عبارات متقارن منفی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 31 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

به هرعبارتی که با تبدیل دو حرف دل‌خواه آن به‌یک‌دیگر، به قرینه خود تبدیل شود، عبارت متقارن منفی گویند.

ساده‌ترین عبارت متقارن منفی برای دو متغیر x و y عبارت x-y است.

برای سه متغیر x و y و z عبارت متقارن منفی به‌صورت زیر است:

xyxzyz

روشن است که توان زوج هر عبارت متقارن منفی، عبارتی متقارن می‌شود یا به‌طور کلی از ضرب دو عبارت متقارن منفی، عبارتی متقارن به‌دست می‌آید.

هم‌چنین از ضرب یک عبارت متقارن منفی در عبارت متقارن، عبارتی متقارن منفی به‌دست می‌آید.

در واقع اگر fx,y را متقارن منفی و gx,y را متقارن فرض کنیم، باید داشته باشیم:

fx,y=fx,ygx,y=gy,x  fx,ygx,y=fx,ygy,x

به‌طور کلی وقتی با n متغیر xn   ,.....,  x2  ,  x1 سروکار داشته باشیم، ساده‌ترین عبارت متقارن منفی نسبت به این متغیرها چنین است:

x1x2x1x3...x1xnx2x3...xn1xn=i<jxixj

قضیه

هر عبارتی که نسبت به دو متغیر x  و  متقارن منفی باشد، بر x-y بخش پذیر است. 

اثبات

اگر fx,y را متقارن منفی در نظر بگیریم، داریم:

fx,y=fx,y

برابری فوق یک اتحاد است، بنابراین باید به‌ازای هر مقدار x و y برقرار باشد:  

if   y=xfx,x=fx,xfx,x+fx,x=02fx,x=0fx,x=0

و این به‌معنای آن است که fx,y بر x-y بخش پذیر است، زیرا fx,y به‌ازای y=x برابر صفر می‌شود.

نکته

1- با همین روش استدلال می‌توان ثابت کرد هر عبارتی که نسبت به x و y و z متقارن منفی باشد، بر عبارت زیر بخش پذیر است:

xyxzyz

2- وقتی یک عبارت متقارن منفی را بر ساده‌ترین عبارت متقارن منفی تقسیم کنیم، خارج قسمت یک عبارت متقارن به‌دست می‌آید.

مبین عبارت متقارن منفی

توان دوم ساده‌ترین عبارت متقارن منفی را مبین آن می‌نامند و با  نشان می‌دهند.

برای حالت دو متغیره Δ=xy2 می‌باشد.

برای حالت سه متغیره Δ=xy2xz2yz2 می‌باشد.

روشن است که مبین، عبارتی متقارن است و می‌توان آن را بر حسب ساده‌ترین عبارات متقارن نوشت.

برای حالت دو متغیره:

Δ=xy2=x+y24xy=σ124σ2

تمرین

عبارت را به‌صورت ضرب عامل ها تجزيه کنيد.

fx,y,z=x3yz+y3zx+z3xy

اين عبارت نسبت به z,y,x متقارن منفی است بنابراين بر xyxzyz بخش پذير است و می‌توان نوشت:

fx,y,z=xyxzyzgx,y,z


gx,y,z نسبت به z,y,x متقارن است و از طرف ديگر چون fx,y,z نسبت به x از درجه سوم است بنابراین عبارت زیر نسبت به x از درجه دوم است: 

xyxzyz


بنابراين gx,y,z نسبت به x و همچنين نسبت به y و z از درجه اول است، يعنی:  

gx,y,z=Ax+y+z


که در آن A مقداری است ثابت، در نتيجه بايد داشته باشيم: 

fx,y,z=Ax+y+zxyxzyz


که با قرار دادن سه عدد دلخواه (ولی مختلف) به‌جای z,y,x (در دو طرف اتحاد) مقدار A به‌دست می‌آيد.

اگر فرض کنيم x=0 و y=1 و z=2 در اين‌صورت A=1 می‌شود و نتيجه تجزيه چنين است:

fx,y,z=x+y+zxyxzyz

تمرین

درباره وجود ريشه های حقيقی معادله درجه دوم ax2+bx+c=0 بحث کنيد.

اگر ريشه های معادله فوق را x1 و x2 بناميم، داريم:

σ1=x1+x2=baσ2=x1x2=ca


مبين را برای دو مقدار x1 و x2 تشکيل می‌دهيم:

Δ=x1x22Δ=σ124σ2Δ=x1+x224x1x2Δ=ba24caΔ=1a2b24ac


 اگر x1 و x2 عددهایی حقيقی باشند، مبين يعنی x1x22 عددی مثبت و در حالت x1=x2 برابر صفر می‌شود، به اين ترتيب، نتيجه می‌گيريم که برای معادله درجه دوم:

1- اگر b24ac>0 باشد، معادله دو ريشه حقيقی دارد.

2- اگر b24ac=0 باشد، معادله دو ريشه برابر (يک ريشه مضاعف) دارد.

3- اگر b24ac<0 باشد، معادله دو ريشه موهومی دارد. (ریشه حقیقی ندارد.)

برای ارسال نظر وارد سایت شوید