حل معادلات جز صحیح در حالات خاص

آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)
امتیاز:

حل معادله جزءصحیحax+bx+c=0    ;    a,b,c

در حل معادلات فوق، باید شرایط زیر برقرار باشد:

x=n+p         ;   0p<1ax=an+ap    ;    0ap<a0ap<a1

بنابراین ap از 0 تا a-1 متغیر است و در این مجموعه تنها جواب‌هایی قابل قبول هستند که دارای شرایط زیر باشند:

ax+bx+c=0an+p+bn+p+c=0an+ap+bn+p+c=0an+ap+bn+p+c=0an+ap+bn+bp+c=0    ;    bp=0an+bn+ap+c=0an+bn=ap+cna+b=c+apn=c+apa+b    ;    a+b0

با توجه به این‌که n می‌باشد، بنابراین a+bc+ap:

  • اگر مخرج مساوی صفر باشد و صورت مخالف صفر، معادله غیر ممکن است و جواب ندارد.
  • اگر مخرج مساوی صفر باشد و صورت هم مساوی صفر باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.

دریافت مثال

حل معادله جزءصحیحx+ax+bx+cx=k    ;    a,b,c,k

x=n+p    ;    0p<1ax=an+ap  ,  0ap<a    ;    ap=0    1    .....    a1  bx=bn+bp  ,  0bp<b    ;    bp=0    1    .....    b1cx=cn+cp  ,  0cp<c     ;    cp=0    1    .....    c1  

x+ax+bx+cx=kn+p+an+ap+bn+bp+cn+cp=kn+p+an+ap+bn+bp+cn+cp=kn+an+bn+cn+p+ap+bp+cp=k

n1+a+b+c+p+ap+bp+cp=kn1+a+b+c=kp+ap+bp+cpn=kp+ap+bp+cp1+a+b+c    ;    p=0n=kap+bp+cp1+a+b+c

minap+bp+cp=0maxap+bp+cp=a1+b1+c1=a+b+c3

اعدادی که در فاصله 0,a+b+c3 از k کم شوند و مضرب صحیحی از a+b+c+1 باشند، جواب مسأله است، به‌عبارت دیگر:

a+b+c+1kap+bp+cp0,a+b+c3

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

x+2x+4x=15

a=2  ,  b=4  ,  k=15n=kap+bpa+b+1n=152p+4p2+4+1


به کسر فوق توجه کنید:

if   2p+4p=10,4n=1517n=2


کوچک‌ترین عدد صحیحی در فاصله 0,a+b2=0,4 که از 15 کم شود و مضرب صحیحی از 7 باشد، عدد 1 که جواب مساله است:

2p+4p=1


حالت اول:

2p=002p<10p<124p=114p<214p<12p0,1214,12=14,1214p<12n+14n+p<n+122+14x<2+1294x<52


حالت دوم:

2p=112p<212p<14p=004p<10p<14p12,10,14=D=94,52

دریافت مثال

حل معادله جزءصحیحax+bx+cx+dx=k    ;    a,b,c,d,k

x=n+p    ;    0p<1ax=an+ap  ,  0ap<a    ;    ap=0    1    .....    a1  bx=bn+bp  ,  0bp<b    ;    bp=0    1    .....    b1cx=cn+cp  ,  0cp<c     ;    cp=0    1    .....    c1  dx=dn+dp  ,  0dp<d     ;    dp=0    1    .....    d1

ax+bx+cx+dx=kan+p+bn+p+cn+p+dn+p=kan+ap+bn+bp+cn+cp+dn+dp=kan+ap+bn+bp+cn+cp+dn+dp=k

an+bn+cn+dn+ap+bp+cp+dp=kna+b+c+d+ap+bp+cp+dp=kna+b+c+d=kap+bp+cp+dpn=kap+bp+cp+dpa+b+c+d

minap+bp+cp+dp=0+0+0+0=0maxap+bp+cp+dp=a1+b1+c1+d1=a+b+c+d4

اعدادی که در فاصله 0,a+b+c+d4 از k کم شوند و مضرب صحیحی از a+b+c+d باشند، جواب مساله است. به‌عبارت دیگر:

a+b+c+dkap+bp+cp+dp0,a+b+c+d4

دریافت مثال

حل معادله جزءصحیحax+bc=dx+ef    ;    xR

y=ax+bc=acx+bcy=dx+ef=dfx+efy=mx+ny=m'x+n'

با استفاده از تساوی دو تابع، نمودارهای دو تابع را رسم نموده و پیرامون ریشه‌ها بحث می‌کنیم:

  • اگرm=m'nn' باشد، معادله جواب ندارد.
  • اگرm=m'n=n' باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.
  • اگرmm' باشد، معادله جواب دارد یا احتمالا بیش‌تر از یک جواب دارد.

