نمودار دنباله و الگوهای خطی و غیر خطی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

نمایش محوری دنباله

می‌توان تمام جمله ‌های یک دنباله را مانند نقاط روی یک محور اعداد حقیقی نمایش داد.

در نمایش محوری دنباله‌ ها، مجموعه جملات نمایش داده می‌شود و تمام جمله ‌های برابر، دارای یک نمایش هستند.     

دریافت مثال

نمایش دکارتی دنباله

نقطه n,an یک نقطه از نمودار است که نمایش یک جمله از دنباله می‌باشد.

در حالت کلی نمایش یک دنباله توسط نمایش دکارتی مفیدتر است زیرا اطلاعات بیشتری به ما داده می‌شود.

تمرین

نمودار دکارتی دنباله های زیر را رسم کنید:

bn=1n

n=1b1=11=0n=2b2=12=1n=3b3=13=2n=4b4=14=3n=5b5=15=4


نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

an=2n1

n=1a1=211=1n=2a2=221=3n=3a3=231=5n=4a4=241=7n=5a5=251=9


نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

    

دریافت مثال

الگوهای خطی

برای ورود به بحث، تمرین زیر را در نظر بگیرید:

تمرین

جمله عمومی زیر مفروض است:

an=3n+2

جدول زیر را تفسیر کنید:

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

در الگوی فوق هر جمله دقیقا سه واحد بیش از جمله قبل از خودش است.

چرا الگوی فوق یک الگوی خطی نامیده می‌شود؟

چنین الگوهایی را که در آنها اختلاف هر دو جمله متوالی عددی ثابت است،الگوهای خطی می‌نامیم.

دلیل این نام‌گذاری چیست؟

برای پی بردن به دلیل این نام‌گذاری، جدول زیر را در نظر می‌گیریم:

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

اگر این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنیم، همگی آنها روی خط y=3x+2 قرار می‌گیرند.


نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

به‌عبارت دیگر مختصات تمام این نقاط در معادله خط گفته شده صدق می‌کند.

شباهت بین معادله خطی y=3x+2 و جمله عمومی الگو یعنی an=3n+2 در چیست؟   

عدد 3 که در واقع اختلاف بین جملات متوالی الگو است و در معادله خط به عنوان شیب خط ظاهر شده است که این مطلب همواره درست است.

تعریف الگوی خطی: الگوهایی را که جمله عمومی آنها به‌صورت an=an+b است، الگوی خطی می‌نامیم که در آن a و b اعداد حقیقی دلخواه وثابت هستند.  

تمرین

جملات یک دنباله از قانون تابع خطی زیر پیروی می‌کند:

y=4x1    ;    xR

با توجه به دامنه دنباله، نمودار تابع را رسم کنید و نمودار دنباله را روی نمودار تابع مشخص کنید. 

an=4n1n=1a1=411=3n=2a2=421=7n=3a3=431=11                              


جمله عمومی دنباله an=4n1 از یک الگوی خطی پیروی می‌کند.

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

تمرین

در یک الگوی خطی، جملات چهارم و دهم به‌ترتیب 17 و 41 می‌باشند. جمله عمومی الگو را پیدا کنید.

جمله عمومی یک الگوی خطی به فرم an=an+b می‌باشد:

an=an+ba4=17a4+b=17a10=41a10+b=41


با حل دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر داریم:

1×4a+b=1710a+b=414ab=1710a+b=41


طرفین دو تساوی را با هم جمع می‌کنیم:

6a=24a=44a+b=1744+b=17b=1


جمله عمومی این الگوی خطی به فرم an=4n+1 است.

الگوهای غیر خطی

برای ورود به بحث، تمرین زیر را در نظر بگیرید:

تمرین

به الگوی زیر توجه کنید:

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

جمله عمومی این الگو را به‌دست آورید.

a1=12+41=5a2=22+42=12a3=32+43=21                                            an=n2+4n


در الگو فوق، اختلاف هر دو جمله متوالی در آن، عدد ثابتی نیست.

تعریف الگوی غیر خطی: الگوهایی را که در آنها اختلاف هر دو جمله متوالی عددی ثابت نباشد، الگوهای غیر خطی می‌نامیم.

تمرین

مثلث خیام زیر را در نظر بگیرید:

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

جمع اعداد در هر سطر را نشان دهید:

نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

با محاسبه مجموع اعداد سطر ششم و هفتم مثلث خیام، جملات ششم و هفتم الگو را مشخص کنید.

یادآوری) در مثلث خیام داریم:


نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

n=6    :    1     5      10      10     5     1             a6=32n=7    :    1     6      15     20     15     6     1    a6=64

بر اساس رابطه میان هر دو جمله متوالی، جمله عمومی ای الگو را به‌دست آورید.

n=1a1=1=20n=2a2=2=21n=3a3=4=22n=4a4=8=23n=5a5=24=16n=6a6=25=32                                                                an=2n1

این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنید.

اگر این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنیم، همگی آنها روی منحنی غیر خطی زیر قرار می‌گیرند:

y=2x1;  xN


نمودار دنباله - الگو خطی - الگو غیر خطی - پیمان گردلو

مثال‌ها و جواب‌ها

نمودار دنباله و الگوهای خطی و غیر خطی

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید