ضرایب‌ نامعین در چند جمله‌ ای‌ های جبری

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

در برخورد با موضوعاتی که هدف آنها پیدا کردن یک چند‌جمله‌ای جبری است، اغلب می‌توان از روشی استفاده کرد که به‌روش استفاده از ضرایب نامعین مشهور شده است.

این روش را که در واقع پیش‌بینی تعداد پارامترهای لازم و سپس تعیین مقدار این پارامترهاست، می‌توان این طور تعریف کرد:

تعریف-

وقتی منظور مساله، پیدا کردن یک چند جمله‌ای جبری باشد، به شرطی که درجه آن را با توجه به شرط‌های مساله بدانیم (یا بتوانیم حدس بزنیم) چند جمله‌ای را با ضرایب مجهول (نامعین) مثل a و b و ... می‌نویسیم و سپس با استفاده از شرط‌های مساله، تلاش می‌کنیم دستگاهی شامل این ضرایب و به تعداد آنها تشکیل دهیم و با حل دستگاه، ضرایب نامعلوم و در نتیجه، چند جمله‌ای مجهول را به‌دست آوریم.

روش استفاده از ضرایب نامعین، مضمون ساده‌ای دارد و در بیش‌تر جاها می‌توان از آن سود جست، ولی همیشه بهترین و زیباترین راه‌حل نیست و گاه منجر به حل دستگاهی می‌شود که تعداد مجهولات و معادلات  آن بسیار زیاد است.

بنابراین درباره هر مساله‌ای نباید چشم بسته به‌سراغ روش ضرایب نامعین رفت، چه بسا روشی کوتاه‌تر و زیباتر برای رسیدن به نتیجه وجود داشته باشد.

روش استفاده از ضرایب نامعین در حالت‌هایی ب‌کار می‌رود که یا راه حل دیگری برای مساله وجود نداشته باشد یا به ذهن ما نرسد و یا خیلی سریع ما را به نتیجه برساند.

تمرین

چند جمله‌ای زیر را بر حسب توان‌ های 2x-3 منظم کنيد. 

A=8x320x2+20x11

فرض کنيم مساله حل شده است و چند جمله‌ای A بر حسب توان های نزولی 2x-3 منظم شده باشد، A به اين‌صورت در می‌آيد:  

A=2x33+a2x32+b2x3+c


c,b,a ضريب‌های نامعين و پارامترهایی هستند و بايد تعيين شوند.


ضريب جمله 2x-33 را به اين دليل واحد گرفته‌ايم که ضريب x3 در چند جمله‌ای، برابر واحد است.


اگر در عبارت اخير، پرانتزها را باز کنيم، بعد از منظم کردن عبارت جبری به‌دست می‌آيد: 

A=8x3+4a9x226ab27x+9a3b+c27


که اگر با مقدار مفروض A مقايسه کنيم، با برابر قرار دادن ضريب‌های جمله‌های متشابه به اين دستگاه برای c,b,a می‌رسيم:

4a9=2026ab27=209a3b+c27=11a9=56ab27=109a3b+c=16  a=4b=7c=1


يعنی چند جمله‌ای A بر حسب توان های نزولی 2x-3 به اين‌صورت در می‌آيد:

A=2x33+42x32+72x3+1

تمرین

اگر بدانيم ffx=4x+15 و در ضمن fx يک چند جمله‌ای بر حسب x است، fx را پيدا کنيد. 

در حالت کلی با در دست داشتن ffx ممکن است برای fx چند جواب به‌دست آيد. 


وقتی ffx نسبت به x از درجه اول باشد، بی‌ترديد fx هم از درجه اول و به‌صورت fx=ax+b است که در اين‌صورت:

ffx=afx+bffx=aax+b+bffx=a2x+ab+b

ffx=4x+15ffx=a2x+ab+ba2=4ab+b=15a=2b=5  fx=2x+5a=2b=15  fx=2x15

بر نقطه A1,5 واقع بر منحنی مماس هایی بر نمودار تابع با ضابطه y=x3+x2x+4 رسم کرده‌ايم، معادله هر يک از اين مماس ها را پيدا کنيد.  

معادله خط مماس را با ضريب زاويه فرضی m می‌نويسيم:

yyA=mxxAy5=mx1y=mxm+5  :  1


خط مماس فرضی را با منحنی y=fx قطع می‌دهيم و شرط ريشه مضاعف معادله تقاطع را می‌نويسيم، m به‌دست می‌آيد در نتيجه معادله خط مماس مشخص می‌شود:

y=x3+x2x+4y=mxm+5x3+x2x+4=mxm+5x3+x2x+4=mxm+5x3+x2m+1x+m1=0  :  2


شرط ریشه مضاعف معادله تقاطع آن است که =0 باشد که با توجه به درجه سوم بودن معادله فوق یافتن آن کاری سخت است، بنابراین از تعریف ضرایب نامعین استفاده می‌کنیم:


برای اين که خط راست 1 بر منحنی مماس باشد، بايد مقدار m را طوری پيدا کرد که معادله 2 يک ريشه مضاعف داشته باشد، يعنی به اين صورت در آيد:

xa2xb=0x32a+bx2+a2+2abxa2b=0    ;    3


بايد دو معادله 2 و 3 يکی باشند، يعنی چند جمله ای های سمت چپ در 2 و 3 متحد باشند، در نتيجه به دستگاه زير می‌رسيم:

2a+b=1a2+2ab=m1a2b=m1


از مجموع دو معادله دوم و سوم اين دستگاه داريم: 

a2a2b+2ab=2


اگر b=2a1 را از معادله اول دستگاه در نظر بگيريم معادله فوق به‌صورت زير در می‌آيد: 

a2a2b+2ab=2a2a22a1+2a2a1=2a3a2a+1=0a12a1=0a=1b=3m=4


معادله خط مماس:

y=mxm+5m=4y=4x4+5y=4x+1

چند جمله‌ای fx از درجه پنجم را پيدا کنيد، به شرطی که fx+2 بر x+23 و fx-2 بر x-23 بخش پذير باشد.   

اگر بدون انديشه، چند جمله‌ای درجه پنجم fx را با شش ضريب نامعين و به‌صورت زیر در نظر بگیریم:

fx=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f


در بهترين حالت به يک دستگاه شامل شش معادله و شش مجهول می‌رسيم که بايد وقت زيادی را برای حل آن صرف کنيم.


می‌دانيم اگر يک عبارت جبری بر x+αn بخش پذير باشد، مشتق آن بر x+αn-1 بخش پذير است.


وقتی fx+2 بر x+23 بخش پذير باشد، مشتق آن يعنی f'x بر x+22 بخش پذير است.


وقتی fx-2 بر x-23 بخش پذير باشد، مشتق آن يعنی f'x بر x-22 بخش پذير است.


f'x  بر x+22 و x-22 هم زمان بخش پذیر است.


x+2 و x-2 نسبت به هم اولند پس f'x بر حاصل ضرب x+22 و x-22 يعنی بر x242 بخش پذير است.


وقتی چند جمله‌ای fx از درجه پنجم باشد، f'x از درجه چهارم می‌شود، بنابراين بايد داشته باشيم:

f'x=mx242=mx48x2+16


که در آن m مقداری است ثابت. وقتی f'x را داشته باشيم، می‌توان fx  را به‌دست آورد:  

fx=f'xdx=mx48x2+16dx=m15x583x3+16x+n


fx با دو ضريب نامعين m و n مشخص شد.


برای پيدا کردن m و n از اين دو شرط استفاده می‌کنيم که fx+2 بر x+2 و fx-2 بر x-2 بخش پذير است:

f2+2=0f22=0


به اين ترتيب به دستگاهی شامل دو معادله و دو مجهول m و n می‌رسيم: 

f2+2=0f22=0m325+64332+n+2=0m325643+32+n2=0


ضريب های m در دو معادله يکی است. اگر دو معادله دستگاه را با هم جمع کنيم، داریم:

n=0


و با قرار دادن مقدار n در يکی از دو معادله دستگاه، مقدار m هم به‌دست می‌آيد و از آنجا چند جمله‌ای درجه پنجم حاصل می‌شود. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید