سرفصل‌های این مبحث

تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

عبارات متقارن منفی

آخرین ویرایش: 10 اسفند 1402

دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعریف

به هرعبارتی که با تبدیل دو حرف دل‌خواه آن به‌یک‌دیگر، به قرینه خود تبدیل شود، عبارت متقارن منفی گویند.

ساده‌ترین عبارت متقارن منفی برای دو متغیر $x$ و $y$ عبارت $x - y$ است.

برای سه متغیر $x$ و $y$ و $z$ عبارت متقارن منفی به‌صورت زیر است:

$(x - y) (x - z) (y - z)$

روشن است که توان زوج هر عبارت متقارن منفی، عبارتی متقارن می‌شود یا به‌طور کلی از ضرب دو عبارت متقارن منفی، عبارتی متقارن به‌دست می‌آید.

هم‌چنین از ضرب یک عبارت متقارن منفی در عبارت متقارن، عبارتی متقارن منفی به‌دست می‌آید.

در واقع اگر $f (x, y)$ را متقارن منفی و $g (x, y)$ را متقارن فرض کنیم، باید داشته باشیم:

$\{\begin{cases} f (x, y) = - f (x, y) \\ g (x, y) = g (y, x) \end{cases}$

$f (x, y) \cdot g (x, y) = - f (x, y) \cdot g (y, x)$

به‌طور کلی وقتی با $n$ متغیر $x_{n}, ....., x_{2}, x_{1}$ سروکار داشته باشیم، ساده‌ترین عبارت متقارن منفی نسبت به این متغیرها چنین است:

$(x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3}) ... (x_{1} - x_{n}) (x_{2} - x_{3}) ... (x_{n - 1} - x_{n}) = \prod_{i < j} (x_{i} - x_{j})$

قضیه

هر عبارتی که نسبت به دو متغیر $x$ و متقارن منفی باشد، بر $x - y$ بخش پذیر است.

اثبات

اگر $f (x, y)$ را متقارن منفی در نظر بگیریم، داریم:

$f (x, y) = - f (x, y)$

برابری فوق یک اتحاد است، بنابراین باید به‌ازای هر مقدار $x$ و $y$ برقرار باشد:

$\begin{array}{l} i f y = x \\ \Rightarrow f (x, x) = - f (x, x) \\ \Rightarrow f (x, x) + f (x, x) = 0 \\ \Rightarrow 2 f (x, x) = 0 \\ \Rightarrow f (x, x) = 0 \end{array}$

و این به‌معنای آن است که $f (x, y)$ بر $x - y$ بخش پذیر است، زیرا $f (x, y)$ به‌ازای $y = x$ برابر صفر می‌شود.

نکته

1- با همین روش استدلال می‌توان ثابت کرد هر عبارتی که نسبت به $x$ و $y$ و $z$ متقارن منفی باشد، بر عبارت زیر بخش پذیر است:

$(x - y) (x - z) (y - z)$

2- وقتی یک عبارت متقارن منفی را بر ساده‌ترین عبارت متقارن منفی تقسیم کنیم، خارج قسمت یک عبارت متقارن به‌دست می‌آید.

مبین عبارت متقارن منفی

توان دوم ساده‌ترین عبارت متقارن منفی را مبین آن می‌نامند و با $∆$ نشان می‌دهند.

برای حالت دو متغیره $Δ = {(x - y)}^{2}$ می‌باشد.

برای حالت سه متغیره $Δ = {(x - y)}^{2} {(x - z)}^{2} {(y - z)}^{2}$ می‌باشد.

روشن است که مبین، عبارتی متقارن است و می‌توان آن را بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.

برای حالت دو متغیره:

$Δ = {(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y = {σ_{1}}^{2} - 4 σ_{2}$

تمرین

عبارت را به‌صورت ضرب عامل ها تجزيه کنيد.

$f (x, y, z) = x^{3} (y - z) + y^{3} (z - x) + z^{3} (x - y)$

اين عبارت نسبت به $z, y, x$ متقارن منفی است بنابراين بر $(x - y) (x - z) (y - z)$ بخش پذير است و می‌توان نوشت:

$f (x, y, z) = (x - y) (x - z) (y - z) \cdot g (x, y, z)$

$g (x, y, z)$ نسبت به $z, y, x$ متقارن است و از طرف ديگر چون $f (x, y, z)$ نسبت به $x$ از درجه سوم است بنابراین عبارت زیر نسبت به $x$ از درجه دوم است:

$(x - y) (x - z) (y - z)$

بنابراين $g (x, y, z)$ نسبت به $x$ و همچنين نسبت به $y$ و $z$ از درجه اول است، يعنی:

$g (x, y, z) = A (x + y + z)$

که در آن $A$ مقداری است ثابت، در نتيجه بايد داشته باشيم:

$f (x, y, z) = A (x + y + z) (x - y) (x - z) (y - z)$

که با قرار دادن سه عدد دلخواه (ولی مختلف) به‌جای $z, y, x$ (در دو طرف اتحاد) مقدار $A$ به‌دست می‌آيد.

اگر فرض کنيم $x = 0$ و $y = 1$ و $z = 2$ در اين‌صورت $A = 1$ می‌شود و نتيجه تجزيه چنين است:

$f (x, y, z) = (x + y + z) (x - y) (x - z) (y - z)$

تمرین

درباره وجود ريشه های حقيقی معادله درجه دوم $a x^{2} + b x + c = 0$ بحث کنيد.

اگر ريشه های معادله فوق را $x_{1}$ و $x_{2}$ بناميم، داريم:

$\begin{array}{l} σ_{1} = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ σ_{2} = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{array}$

مبين را برای دو مقدار $x_{1}$ و $x_{2}$ تشکيل می‌دهيم:

$\begin{array}{l} Δ = {(x_{1} - x_{2})}^{2} \\ \Rightarrow Δ = {σ_{1}}^{2} - 4 σ_{2} \\ \Rightarrow Δ = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 (x_{1} x_{2}) \\ \Rightarrow Δ = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 4 (\frac{c}{a}) \\ \Rightarrow Δ = \frac{1}{a^{2}} (b^{2} - 4 a c) \end{array}$

اگر $x_{1}$ و $x_{2}$ عددهایی حقيقی باشند، مبين يعنی ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ عددی مثبت و در حالت $x_{1} = x_{2}$ برابر صفر می‌شود، به اين ترتيب، نتيجه می‌گيريم که برای معادله درجه دوم:

1- اگر $b^{2} - 4 a c > 0$ باشد، معادله دو ريشه حقيقی دارد.

2- اگر $b^{2} - 4 a c = 0$ باشد، معادله دو ريشه برابر (يک ريشه مضاعف) دارد.

3- اگر $b^{2} - 4 a c < 0$ باشد، معادله دو ريشه موهومی دارد. (ریشه حقیقی ندارد.)

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین

عبارات متقارن منفی

تعریف

مبین عبارت متقارن منفی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