تقارن ‌های جبری و ضرایب نامعین

از عبارات متقارن، می‌توان در:

• حل دستگاه‌ها
• تجزیه عبارات جبری به‌صورت ضرب عامل‌ها
• اثبات نابرابری‌ها
• حل معادلات مثلثاتی
• گویا کردن مخرج کسرها 

و بسیاری حالت‌های دیگر استفاده کرد.

دستگاه‌های متقارن

به دستگاه زیر توجه کنید:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13\\ x^3+y^3=19\end{array}\right.$

در ادامه ثابت می‌شود که این دستگاه دارای شش جواب حقیقی یا موهومی است.

بنابراین باید انتظار داشته باشیم با حذف یکی از مجهول‌ها بین دو معادله دستگاه، به معادلاتی برسیم که نسبت به مجهول دیگر، از درجه ششم باشد.

از معادله اول به‌دست می‌آید:

$y^2=13-x^2\Rightarrow y^6={\left(13-x^2\right)}^3$

از معادله دوم دستگاه داریم:

$y^3=19-x^3\Rightarrow y^6={\left(19-x^3\right)}^2$

بنابراین باید داشته باشیم:

${\left(13-x^2\right)}^3={\left(19-x^3\right)}^2\Rightarrow 2x^6-39x^4-38x^3+507x^2-1836=0$

روشن است که حل چنین معادله‌ای از ما ساخته نیست. 

ولی دستگاه$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13\\ x^3+y^3=19\end{array}\right.$ نسبت به مجهولات خود یعنی $x$ و $y$ متقارن است.

آن را بر حسب ساده‌ترین عبارات  متقارن (نسبت به $x$ و $y$) یعنی بر حسب $\left\{\begin{array}{l}S=x+y\\ P=xy\end{array}\right.$ می‌نویسیم:

$\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy=S^2-2P\end{array}$

$x^3+y^3={\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)=S^3-3PS$

بنابراین دستگاه $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13\\ x^3+y^3=19\end{array}\right.$ هم‌ارز است با دستگاه زیر است:

$\left\{\begin{array}{l}{S}^2-2P=13\\ S^3-3PS=19\end{array}\right.$

اگر مقدار $P$ را در هر دو معادله دستگاه، بر حسب $S$ پیدا کنیم، داریم:

$\left\{\begin{array}{l}P=\frac{1}{2}\left(S^2-13\right)\\ P=\frac{S^3-19}{3S}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{S^2-13}{2}=\frac{S^3-19}{3S}$

$\Rightarrow S^3-39S+38=0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left(S-1\right)\left(S^2+S-38\right)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}S-1=0\Rightarrow S_1=1\Rightarrow P_1=-6\end{array}$

$\begin{array}{l}{S}^2+S-38=0\end{array}$

$\begin{array}{l}{S}_2=\frac{1}{2}\left(-1+3\sqrt{17}\right)\Rightarrow P_2=\frac{1}{4}\left(51-3\sqrt{17}\right)\end{array}$

$S_3=-\frac{1}{2}\left(1+3\sqrt{17}\right)\Rightarrow P_3=\frac{1}{4}\left(51+3\sqrt{17}\right)$

در هر حالت با تشکیل یک معادله درجه دوم، می‌توان جواب‌های $x$ و $y$ را به‌دست آورد.

تجزیه عبارات متقارن

می‌خواهیم عبارت زیر را به‌صورت ضرب عامل‌ها تجزیه کنیم:

$f\left(x,y\right)=2x^5+3x^{4}y+4x^3{y}^2+4x^2{y}^3+3x{y}^4+2y^5$

$f\left(x,y\right)$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$f\left(x,y\right)=2\left(x^5+y^5\right)+3xy\left(x^3+y^3\right)+4x^2{y}^2\left(x+y\right)$

$if\left\{\begin{array}{l}x+y={\sigma }_1\\ xy={\sigma }_2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+y^3={{\sigma }_1}^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2\\ x^5+y^5={{\sigma }_1}^5-3{{\sigma }_1}^3{\sigma }_2+5{\sigma }_1{{\sigma }_2}^2\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}f\left(x,y\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=2\left({{\sigma }_1}^5-3{{\sigma }_1}^3{\sigma }_2+5{\sigma }_1{{\sigma }_2}^2\right)+3{\sigma }_2\left({{\sigma }_1}^3-3{\sigma }_1{\sigma }_2\right)+4{\sigma }_1{{\sigma }_2}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}=2{{\sigma }_1}^5-7{{\sigma }_1}^3{\sigma }_2+5{\sigma }_1{{\sigma }_2}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}={\sigma }_1\left(2{{\sigma }_1}^4-7{{\sigma }_1}^2{\sigma }_2+5{{\sigma }_2}^2\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}={\sigma }_1\left({{\sigma }_1}^2-{\sigma }_2\right)\left(2{{\sigma }_1}^2-5{\sigma }_2\right)\end{array}$

$=\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(2x^2-xy+2y^2\right)$

حل معادلات مثلثاتی

در آغاز یادآوری می‌کنیم، اگر یکی از مقادیر $\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x\\ \sin x\cdot \cos x\end{array}\right.$ در دست باشد، می‌توان مقدار ${\sin }^{k}x+{\cos }^{k}x$ را برای هر مقدار $k$ پیدا کرد:

$\begin{array}{l}if\sin x+\cos x=a\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(\sin x+\cos x\right)}^2=a^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x=a^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 1+2\sin x\cdot \cos x=a^2\end{array}$

$\Rightarrow \sin x\cdot \cos x=\frac{a^2-1}{2}$

برابری اخیر را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$\sin x\cdot \cos x=\frac{a^2-1}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\sin 2x=\frac{a^2-1}{2}$

$\Rightarrow \sin 2x=a^2-1$

به تغییرات $\sin 2x$ توجه کنید:

$-1\le sn2x\le 1$

$\Rightarrow -1\le a^2-1\le 1$

$\Rightarrow 0\le a^2\le 2$

$\Rightarrow -\sqrt{2}\le a\le 2$

$\Rightarrow \left|a\right|\le \sqrt{2}$

یعنی وقتی فرض می‌کنیم $\sin x+\cos x=a$ باید به شرط $\left|a\right|\le \sqrt{2}$توجه داشته باشیم.

حالت برابری تنها وقتی پیش می‌آید که $\sin x=\cos x$ یا $x=k\pi +\frac{\pi }{4}$.

اکنون با توجه به این‌که $\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos x=a\\ \sin x\cdot \cos x=\frac{a^2-1}{2}\end{array}\right.$ و $\left|a\right|\le \sqrt{2}$:

مجموع توان‌های متشابه $\sin x$ و $\cos x$ را محاسبه می‌کنیم:

$ifk=0\Rightarrow {\sin }^{0}x+{\cos }^{0}x=1+1=2$

$ifk=1\Rightarrow {\sin }^{1}x+{\cos }^{1}x=a;\left|a\right|\le \sqrt{2}$

$ifk=2\Rightarrow {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\begin{array}{l}ifk=3\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x={\left(\sin x+\cos x\right)}^3-3\sin x\cdot \cos x\left(\sin x+\cos x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=a^3-\frac{3}{2}\left(a^2-1\right)\cdot a\end{array}$

$\Rightarrow {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=\frac{1}{2}\left(-a^3+3a\right)$

$\begin{array}{l}ifk=4\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\left(a^2-1\right)}^2\end{array}$

$\Rightarrow {\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{1}{2}\left(-a^4+2a^2+1\right)$

$\begin{array}{l}ifk=5\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{5}x+{\cos }^{5}x=\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)\left({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\right)-{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x\left(\sin x+\cos x\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\sin }^{5}x+{\cos }^{5}x=\frac{1}{2}\left(-a^3+3a\right)-\frac{1}{4}{\left(a^2-1\right)}^2\cdot a\end{array}$

$\Rightarrow {\sin }^{5}x+{\cos }^{5}x=\frac{1}{4}\left(-a^5+5a\right)$

$ifk=-1\Rightarrow {\sin }^{-1}x+{\cos }^{-1}x=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cdot \cos x}=\frac{2a}{a^2-1}$

$ifk=-2\Rightarrow {\sin }^{-2}x+{\cos }^{-2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\left(\sin x\cdot \cos x\right)}^2}=\frac{4}{{\left(a^2-1\right)}^2}$

$ifk=-3\Rightarrow {\sin }^{-3}x+{\cos }^{-3}x=\frac{1}{{\sin }^{3}x}+\frac{1}{{\cos }^{3}x}=\frac{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}{{\sin }^{3}x\cdot {\cos }^{3}x}=\frac{4a\left(3-a^2\right)}{{\left(a^2-1\right)}^3}$