مقدمه و تعریف

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 59 مرتبه

مقدمه‌ای بر دنباله

برای ورود به بحث، تمرین‌های زیر را مشاهده کنید:

تمرین

دنباله ای از اعداد طبیعی و جمله عمومی از  این دنباله را می‌نویسیم:

1,2,3,  ....  n,...

در هر دنباله، جمله‌ای که برحسب عبارتی از n بیان شود، جمله عمومی آن دنباله گفته می‌شود.

جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

an=n

دنباله ای از اعداد طبیعی زوج و جمله عمومی از  این دنباله رامی‌نویسیم:

a1a2a3an2462n


جملات دنباله را با یک حرف و یک اندیس در زیر آن نشان می‌دهند، اندیس‌ها نمایانگر شماره جمله است.

جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

an=2n

دنباله ای از اعداد طبیعی مربع کامل و جمله عمومی از  این دنباله را می‌نویسیم:

a1a2a3an149n2


جمله عمومی این دنباله به‌صورت زیر است:

an=n2

تعریف دنباله

یک دنباله نامتناهی، تابعی است مانند f که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی و برد آن زیرمجموعه ای از اعداد حقیقی است:

f:NRnfnfn=an

مقدار تابع f به ازای عدد طبیعی n یعنی fn را با an نشان می‌دهیم و آن را جمله عمومی دنباله می‌نامیم.

نکته

دنباله f را به‌صورت اختصاری با استفاده از جمله عمومی با an نمایش می‌دهند.

تابع f را برحسب زوج مرتب به‌صورت زیر می‌نویسیم: 

f=n,an  nN=1,a1, 2,a2,...,n,an,...                                                                       f1f2       fn


تعریف دنباله - پیمان گردلو

از آنجایی که دامنه دنباله‌ ها، مجموعه اعداد طبیعی N است، معمولا در نمایش دنباله از نوشتن عضوهای دامنه (مولفه اول زوج های مرتب) خودداری می‌کنیم و می‌نویسیم: 

f=annN=  a  ,  a2  ,  ...  ,  an  ,  ...  =ann=1

که به اختصار به‌صورت an نمایش می‌دهند.

جملات یک دنباله ممکن است عدد، خط، شکل و یا هر چیز دیگری باشد و اگر جملات یک دنباله عدد باشد، آن را دنباله عددی می‌نامند.  

جملات یک دنباله ممکن است عدد، خط، شکل و یا هر چیز دیگری باشد و اگر جملات یک دنباله، عدد باشد، آن را دنباله عددی می‌نامند.

تمرین

تابع زیر چه دنباله ای از اعداد را تولید می‌کند؟

f:NRfn=an=n2+n

if    n=1f1=a1=12+1=2if    n=2f2=a2=22+2=6if    n=3f3=a3=32+3=12                          if    n=nfn=an=n2+n


دنباله عددی زیر توسط تابع فوق تولید می‌شود:

2  ,  6  ,  12  ,  ...   ,  n2+n

دریافت مثال

نکته

اگر جمله عمومی دنباله ‌ای معلوم باشد، جمله‌‌های دنباله از روی آنها با قرار دادن n=1,2,... به‌دست می‌آید.

تمرین

جمله عمومی دنباله های زیر مفروضند، جملات دنباله های آن را بنویسید. 

fn=an=n2+1

f1=a1=2f2=a2=22+1=5                  fn=an=n2+1


دنباله 2   ,   5   ,  ...   ,n2+1 تولید می‌شود.

an=n2+n

if    n=1a1=12+1=2if    n=2a2=22+2=6if    n=3a3=32+3=12                          if    n=nan=n2+n


دنباله 2  ,  6  ,  12  ,  ...   ,  n2+n تولید می‌شود.

تمرین

اگر n یک عدد طبیعی باشد، آیا an=12+n می‌تواند قانون دنباله زیر باشد؟

12,23,34,56,....

n=1a1=12+1=12n=2a2=12+2=3223n=3a3=12+3=5234n=4a4=12+4=7256


جملات دوم، سوم، چهارم دنباله تولید نمی‌شود.


جمله عمومی an=12+n نمی‌تواند قانون دنباله فوق باشد. 

نکته

سوال مهم  این است که اگر چند جمله اولیه یک دنباله نامتناهی را داشته باشیم، آیا می‌توانیم جمله عمومی آن را پیدا کنیم؟

پاسخ این سوال گاهی مثبت است و گاهی منفی.

یادآوری

در دست بودن چند جمله اول یک دنباله نامتناهی برای تعریف دنباله و تعیین جمله عمومی آن کافی نیست.

تمرین

جمله عمومی دنباله های زیر را حدس بزنید:

1,3,5,7,....

an=2n-1

3,9,27,81,....

an=3n

1,3,9,17,21,....  

نمی‌توانیم جمله عمومی را پیدا کنیم.

یادآوری

اگر چند جمله اول یک دنباله معلوم باشد و بتوانیم جمله عمومی آن را پیدا کنیم، نمی‌توان گفت جمله عمومی به‌دست آمده منحصر به فرد است، دنباله می‌تواند جمله عمومی دیگری هم داشته باشد.

تمرین

به شکل زیر و تعداد چوب کبریت‌های به کار رفته در هر یک از آنها توجه کنید:

جمله عمومی الگوی فوق را بیابید.

تعداد چوب کبریت‌های شکل اول برابر 5 است، در واقع عدد 5 جمله اول الگوست و به همین ترتیب الی آخر.




a1=5=31+2a2=8=32+2a3=11=33+2a4=14=34+2                 an=3n+2

آیا الگوی فوق می‌تواند جمله عمومی دیگری هم داشته باشد؟

a1=5=5+31-1=5+30a2=8=5+32-1=5+31a3=11=5+33-1=5+32a4=14=5+34-1=5+33                 an=5+3n-1

یادآوری

هرگاه دنباله فاقد ضابطه و قانون مشخص باشد، یعنی جمله عمومی آن را نتوانیم با فرمول ساده و معین بیان کنیم، چاره ای نداریم جز آن‌که جملات دنباله را یکی‌یکی و به دنبال هم نام ببریم و از نماد دنباله نمی‌توانیم استفاده کنیم.

تمرین

جمله عمومی دنباله زیر را به‌دست آورید.

3  ,   3.14   ,   3.1428   ,    .......

برای این دنباله هیچ قاعده و یا قانونی که بر طبق آن بتوان جملات دنباله را تولید کرد، وجود ندارد.

اعداد این دنباله به عدد π گرایش دارند.

دریافت مثال

نکته

ممکن است در یک دنباله، اندیس جمله اول عدد یک نباشد، یعنی دامنه زیرمجموعه ای از Z باشد، مانند دنباله زیر:

a0  ,  a1  ,  a2  ,  ...

که دامنه آن N0 است یا دنباله ای مانند زیر:

a3  ,   a2   ,  ...

اما می‌توانیم با انتخاب تغییر متغیر یا همان تغییر در نام‌گذاری به همان تعریف اولیه که دامنه N باشد، برسیم. 

تمرین

در دنباله باضابطه زیر، اولین جمله به ازای چه مقدار n به‌دست می‌آید؟ 

an=n7

واضح است که اولین جمله به ازای n=1 به‌دست نمی‌آید و باید n7 باشد.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

مقدمه و تعریف

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید