استفاده از تقارن در جبر مقدماتی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: تقارن‌‌ های جبری و ضرایب‌ نامعین
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

از عبارات متقارن، می‌توان در:

  • حل دستگاه‌ها
  • تجزیه عبارات جبری به‌صورت ضرب عامل‌ها
  • اثبات نابرابری‌ها
  • حل معادلات مثلثاتی
  • گویا کردن مخرج کسرها 

و بسیاری حالت‌های دیگر استفاده کرد.

دستگاه‌های متقارن

به دستگاه زیر توجه کنید:

x2+y2=13x3+y3=19

در ادامه ثابت می‌شود که این دستگاه دارای شش جواب حقیقی یا موهومی است.

بنابراین باید انتظار داشته باشیم با حذف یکی از مجهول‌ها بین دو معادله دستگاه، به معادلاتی برسیم که نسبت به مجهول دیگر، از درجه ششم باشد.

از معادله اول به‌دست می‌آید:

y2=13x2y6=13x23

از معادله دوم دستگاه داریم:

y3=19x3y6=19x32

بنابراین باید داشته باشیم:

13x23=19x322x639x438x3+507x21836=0

روشن است که حل چنین معادله‌ای از ما ساخته نیست. 

ولی دستگاهx2+y2=13x3+y3=19 نسبت به مجهولات خود یعنی x و y متقارن است، آن را بر حسب ساده‌ترین عبارات  متقارن (نسبت به x و y) یعنی بر حسب S=x+yP=xy می‌نویسیم:

x2+y2=x+y22xy=S22Px3+y3=x+y33xyx+y=S33PS

بنابراین دستگاه x2+y2=13x3+y3=19 هم‌ارز است با دستگاه زیر است:

S22P=13S33PS=19

اگر مقدار P را در هر دو معادله دستگاه، بر حسب S پیدا کنیم، داریم:

P=12S213P=S3193S  S2132=S3193SS339S+38=0

S339S+38=0S1S2+S38=0S1=0S1=1P1=6S2+S38=0S2=121+317P2=1451317S3=121+317P3=1451+317

در هر حالت با تشکیل یک معادله درجه دوم، می‌توان جواب‌های x و y را به‌دست آورد.

دریافت مثال

تجزیه عبارات متقارن

می‌خواهیم عبارت زیر را به‌صورت ضرب عامل‌ها تجزیه کنیم:

fx,y=2x5+3x4y+4x3y2+4x2y3+3xy4+2y5

fx,y را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

fx,y=2x5+y5+3xyx3+y3+4x2y2x+y

if  x+y=σ1xy=σ2x3+y3=σ133σ1σ2x5+y5=σ153σ13σ2+5σ1σ22

fx,y=2σ153σ13σ2+5σ1σ22+3σ2σ133σ1σ2+4σ1σ22=2σ157σ13σ2+5σ1σ22=σ12σ147σ12σ2+5σ22=σ1σ12σ22σ125σ2=x+yx2+xy+y22x2xy+2y2

دریافت مثال

حل معادلات مثلثاتی

در آغاز یادآوری می‌کنیم، اگر یکی از مقادیر sinx+cosxsinxcosx در دست باشد، می‌توان مقدار sinkx+coskx را برای هر مقدار k پیدا کرد:

if   sinx+cosx=asinx+cosx2=a2sin2x+cos2x+2sinxcosx=a21+2sinxcosx=a2sinxcosx=a212

برابری اخیر را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

sinxcosx=a21212sin2x=a212sin2x=a21

به تغییرات sin2x توجه کنید:

1sn2x11a2110a222a2a2

یعنی وقتی فرض می‌کنیم sinx+cosx=a باید به شرط a2توجه داشته باشیم.

حالت برابری تنها وقتی پیش می‌آید که sinx=cosx یا x=kπ+π4.

اکنون با توجه به این‌که sinx+cosx=asinxcosx=a212 و a2:

مجموع توان‌های متشابه sinx و cosx را محاسبه می‌کنیم:

if   k=0sin0x+cos0x=1+1=2

if   k=1sin1x+cos1x=a    ;    a2

if   k=2sin2x+cos2x=1

if   k=3sin3x+cos3x=sinx+cosx33sinxcosxsinx+cosxsin3x+cos3x=a332a21asin3x+cos3x=12a3+3a

if   k=4sin4x+cos4x=sin2x+cos2x22sin2xcos2xsin4x+cos4x=112a212sin4x+cos4x=12a4+2a2+1

if   k=5sin5x+cos5x=sin2x+cos2xsin3x+cos3xsin2xcos2xsinx+cosxsin5x+cos5x=12a3+3a14a212asin5x+cos5x=14a5+5a

if   k=1sin1x+cos1x=1sinx+1cosx=sinx+cosxsinxcosx=2aa21

if   k=2sin2x+cos2x=1sin2x+1cos2x=sin2x+cos2xsinxcosx2=4a212

if   k=3sin3x+cos3x=1sin3x+1cos3x=sin3x+cos3xsin3xcos3x=4a3a2a213

نکته

وقتی یک معادله مثلثاتی نسبت به sinx و cosx (یا نسبت به sinx و -cosx) متقارن باشد، یکی از بهترین راه‌حل‌ها این است که sinx+cosx (یا sinx-cosx) را به‌عنوان مجهول کمکی انتخاب کنیم.    

تمرین

معادله زیر را حل کنید:

4sin3x+cos3x3sinx+cosx=2

معادله نسبت به sinx و cosx متقارن است، فرض می‌کنیم:

4sin3x+cos3x3sinx+cosx=2412a3+3a3a=22a33a+2=02a3a2a+2=012a4a222a2=012a2a+22a22a2=0


2a2a2+22a1=0a222a2+2a2=0a222a2a+2=02a222a+2=0a1=22a2=2


if   a1=22sinx+cosx=22if   a2=2sinx+cosx=2


sinx+cosx=222cosxπ4=22cosxπ4=12xπ4=2kπ±π3x=2kπ±π3+π4sinx+cosx=22cosxπ4=2cosxπ4=1xπ4=2kπ+πx=2kπ+5π4         

مثال‌ها و جواب‌ها

استفاده از تقارن در جبر مقدماتی

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید