اتحادهای پیشرفته

آخرین ویرایش: 18 تیر 1403
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

قضیه

if n∈N ; a−ban−1+an−2.b+an−3b2+⋯+bn−1=an−bn

if n∈N ; a+ban−1−an−2b+an−3b2−⋯+bn−1=an+bn ; n=2k+1

تذکر

1- an−bn همواره بر a−b بخش‌پذیر است. ( n زوج باشد یا فرد)

2- اگر n عددی زوج باشد an−bn بر a+b بخش‌پذیر است.

3- اگر n عددی فرد باشد an+bn بر a+b بخش‌پذیر است.

4- an+bn بر a-b بخش‌پذیر نیست.

برای مشاهده اطلاعات بیشتر به این لینک مراجعه کنید.

نکته

در قضیه فوق اگر فرض كنیم a=xnb=yn به اتحادهای زیر می‌رسیم كه در گویا كردن مخرج كسرها اهمیت دارند.

if   n=2k , x≥0 , y≥0x−y=xn−ynxn−1n+xn−1.yn+⋅⋅⋅⋅+yn−1n

if   n=2k+1x+y=xn+ynxn−1n−xn−1yn+⋅⋅⋅⋅−yn−1n

نمونه‌هایی از کاربرد فرمول‌های فوق را در اتحادهای زیر مشاهده می‌کنید:

x−y=x−yx+y

x−y=x3−y3x23+xy3+y23

x+y=x3+y3x23−xy3+y23

تمرین

حاصل عبارات زير را به كمک اتحادهای بيان شده به‌دست آوريد.

(2a−1)(16a4+8a3+4a2+2a+1)

=(2a−1)(2a)4+(2a)3(1)+(2a)2(1)2+(2a)1(1)3+(2a)0(1)4

=2a5-15=32a5−1

(a2−3b2)(a6+3a4b2+9a2b4+27b6)

=(a2−3b2)(a2)3+(a2)2(3b2)+(a2)1(3b2)2+(a2)0(3b2)3

=a24-3b24=a8−81b8

(2a+3b)(16a4−24a3b+36a2b2−54ab3+81b4)

=(2a+3b)(2a)4−(2a)3(3b)+(2a)2(3b)2−(2a)1(3b)3+(2a)0(3b)4

=2a5+3b5=32a5+243b5

(a2−b2)(a10+a8b2+a6b4+a4b6+a2b8+b10)

=(a2−b2)(a2)5+(a2)4(b2)1+(a2)3(b2)2+(a2)2(b2)3+(a2)1(b2)4+(b2)5

=a26−b26=a12−b12

قضیه

an−1=a−1an−1+⋯+a3+a2+a+1

اثبات

با شرط اینکه a یک عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی باشد و فرض کنیم تساوی زیر مفروض است:

S=1+a+a2+a3+⋯+an−1

عبارت aS-S را حساب می‌کنیم: 

aS−S=a1+a+a2+a3+⋯+an−1−1+a+a2+⋯+an−1

⇒aS−S=a+a2+a3+a4+⋯ +an−1+a+a2+⋯+an−1

⇒aS−S=an−1

⇒an−1=a−1S      ;    S=1+a+a2+a3+⋯+an−1

⇒an−1=a−1an−1+⋯+a3+a2+a+1

تمرین

با استفاده از قضیه فوق، درستی تساوی های زیر را نشان دهید.

an+1=a+1an−1−an−2+⋯+a2−a+1 ; n=2k+1 , a∈R

در قضیه فوق، a را به -a تبدیل می‌کنیم:

−an−1=−a−1−an−1+−an−2+⋯+−a2+−a+1      ;      n=2k+1

−an−1=−a−1an−1−an−2+⋯+a2−a+1

−an+1=−a+1an−1−an−2+⋯+a2−a+1

an+1=a+1an−1−an−2+⋯+a2−a+1

xn−yn=x−yxn−1+xn−2y1+⋯ +x2yn−3+x yn−2+yn−1

an−1=a−1an−1+an−2+ ... +a2+a+1

an−1n=a−1an−1+an−211+ ... +a21n−3+a1n−2+1n−1


در تساوی فوق به جای a متغیر x و به جای عدد 1 متغیر  y را قرار می‌دهیم:


xn−yn=x−yxn−1+xn−2y1+⋯ +x2yn−3+xyn−2+yn−1


توجه کنید که مجموع توان ‌های هر جمله n-1 می‌باشد. 

قضیه

1−xn=x+11−x+ ⋯+xn−2−xn−1

اثبات

با شرط اینکه n یک عدد طبیعی زوج باشد و فرض کنیم تساوی زیر مفروض است:

S=1−x+⋯+xn−2−xn−1

عبارت xS+S را حساب می‌کنیم: 

xS+S=x1−x+⋯+xn−2−xn−1+1−x+⋯+xn−2−xn−1

xS+S=x−x2+⋯+xn−1−xn+1−x+ ⋯ +xn−2−xn−1

xS+S=1−xn

x+1S=1−xn

x+11−x+⋯+xn−2−xn−1=1−xn

نکته

اگر x<1 آن‌گاه داریم:

1+xn≈1+nx1+xn=1+x1n≈1+1nx

تمرین

مقدار تقریبی عبارت رادیکالی زیر را بیابید.

9973

9973=1000−33⇒9973=10001−310003⇒9973=101−310003

⇒9973=101+−310003    ;    −31000<1⇒9973≈101+13−31000

⇒9973=101−11000⇒9973=100.999⇒9973=9.99

برای ارسال نظر وارد سایت شوید