اتحادهای پیشرفته

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
بازدید: 96 مرتبه

قضیه

if   nN         ;            aban1+an2.b+an3b2++bn1=anbnif   nN        ;             a+ban1an2b+an3b2+bn1=an+bn     ;      n=2k+1

تذکر

1- anbn همواره بر ab بخش‌پذیر است. ( n زوج باشد یا فرد)

2- اگر n عددی زوج باشد anbn بر a+b بخش‌پذیر است.

3- اگر n عددی فرد باشد an+bn بر a+b بخش‌پذیر است.

4- an+bn بر a-b بخش‌پذیر نیست.

نکته

در قضیه فوق اگر فرض كنیم a=xnb=yn به اتحادهای زیر می‌رسیم كه در گویا كردن مخرج كسرها اهمیت دارند.

if   n=2k,x0,y0xy=xnynxn1n+xn1.yn++yn1nif   n=2k+1x+y=xn+ynxn1nxn1yn+yn1n

نمونه‌هایی از کاربرد فرمول‌های فوق را در اتحادهای زیر مشاهده می‌کنید:

xy=xyx+yxy=x3y3x23+xy3+y23x+y=x3+y3x23xy3+y23

تمرین

حاصل عبارات زير را به كمک اتحادهای بيان شده به‌دست آوريد.

(2a1)(16a4+8a3+4a2+2a+1)

=(2a1)(2a)4+(2a)3(1)+(2a)2(1)2+(2a)1(1)3+(2a)0(1)4=2a5-15=32a51

(a23b2)(a6+3a4b2+9a2b4+27b6)

=(a23b2)(a2)3+(a2)2(3b2)+(a2)1(3b2)2+(a2)0(3b2)3=a24-3b24=a881b8

(2a+3b)(16a424a3b+36a2b254ab3+81b4)

=(2a+3b)(2a)4(2a)3(3b)+(2a)2(3b)2(2a)1(3b)3+(2a)0(3b)4=2a5+3b5=32a5+243b5

(a2b2)(a10+a8b2+a6b4+a4b6+a2b8+b10)

=(a2b2)(a2)5+(a2)4(b2)1+(a2)3(b2)2+(a2)2(b2)3+(a2)1(b2)4+(b2)5=a26b26=a12b12

قضیه

an1=a1an1++a3+a2+a+1

اثبات

با شرط اینکه a یک عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی باشد و فرض کنیم تساوی زیر مفروض است:

S=1+a+a2+a3++an1

عبارت aS-S را حساب می‌کنیم: 

aSS=a1+a+a2+a3++an11+a+a2++an1aSS=a+a2+a3+a4+⋯ +an1+a+a2++an1aSS=an1an1=a1S      ;    S=1+a+a2+a3++an1an1=a1an1++a3+a2+a+1

تمرین

با استفاده از قضیه فوق، درستی تساوی های زیر را نشان می‌دهیم:

an+1=a+1an1an2++a2a+1 ; n=2k+1 , aR

در قضیه فوق، a را به -a تبدیل می‌کنیم:

an1=a1an1+an2++a2+a+1      ;      n=2k+1   an1=a1an1an2++a2a+1an+1=a+1an1an2++a2a+1an+1=a+1an1an2++a2a+1

xnyn=xyxn1+xn2y1++x2yn3+xyn2+yn1

an1=a1an1+an2+...+a2+a+1an1n=a1an1+an211+...+a21n3+a1n2+1n1


در تساوی فوق به جای a متغیر x و به جای عدد 1 متغیر  y را قرار می‌دهیم:

xnyn=xyxn1+xn2y1++x2yn3+xyn2+yn1

توجه کنید که مجموع توان ‌های هر جمله n-1 می‌باشد. 

قضیه

1xn=x+11x++xn2xn1

اثبات

با شرط اینکه n یک عدد طبیعی زوج باشد و فرض کنیم تساوی زیر مفروض است:

S=1x++xn2xn1

عبارت xS+S را حساب می‌کنیم: 

xS+S=x1x++xn2xn1+1x++xn2xn1xS+S=xx2++xn1xn+1x++xn2xn1xS+S=1xnx+1S=1xnx+11x++xn2xn1=1xn

برای ارسال نظر وارد سایت شوید