. با توجه به این امر تناقض لازم به دست آمده است. 

تمرین

اگر در دنباله an داشته باشیم limn+an=L و با شرط an>0 نشان دهید L0.  

اثبات به روش برهان خلف:


فرض کنیم L<0 باشد، در این‌صورت -L>0:

if    limn+an=L                                 ε>0     M   ;   nManL<ε


anL<εε<anL<εLε<an<L+ε    ;  ε=L>0L+L<an<LL2L<an<0


یعنی به‌ازای nM ، an<0 است که با فرض متناقض است، پس برهان خلف باطل است و L0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید