اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: اتحادهای جبری
امتیاز:
بازدید: 143 مرتبه

قضیه

a+bn=an+n1!an1.b+n(n1)2!an2.b2+n(n1)(n2)3!an3.b3++bna-bn=ann1!an1.b+n(n1)2!an2.b2n(n1)(n2)3!an3.b3++(1)n.bn                                                                     (k!=1×2×...×k)

تمرین

حاصل عبارات زیر را به کمک اتحاد بسط دو جمله‌ای نیوتن به‌دست می‌آوریم:

2x+y5

=12x5y0+1×51=52x4y1+5×42=102x3y2+10×33=102x2y3                            +10×24=52x1y4+5×15=12x0y5=32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5

دریافت مثال

تعداد جملات و محاسبه ضریب هر جمله در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

نکته

1- همانطور كه ملاحظه می‌شود در جملات بسط، توان a از n شروع و به صفر ختم می‌شود و در هر جمله نسبت به جمله قبل، از درجه a یكی كم و به درجه b اضافه می‌شود.توان b از صفر شروع و به n ختم می‌شود.

2- ضریب هر جمله به این ترتیب به‌دست می‌آید كه ضریب جمله قبل را در توان a از همان جمله ضرب كرده، بر تعداد جملاتی كه تا آن جمله نوشته شده است تقسیم می‌كنیم.

3- بسط دو جمله ای a±bn دارای n+1 جمله است كه بر حسب a و b چند جمله‌ای درجه n متقارن و همگن است.

4- به طور كلی تعداد جملات در بسط زیر:  

(a1+a2+...+ak)n

برابر است با:

n+k1     k1=(n+k1)!(k1)!n!

دریافت مثال

مجموع ضرایب بسط دو جمله‌ای نیوتن

نکته

1- در بسط دو جمله‌ای a±bn جملاتی كه از دو طرف به یک فاصله هستند، دارای ضرایب مساوی می‌باشند.

این نتیجه از تساوی زیر حاصل می‌شود:

nk=   nnk

یعنی ضرایب جملات ank.bk و ak.bn-k با هم برابرند.


2-
در بسط دو جمله‌ای a-bn :

اگر n فرد باشد ضرایب جملات متساوی‌الفاصله از طرفین قرینه‌اند، مانند:

(ab)3=a33a2b+3ab2b3

اگر n زوج باشد، ضرایب جملات متساوی‌الفاصله از طرفین مساوی هستند، مانند:

(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4


3- به‌طور كلی در بسط a±bn اگر ضریب جمله k ام با ضریب جمله r ام مساوی باشد k+r=n+2 است.


4- مجموع ضرایب در بسط دو جمله‌ای a+bn برابر است با (1+1)n=2n كه به‌ازای a=b=1 در بسط فوق محاسبه شده است، بنابراین:

n0+n1++nk++nn=2n



دریافت مثال

نکته

5- مجموع ضرایب در بسط دو جمله‌ای a-bn برابر است با 1-1n=0 كه به ازای a=b=1 در بسط فوق محاسبه شده است، بنابراین:

n0n1+n2+(1)knk++(1)nnn=0

دریافت مثال

جمله عمومی در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

نکته

1- با توجه به مفهوم فاكتوریل و تركیب k شی از n شی یعنی Cnk=nk=n!k!(nk)! ضرایب بسط دو جمله‌ای (a±b)n به‌صورت خلاصه به‌شرح زیر است:

a+bn=n0an+n1an1.b+n2an2.b2++nkank.bk++nnbna-bn=n0ann1an1.b+n2an2.b2+-1knkank.bk++-1nbn


2- جمع توان‌های a و b در هر جمله برابر n است.

3- اگر بسط فوق را به‌صورت زیر نشان دهیم:

(a+b)n=k=0nnkank.bk

جمله nkank.bk را جمله عمومی بسط می‌نامیم كه جمله k+1 ام بسط است، بنابراین:

 جمله k+1 ام:

Tk+1=nkank.bk  ;    k=0,1,2,....

دریافت مثال

نکته

4- هرگاه Tk جمله k ام بسط (a+b)k باشد، آن‌گاه:

Tk+1=Tk.nk+1ka1.b


5- در بسط (a±b)n:

حالت اول) 

اگر n زوج باشد، آن‌گاه بسط دارای جمله وسط است كه جمله (n+1)+12=n2+1 ام است، لذا این جمله برابر است با:

T(n2+1)=nn2an2.bn2

در این جمله ضریب nn2 بزرگ‌ترین ضریب بسط از نظر قدرمطلق است.

حالت دوم) 

اگر n فرد باشد، آن‌گاه بسط (a±b)n جمله وسط ندارد اما دو جمله دارد كه ضرایب آنها از نظر قدرمطلق با هم مساوی است و از همه بزرگ‌تر هستند، این دو جمله عبارتند از:

 جمله n+12 ام:

T(n+12)=    nn12an+12.bn12

جمله n+32 ام:

T(n+32)=    nn+12an12.bn+12

دریافت مثال

 تعیین جمله مستقل از x 

 جمله k+1 ام را جمله عمومی بسط دو جمله‌ای می‌نامیم و برای تعیین جمله مستقل از x از این جمله استفاده می‌کنیم زیرا در محاسبات ساده‌تر از خود جمله k ام است.

در بسط a+bn  جمله k+1 ام یعنی Tk+1 به صورت زیر است:

Tk+1=nkank.bk

از جمله عمومیk+1 ام استفاده‌های زیادی می‌توان كرد:

مثلا هر جمله را می‌توانیم مشخص كنیم یا اگر در بسط جمله مستقل از بعضی متغیرها موجود باشد، می‌توان آن را پیدا كرد.

از جمله عمومی،توان آن متغیر را پیدا كرده، مساوی صفر قرار می‌دهیم و k مشخص می شود .سپس شماره جمله یعنی k+1 به‌دست می‌آید.

دریافت مثال

 جملات گویا در بسط دو جمله‌‌ای نیوتن

از جمله عمومی در بسط a±bn می‌توان استفاده كرد و جمله‌های گویا را پیدا نمود؛ مثلا اگر بخواهیم در بسط (xp+ym)n تعداد جملات گویا را نسبت به x یا  y یا نسبت به هر دو متغیر پیدا كنیم، ابتدا جمله عمومی را می‌نویسیم:

Tk+1=nk(xp)nk.(ym)kTk+1=nkxnkp.ykm

نکته

1- اگر نسبت به x جملات گویا باشند باید n-kp عددی صحیح باشد.

2- اگر نسبت به y جملات گویا باشند باید km عددی صحیح باشد. 0kn

3- اگر نسبت به x و y  هر دو گویا باشند باید nkp,km هر دو با هم گویا باشند یعنی مقادیری از k قابل قبول است كه به‌ازای آنها هر دوی کسرهای فوق گویا باشند.

تذکر

در بعضی حالات خاص می‌توان تعداد جملات گویای بسط (xp+ym)n را از رابطه nc+1 به‌دست آورد،كه c كوچک‌ترین مضرب مشترک بین m و p است.

این فرمول در حالت كلی درست نیست.

بنا به قضیه تقسیم برای مقدار جملات گویا نسبت به هر یک از حروف صحیح است. تعداد جملات گویا نسبت به y برابر است با np+1 (نماد جزء‌صحیح)

دریافت مثال

جدول خیام (پاسكال)  

a+b0=1a+b1=a+ba+b2=a2+2ab+b2a+b3=a3++3a2b+3ab2+b3a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5                                                                                                              

اگر ضرایب این چند جمله‌ای‌ها را به‌ترتیب زیر بنویسید، شكلی شبیه مثلث ساخت می‌شود كه هر عدد این جدول غیر از یک‌ها در راس و امتداد ساق‌ها قرار می‌گیرند و ثابت هستند، بقیه اعداد در واقع برابر مجموع دو عددی هستند كه در سطر بالایی در سمت چپ و راست آن عدد قرار می‌گیرند.

در مثلث خیام (پاسکال) زیر داریم:


جدول خیام  -  پاسكال - پیمان گردلو

مثال‌ها و جواب‌ها

اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید