حد دنباله (همگرایی دنباله‌ ها)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 01 شهریور 1400
دسته‌بندی: دنباله‌
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

تعریف همگرایی در دنباله ها

اگر limn+an موجود و متناهی باشد، یعنی:

limn+an=L

آنگاه می‌گوییم دنباله همگرا (متقارب) است، در غیر این‌صورت آن را واگرا (متباعد) می‌نامند.

روش‌های اثبات همگرایی

روش اول در اثبات همگرایی

در حالت کلی روش اثبات همگرایی یک دنباله با استفاده از تکنیک ε صورت می‌گیرد.

در این تکنیک از قبل عدد مثبت ε را اختیار کرده و ثابت می‌کنیم که عدد طبیعی مانند M هست که به ازای هر n اگر nM باشد، آنگاه anL<ε.

بنابراین با استفاده از تعریف حد دنباله، همگرایی را بررسی می‌کنیم:

ε>0      MN  ;   nManL<ε

تمرین

با استفاده از تعريف حد دنباله ثابت كنيد:

limn+n2n+1=12

ε>0      MN  ;   nManL<ε

n2n+1     12<ε2n2n122n+1<ε122n+1<ε1212n+1<ε12n+1<2ε2n+1>12ε    ;    if  n+2n+1=+2n+12n+1>12ε2n>12ε1n>  14ε  12n>12ε4ε   M=12ε4ε+1

limn+1n2=0

ε>0      MN  ;   nManL<ε

1n20<ε1n2<εn2>1εn2  >  1εn>1εM=1ε+1

دریافت مثال

روش دوم در اثبات همگرایی

در حالت کلی چون از پیش ε را تعیین کرده‌ایم، پس اگر به نتایجی مانند anL<cε یا نظایر آن برسیم از قبل پیش‌بینی‌هایی می‌کنیم تا در آخر به نتیجه anL<ε برسیم.

به‌همین منظور به‌جای ε از εc یا cε استفاده می‌کنیم.

از این روش در اثبات بعضی قضایا و مسایل استفاده می‌شود.

دریافت مثال

روش سوم در اثبات همگرایی

معمولا برای اثبات همگرایی یک دنباله با استفاده از تعریف، اگر قبلا همگرایی دنباله را حدس زده باشیم که حد آن مثلا برابر L است، عبارت anL<ε را تشکیل داده و تا حد امکان آن را ساده می‌کنیم، سپس با انتخاب ε در صورت امکان از عبارت و نامساوی anL<ε عدد n را بر حسب ε  پیدا می‌کنیم.

دریافت مثال

روش چهارم در اثبات همگرایی 

در بعضی مواقع ممکن است از نامساوی anL<ε محاسبه n بر حسب ε به‌سادگی امکان‌پذیر نباشد.

در این مواقع معمولا anL را تشکیل داده و با استفاده از خواص نامساوی‌ ها، دنباله fn را چنان پیدا می‌کنیم که به ازای هر n طبیعی anLfn و fn دنباله‌ ای ساده‌تر بر حسب n باشد به‌طوری‌که در fn<εمحاسبه n برحسب ε به‌سادگی امکان‌پذیر باشد، در نتیجه:       

anLfn<ε

فرض کنیم از نامساوی fn<ε مقدار n برحسب ε به‌دست آمد و ما fn را قبلا به ازای n>M1 راحت‌تر به‌دست آورده باشیم.

M>maxM1  ,  n

n بر حسب ε می‌باشد. 

دریافت مثال

نکته

if   1<a<1limn+an=0

دنباله an همگرا است.

if   a>1a<1

دنباله an واگرا است.

if limn+an=L

طبق تعریف داریم:

  ε>0      MN  ;   nManL<ε

anL<εε<αnL<εLε<an<L+εanLε  ,   L+ε

این نشان می‌دهد که جملات دنباله an از مرتبه M به بعد همگی در داخل همسایگی متقارن به مرکز L و شعاع ε قرار دارند. 

همگرایی دنباله - پیمان گردلو

تذکر

اگر در دنباله an حداقل دو زیردنباله akn و ak'n وجود داشته باشند که به دو عدد متمایز همگرا باشند، آن‌گاه دنباله an همگرا نمی‌باشد.  

تمرین

دنباله an=1n در نظر بگیرید:

این دنباله را به دو زیردنباله بنویسید و نشان دهید:

a2n=12n=1,1,1,...a2n1=12n1=1,1,1,...


زیردنباله اولی به عدد 1 و زیردنباله دومی به عدد -1 همگرا است. 


چون زیردنباله‌ها به دو عدد متمایز همگرا هستند بنابراین دنباله an=1n همگرا نیست.  

دریافت مثال

قضایای همگرایی در دنباله‌ها

قضیه

قضیه اول کوشی

دنباله an مفروض است به‌طوری‌که به L همگرا است، در این‌صورت دنباله bn به L همگرا است.   

bn=a1+a2+...+ann

تذکر

عکس این قضیه همواره صحیح نیست یعنی ممکن است a1+a2+...+ann همگرا باشد اما an همگرا نباشد.  

تمرین

نشان دهید دنباله با ضابطه زیر همگرا است:

bn=1n+12n++1n2

bn=1n+12n++1n2=1n11+12+13+....+1n=11+12+...+1nn=a1+a2+...+annlimn+an=limn+1nlimn+an=0limn+bn=0

تمرین

اگر an دنباله ‌ای از اعداد مثبت و limn+an مثبت باشد، ثابت کنید: 

limn+bn=limn+a1a2...ann=limn+an

اگر a1,a2,,an مثبت باشند:


واسطه حسابی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

An=a1+a2++ann=1ni=1nai


واسطه هندسی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Gn=a1.a2ann= aii=1   n   n


طبق تعریف واسطه هندسی داریم:

bn=a1a2...annlimn+bn=limn+a1a2...ann


bn=a1a2...annlogbn=loga1a2...annlogbn=loga1a2...an1nlogbn=1nloga1a2...anlogbn=loga1+loga2+...+logann


بنابر قضیه اول کوشی: 

limn+logbn=limn+loganloglimn+bn=loglimn+anlimn+bn=limn+an

قضیه

قضیه دوم کوشی

اگر an دنباله ‌ای از اعداد مثبت باشد:

limn+an+1an=Llimn+ann=L

دریافت مثال

قضیه

در دنباله an به ازای هر n و an0 داریم:

limn+an+1an=λ


اگر λ<1 باشد، آنگاه limn+an=0


اگر λ>1 و an>0 باشد، آنگاه دنباله an به + واگرا است.  

تمرین

همگرایی دنباله های زیر را بررسی کنید.

an=cnnk

limn+an+1an=limn+ cn+1n+1k cnnk=limn+nkcn+1cnn+1k=limn+cnkn+1k=limn+cnn+1k=c


if   c<1limn+an=0if   c>1limn+an=+

an=xnn!

limn+an+1an=limn+ xn+1n+1! xnn!=limn+n!xn+1xnn+1!=limn+xn!n+1!=limn+xn!n+1n!=limn+xn+1=0


چون 0<1 است، پس limn+an=0 است.

an=n!nn

limn+an+1an=limn+ n+1!n+1n+1 n!nn=limn+nnn+1!n!n+1n+1=limn+nnn+1n!n!n+1nn+1=limn+nnn+1n=limn+nn+1n    ;    0<nn+1<1=0


چون 0<1 است، پس limn+an=0 است.

قضیه

قضیه دنباله هندسی

دنباله an مفروض است cR

limn+an=limn+  cn=1          ;     if     c=1       1?          ;     if     c=1   20          ;     if    c<1      3+  ;       if     c>1      4?           ;      if    c<1   5

اثبات

:1 اگر c=1 باشد، دنباله ثابت 1,1,1, ... را داریم که به عدد یک همگرا است.

:2 اگر c=-1 باشد، دنباله متناوب -1n را داریم که قبلا ثابت کردیم حد آن موجود نیست.

:3 فرض می‌کنیم c0 باشد، با توجه به این‌که c<1 پس 0c<1:   

if    0c<11c>0   ;   b=1c1c=b1=b+c1n=b+cn1n=r=0nnrcnrbr    ;    r=0nnrcnrbrn1cn1b11nn1cn1b11nncn1b

cn11nbcncnb0<cncnblimn+0<limn+cnlimn+cnb0<limn+cn0limn+cn=0


:4 وقتی c>1 باشد، داریم:

if  c>10<1c<111c>0   ;   b=11c11c=b1=b+1c1n=b+1cn1n=r=0nnr1cnrbr    ;    Ι

1nn11cn1b11nn1cn1b1cn11nb    1cn11nbcn1nbcncnbcnnbclimn+cnlimn+nbclimn+cn+limn+cn=+

Ι   :   r=0nnr1cnrbrn11cn1b1


:5 وقتی c<-1 مشاهده می‌شود که جمله ‌های دنباله مرتبا مثبت و منفی می‌شوند و دارای نوسان بی‌کران است.

دریافت مثال

قضیه

limn+an=1    ;       a>0

اثبات

if  a=1

واضح است که دنباله ثابت و تمام جمله‌ ها برابر 1 می‌باشند پس به 1 همگرا است.   

if  a>1     ;    xn=an1


xn=an1an=1+xna=1+xnna=1n+n.1n1.xn+....+xnna>nxn0<xn<an

  limn+0<limn+xn<limn+an   0<limn+xn<0limn+xn=0limn+an1=0limn+anlimn+1=0limn+an=limn+1limn+an=1


if     0<a<11a>1

limn+an=limn+11an=limn+1 1an     ;     if  1a>1limn+1an=1=11=1

قضیه

limn+nn=1

اثبات

if  a=1limn+11=1


if   n>1nn>1

if    xn=nn1nn=1+xnn=1+xnnn=1+nxn+nn12xn2+...+xnnnnn12xn20<xn22nnn10<xn<2n1limn+0<limn+xn<limn+2n1

0<limn+xn<0limn+xn=0limn+nn1=0limn+nnlimn+1=0limn+nn=limn+1limn+nn=1

دریافت مثال

قضیه

قضیه حد ریشه

اگر دنباله an به L همگرا و an0 باشد، آنگاه به ازای هر عدد طبیعی ثابت k مقدار limn+ank موجود است: 

limn+ank=limn+ank=Lk

تمرین

حد دنباله های زیر را محاسبه کنید:

limn+8n2+2n+3n2+n3

limn+8n2+2n+3n2+n3=limn+8n2+2n+3n2+n3=83=2

limn+1n4n2+nn2+4n+1

limn+1n4n2+nn2+4n+1=limn+1n4n2+nn2+4n+14n2+n+n2+4n+14n2+n+n2+4n+1=limn+1n4n2+nn2+4n+14n2+n+n2+4n+1=limn+3n23n1n4n2+n2=limn+3n2n2n+n=limn+3n23n2=1

قضیه

فرض کنیم an و bn دو دنباله حقیقی باشند.

اگر bn کراندار و limn+an=0 باشد، آنگاه:  

limn+anbn=0

همگرا بودن یا واگرا بودن دنباله bn در قضیه فوق هیچ‌گونه نقشی نخواهد داشت، مهم کراندار بودن آن است. 

تمرین

اگر xn هر دنباله دلخواهی از اعداد حقیقی باشد، ثابت ‌کنید دنباله زیر همگرا است:

sinxnnr    ;    r>0

sinxn1limn+sinxnnr=limn+1nrsinxn=0×cte=0


منظور از cte آن است که مقدار sinxn کراندار است. 

تمرین

همگرایی دنباله ‌های زیر را بررسی کنید:

an=n2n2+1sin1n3

0<n2n2+1<1    nNlimn+n2n2+1sin1n3=cte×0=0

cn=1ncosn!n2

11ncosn!11ncosn!1limn+1ncosn!1n2=cte×0=0

مثال‌ها و جواب‌ها

حد دنباله (همگرایی دنباله‌ها)

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید