تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین

فرض کنيم مساله حل شده است و چند جمله‌ای $A$ بر حسب توان های نزولی $\left(2x-3\right)$ منظم شده باشد، $A$ به اين‌صورت در می‌آيد:  

$A={\left(2x-3\right)}^3+a{\left(2x-3\right)}^2+b\left(2x-3\right)+c$

$c,b,a$ ضريب‌های نامعين و پارامترهایی هستند و بايد تعيين شوند.

ضريب جمله ${\left(2x-3\right)}^3$ را به اين دليل واحد گرفته‌ايم که ضريب $x^3$ در چند جمله‌ای، برابر واحد است.

اگر در عبارت اخير، پرانتزها را باز کنيم، بعد از منظم کردن عبارت جبری به‌دست می‌آيد: 

$A=8x^3+4\left(a-9\right)x^2-2\left(6a-b-27\right)x+\left(9a-3b+c-27\right)$

که اگر با مقدار مفروض $A$ مقايسه کنيم، با برابر قرار دادن ضريب‌های جمله‌های متشابه به اين دستگاه برای $c,b,a$ می‌رسيم:

$\left\{\begin{array}{l}4\left(a-9\right)=-20\\ \\ -2\left(6a-b-27\right)=20\\ \\ 9a-3b+c-27=-11\end{array}\right.$

$\begin{array}{c}\\ \left\{\begin{array}{l}a-9=-5\\ \\ 6a-b-27=-10\\ \\ 9a-3b+c=16\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}a=4\\ \\ b=7\\ \\ c=1\end{array}\right.\end{array}$

يعنی چند جمله‌ای $A$ بر حسب توان های نزولی $\left(2x-3\right)$ به اين‌صورت در می‌آيد:

$A={\left(2x-3\right)}^3+4{\left(2x-3\right)}^2+7\left(2x-3\right)+1$

در حالت کلی با در دست داشتن $ff\left(x\right)$ ممکن است برای $f\left(x\right)$ چند جواب به‌دست آيد. 

وقتی $ff\left(x\right)$ نسبت به $x$ از درجه اول باشد، بی‌ترديد $f\left(x\right)$ هم از درجه اول و به‌صورت $f\left(x\right)=ax+b$ است که در اين‌صورت:

$\begin{array}{l}ff\left(x\right)=af\left(x\right)+b\\ \\ \Rightarrow ff\left(x\right)=a\left(ax+b\right)+b\\ \\ \Rightarrow ff\left(x\right)=a^{2}x+\left(ab+b\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \left\{\begin{array}{l}ff\left(x\right)=4x+15\\ ff\left(x\right)=a^{2}x+\left(ab+b\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \left\{\begin{array}{l}{a}^2=4\\ ab+b=15\end{array}\right. \\ \\ \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=2\\ \\ b=5\end{array}\right.〉f\left(x\right)=2x+5\\ \\ \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ \\ b=-15\end{array}\right.〉f\left(x\right)=-2x-15\end{array}\end{array}$

معادله خط مماس را با ضريب زاويه فرضی $m$ می‌نويسيم:

$\begin{array}{l}y-y_A=m\left(x-x_A\right)\\ \\ \Rightarrow y-5=m\left(x-1\right)\\ \\ \Rightarrow y=mx-m+5:\left(1\right)\end{array}$

خط مماس فرضی را با منحنی $y=f\left(x\right)$ قطع می‌دهيم و شرط ريشه مضاعف معادله تقاطع را می‌نويسيم، $m$ به‌دست می‌آيد در نتيجه معادله خط مماس مشخص می‌شود:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=x^3+x^2-x+4\\ y=mx-m+5\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ x^3+x^2-x+4=mx-m+5\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \Rightarrow x^3+x^2-\left(m+1\right)x+m-1=0:\left(2\right)\end{array}$

شرط ریشه مضاعف معادله تقاطع آن است که $△=0$ باشد که با توجه به درجه سوم بودن معادله فوق یافتن آن کاری سخت است، بنابراین از تعریف ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم:

برای اين که خط راست $\left(1\right)$ بر منحنی مماس باشد، بايد مقدار $m$ را طوری پيدا کرد که معادله $\left(2\right)$ يک ريشه مضاعف داشته باشد، يعنی به اين صورت در آيد:

${\left(x-a\right)}^2\left(x-b\right)=0\Rightarrow x^3-\left(2a+b\right)x^2+\left(a^2+2ab\right)x-a^{2}b=0;\left(3\right)$

بايد دو معادله $\left(2\right)$ و $\left(3\right)$ يکی باشند، يعنی چند جمله ای های سمت چپ در $\left(2\right)$ و $\left(3\right)$ متحد باشند، در نتيجه به دستگاه زير می‌رسيم:

$\left\{\begin{array}{l}2a+b=-1\\ \\ a^2+2ab=-m-1\\ \\ -a^{2}b=m-1\end{array}\right.$

از مجموع دو معادله دوم و سوم اين دستگاه داريم: 

$a^2-a^{2}b+2ab=-2$

اگر $b=-2a-1$ را از معادله اول دستگاه در نظر بگيريم معادله فوق به‌صورت زير در می‌آيد: 

$\begin{array}{l}{a}^2-a^{2}b+2ab=-2\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow a^2-a^2\left(-2a-1\right)+2a\left(-2a-1\right)=-2\end{array}$

$\begin{array}{l}\\ \Rightarrow a^3-a^2-a+1=0\\ \\ \Rightarrow {\left(a-1\right)}^2\left(a-1\right)=0\\ \\ \Rightarrow a=1\Rightarrow b=-3\Rightarrow m=4\end{array}$

معادله خط مماس:

$y=mx-m+5\stackrel{m=4}{\to }y=4x-4+5\Rightarrow y=4x+1$

اگر بدون انديشه، چند جمله‌ای درجه پنجم $f\left(x\right)$ را با شش ضريب نامعين و به‌صورت زیر در نظر بگیریم:

$f\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f$

در بهترين حالت به يک دستگاه شامل شش معادله و شش مجهول می‌رسيم که بايد وقت زيادی را برای حل آن صرف کنيم.

می‌دانيم اگر يک عبارت جبری بر ${\left(x+\alpha \right)}^n$ بخش پذير باشد، مشتق آن بر ${\left(x+\alpha \right)}^{n-1}$ بخش پذير است.

وقتی $f\left(x\right)+2$ بر ${\left(x+2\right)}^3$ بخش پذير باشد، مشتق آن يعنی $f^{\text{'}}\left(x\right)$ بر ${\left(x+2\right)}^2$ بخش پذير است.

وقتی $f\left(x\right)-2$ بر ${\left(x-2\right)}^3$ بخش پذير باشد، مشتق آن يعنی $f^{\text{'}}\left(x\right)$ بر ${\left(x-2\right)}^2$ بخش پذير است.

$f^{\text{'}}\left(x\right)$  بر ${\left(x+2\right)}^2$ و ${\left(x-2\right)}^2$ هم زمان بخش پذیر است.

$x+2$ و $x-2$ نسبت به هم اولند پس $f^{\text{'}}\left(x\right)$ بر حاصل ضرب ${\left(x+2\right)}^2$ و ${\left(x-2\right)}^2$ يعنی بر ${\left(x^2-4\right)}^2$ بخش پذير است.

وقتی چند جمله‌ای $f\left(x\right)$ از درجه پنجم باشد، $f^{\text{'}}\left(x\right)$ از درجه چهارم می‌شود، بنابراين بايد داشته باشيم:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=m{\left(x^2-4\right)}^2=m\left(x^4-8x^2+16\right)$

که در آن $m$ مقداری است ثابت. وقتی $f^{\text{'}}\left(x\right)$ را داشته باشيم، می‌توان $f\left(x\right)$  را به‌دست آورد:  

$f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int m\left(x^4-8x^2+16\right)dx=m\left(\frac{1}{5}{x}^5-\frac{8}{3}{x}^3+16x\right)+n$

$f\left(x\right)$ با دو ضريب نامعين $m$ و $n$ مشخص شد.

برای پيدا کردن $m$ و $n$ از اين دو شرط استفاده می‌کنيم که $f\left(x\right)+2$ بر $\left(x+2\right)$ و $f\left(x\right)-2$ بر $\left(x-2\right)$ بخش پذير است:

$\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)+2=0\\ \\ f\left(2\right)-2=0\end{array}\right.$

به اين ترتيب به دستگاهی شامل دو معادله و دو مجهول $m$ و $n$ می‌رسيم: 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)+2=0\\ \\ f\left(2\right)-2=0\end{array}\right.$

$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}m\left(-\frac{32}{5}+\frac{64}{3}-32\right)+n+2=0\\ \\ m\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32\right)+n-2=0\end{array}\end{array}$

ضريب های $m$ در دو معادله يکی است. اگر دو معادله دستگاه را با هم جمع کنيم، داریم:

$n=0$

و با قرار دادن مقدار $n$ در يکی از دو معادله دستگاه، مقدار $m$ هم به‌دست می‌آيد و از آنجا چند جمله‌ای درجه پنجم حاصل می‌شود.