به حالات زیر توجه کنید:

حالت اول- اگرmm' باشد، دو خط y=mx+ny=m'x+n' هم‌دیگر را در نقطه ای به طول x0 و عرض y0 قطع می‌کنند. اگر  y0 باشد، جواب قابل قبول است. 

حالت دوم- اگرm<m' باشد و y0=n تصویرهای قائم y=mx+n در نقاط تلاقی با خطوط افقی به خطوط ما قبلش به شرطی که y=m'x+n' را قطع کند، محدوده دیگر جواب است، بنابراین در شعاع همسایگی x0 در طرف چپ، امکان جواب دیگری وجود دارد به شرطی که در معادله صدق کند و در همسایگی راست جوابی وجود ندارد زیرا y=m'x+n' جزء‌صحیح ها را قطع نمی‌کند.

حالت سوم- اگرm>m' باشد،در همسایگی راست x0 امکان جواب دیگری وجود دارد.

حالت چهارم- اگرm=m' باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد که جواب کلی به‌صورت زیر است. n=n'

m'x+n'=nm'x=nn'x=nm'n'm'

یادآوری

در حالت کلی:

دو خط y=mx+ny=m'x+n' را با هم قطع می‌دهیم، پس از محاسبه y، اگر y باشد جواب معادله است.

در این حالت m و m' را با هم مقایسه می‌کنیم و پیرامون ریشه های دیگر بحث می‌کنیم. 

حالت اول:

if   m<m'y=m'x+n'y=n1

در این حالت نقطه تقاطع دو خط فوق را به‌دست می‌آوریم. اگر به ازای x به‌دست آمده تساوی زیر برقرار بود، جواب دوم هم به‌دست می‌آید.

mx+n=m'x+n'

حالت دوم:

if   m'<my=m'x+n'y=n+1

در این حالت نقطه تقاطع دو خط فوق را به‌دست می‌آوریم. اگر به ازای x به‌دست آمده تساوی زیر برقرار بود، جواب دوم هم به‌دست می‌آید.

mx+n=m'x+n'

دریافت مثال

تذکر

گاهی به روش‌های ساده‌تر هم می‌توان جواب معادلات فوق را به‌دست آورد.

تمرین

جواب معادلات زیر را به‌دست آورید.

x+2x+1=x12

x+1+1x+1=x121+1x+1=x121+1x+1=x121x+1=x1211x+1=x32   ;   x32=kx=2k+312k+4=k


فقط به ازای k=0 تساوی فوق برقرار است:

x=2k+3k=0x=3

2x+32=x12

x12=kx=2k+1

2x+32=x1222k+1+32=k2k+1+32=k2k+1+32=k2k+1+1=kk=2    ;    x=2k+1x=22+1x=3

حل معادله جزءصحیحax+bcx+d=m'x+n'

ابتدا به حل تمرین زیر توجه کنید، سپس به حل و بحث صورت کلی می‌پردازیم:

تمرین

می‌خواهیم معادله x7x4=x+1 را حل کنیم. دو تابع y1=x7x4 و y2=x+1 در نظر می‌گیریم:

طول نقاط تقاطع دو تابع را به‌دست آورید.

برای این کار بدون در نظر گرفتن جزء‌صحیح، دو تابع را با هم‌دیگر قطع می‌هیم.

x7x4=x+1x7=x4x+1x7=x23x4x24x+3=0x=1,3             

طول کدام‌یک از نقاط تقاطع قابل قبول هستند؟

از بین طول‌های نقاط تقاطع، x هایی به‌عنوان جواب قابل قبول هستند که به‌ازای آنها y1=y2.

if  x=1y1=x7x4   =1714=63=2y2=x+1=2  y1=y2=2if  x=3y1=x7x4=3734=41=4y2=x+1=4  y1=y2=4


بنابراین x=1 و x=3 ریشه‌های معادله هستند.

ریشه‌های دیگر معادله را به‌دست آورید.

حالت اول:

اگر مشتق تابع داخل جزء‌صحیح بزرگ‌تر از m' ضریب زاویه خط y2=x+1 باشد، احتمال جواب در همسایگی راست وجود دارد، در این صورت خط y=x+1 را با خط y=n+1 قطع می‌دهیم و به ازای x های به‌دست آمده باید y1=y2 باشد.

y=x7x4f'x=3x42x=3f'3=3342=3m=3y=x+1m'=1  m>m'if   x=3y=4


خط y=x+1 را با خط y=4+1=5 قطع می‌دهیم:

y=x+1y=5  5=x+1x=4


چون y1 به ازای x=4 با y2 مساوی نیست، پس x=4 قابل قبول نیست. 


حالت دوم:

اگر مشتق تابع داخل جزء‌صحیح کوچک‌تر از m' باشد، احتمال جواب در همسایگی چپ وجود دارد، در این صورت خط y=x+1 را با خط y=n-1 قطع می‌دهیم و به‌ازای x های به‌دست آمده باید y1=y2 باشد.


اگر ریشه دیگری وجود داشته باشد، آن را با خط y=n-2 قطع می‌دهیم:

y=x7x4f'x=3x42x=1f'1=3142=13m=13y=x+1m'=1  m<m'if   x=1y=2


خط y=x+1 را با خط y=2-1=1 قطع می‌دهیم:

y=x+1y=1  1=x+1x=0

چون y1 به ازای x=0 با y2 مساوی است، پس x=0 قابل قبول است.


بنابراین ریشه‌های معادله D=0,1,3 است.


دریافت مثال

تذکر

گاهی به روش‌های ساده‌تر هم می‌توان جواب معادلات فوق را به‌دست آورد.

تمرین

جواب معادلات زیر را به‌دست آورید.

4x+12=x+2

x+2=k    ;   kzx=k2


4x+12=x+24k2+12=k4k8+12=k2k4+12=k2k4+12=k2k4+0=kk=4    ;    x=k2x=2

x2+12=x2

x2=k    ;   kz   x=2k


x2+14=x2  4k2+14=kk2+14=kk2+14=kk2=kk2k=0k=0x=0k=1x=2    ;    x=2k

حل معادله جزءصحیحx+y=k    ;    k

معادله فوق، یک معادله و دو مجهول می‌باشد و ایجاب می‌کند که بی‌شمار جواب داشته باشد.

حالت اول: 

if    k=0x+y=0x=y

توجه کنید که x را هر عدد صحیحی انتخاب کنیم y قرینه آن است و چون اعداد صحیح نامتناهی است، معادله بی‌شمار جواب دارد.

به‌عنوان نمونه بعضی از جواب ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

if   x=1   ;   1x<2y=1   ;   1y<0if   x=2   ;   2x<3y=2   ;   2y<1

حالت دوم:

if  k0x+y=kx=ky

در این حالت باز هم معادله بی‌شمار جواب دارد، بعضی از جواب‌ها را به صورت زیر معرفی می‌کنیم:

if   y=2   ;   2y<1x=k+2   ;   k+2x<k+2+1if   y=0   ;   0y<1x=k   ;   kx<k+1

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

x+y=23

x+y=23x=23y


معادله، بی‌شمار جواب دارد. بعضی از جواب‌ها را معرفی می‌کنیم:

if      y=2   ;    2y<1x=25   ;   25x<26

حل معادله جزءصحیحax+by=k    ;    a,b,k

معادله فوق، یک معادله و دو مجهول می‌باشد و ایجاب می‌کند که بی‌شمار جواب داشته باشد.

حالت اول: 

if    k=0ax+by=0ax=by

به عنوان نمونه یکی از جواب‌ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

if   by=2ax=2by=22by<12by<1b    ;    b>01b<y2b    ;    b<0ax=22ax<32ax<3a    ;    a>03a<x2a    ;    a<0

حالت دوم:

if    k0ax+by=kax=kby

با انتخاب‌های دل‌خواه برای by جواب‌های مختلفی برای ax به‌دست می‌آید، یعنی معادله در این شرایط بی‌شمار جواب دارد.

به‌عنوان نمونه یکی از جواب‌ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

if   by=2ax=k2by=22by<32by<3b    ;    b>03b<y2b    ;    b<0ax=k2k2ax<k1k2ax<k1a    ;    a>0k1a<xk2a    ;    a<0

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

x+2x=9

x=n+p  ,  0p<1p=02x=2n+2p  ,  02p<22p=0    1


x+2x=9x+2x=9n+p+2n+2p=9n+p+2n+2p=93n+p+2p=9    ;    p=03n+2p=9

حالت اول:

if   2p=03n=9n=3if   2p=002p<10p<12n+0n+p<n+123x<3+123x<72


حالت دوم:

if   2p=13n+1=93n=8n=83D=3,72

حل معادله جزءصحیحax+by=k    ;    a,b,k

حالت اول:

k=0    ;    a,b0ax+by=kax+by=0ax=byx=bay

در معادله فوق: 

اگر ab (a بشمارد b را) در این‌صورت ba و معادله بی‌شمار جواب دارد. 

با انتخاب‌های دل‌خواه برای y می‌توان جواب‌های مختلفی برای x به‌دست آورد.

حالت دوم:

k=0     ;    a=0  b=0ax+by=kif   a=0by=0y=00y<1if   b=0ax=0x=00x<1

حالت سوم:

k=a=b=0ax+by=k0x+0y=00=0

معادله بی‌شمار جواب دارد.

حالت چهارم:

k0    ;    a=b=0ax+by=k0x+0y=k0=k

معادله غیر ممکن است و جواب ندارد.

حالت پنجم:

k0    ;    a=0  b=0ax+by=kif   a=0by=ky=kbkbkby<kb+1if   b=0ax=kx=kakakax<ka+1

حالت ششم:

k0,a0,b0ax+by=kax=kbyx=kabay

با شرط ka,ba معادله بی‌شمار جواب دارد.  

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

3x+4y=24

3x+4y=243x=244yx=24343y    ;    43x=244y3244y=3k     4y=243ky=243k4

if   y=243k4    ;    k243k=0k=8y=00y<13x=24x=88x<9243k=4k=203243k=8k=163243k=12k=4y=124=33y<43x+43=243x=12x=44x<5243k=16k=83


به‌همین ترتیب مشخص می‌گردد معادله دارای جواب‌های مختلفی است.

حل معادله جزءصحیحxy=k    ;    k

حالت اول: 

k=0    ;    xy=kxy=0x=00x<1y=00y<1if   x=00×y=0

 می‌تواند هر عدد دل‌خواهی باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.

if   y=0x×0=0

حالت دوم:

k0     x,y0      ;      xy=kx=ky

با شرط y    k یا ky معادله جواب دارد.

دریافت مثال

حل معادله جزءصحیحaxy=k

حالت اول:

k0  ,  a=0       ;       axy=k0×xy=k0=k

غیر ممکن است و معادله جواب ندارد.

حالت دوم:

k=0   ,  a=0     ;      axy=k0×xy=0

مبهم است و معادله بی‌شمارجواب دارد.

حالت سوم:

k0   ,   a0     ;      axy=kxy=ka

با شرط ka معادله دارای جواب است.  

دریافت مثال

حل معادله جزءصحیحx+y+xy=k    ;    k

حالت اول:

k=0x+y+xy=kx+y+xy=0x+xy=yx1+y=yx=y1+yx=y1+11+yx=1+y+11+yx=1+11+y

برای این‌که معادله جواب داشته باشد، باید 1+y1 یا 11+y باشد، بنابراین حتما 1+y=±1 می‌باشد. 

if   1+y=1y=00y<1x=1+11+0x=1+1x=00x<1if   1+y=1y=22y<1x=1+11+2x=1+1x=22x<1

حالت دوم:

k0   ,  x0     y0x+y+xy=kx+xy=kyx1+y=kyx=ky1+yx=ky1+11+yx=y+1+k+11+yx=1+k+11+y

برای این‌که معادله جواب داشته باشد، باید 1+y1+k یا 1+k1+y باشد.

دریافت مثال

نکته

در معادله x+y+xy=k:

x=1+k+11+y

شرط وجود جواب معادله آن است که k+11+y

نکته

در معادله ax+by+axby=k:

ax=1+k+11+by

شرط وجود جواب معادله آن است که k+11+by.

نتایج دیگری از معادله فوق به‌صورت زیر است:

ax+by+axby=k    ;    kax+by+axby=k    ;    kax+by+axby=k    ;    kax+by+axby=k    ;    kw

حل معادله جزءصحیحax+by+abxy=k

ax+by+abxy=kax+abxy=kbyax1+by=kbyx=kbya1+by

با شرط a1+bykby معادله جواب دارد.

if   a=b=0    ;    k0

غیر ممکن است و معادله جواب ندارد.

if  a=b=0    ;    k=0

مبهم است و معادله بی‌شمار جواب دارد.

a0     b0    ;    k0

با شرط معادله، می‌توان محدوده x را تعیین کرد.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

3x+4y+12xy=34

یادآوری می‌کنیم که:

if   ax+by+abxy=kx=kbya1+by


x=kbya1+byx=344y31+4y


با انتخاب k مناسب، مقادیری برای x و y به‌دست می‌آید.

if  k    :  k×31+4y=344y3k+12ky=344y12ky+4y=343ky12k+4=343ky=343k12k+4


if  k=2y=343212×2+4y=11y<2x=344131+41x=22x<3                                                                                                         

حل معادله جزءصحیحax+by+cxy=k

ax+by+cxy=kax+cxy=kbyxa+cy=kbyx=kbya+cy

با شرط a+cykby معادله جواب دارد.

مثال‌ها و جواب‌ها

حل معادلات جزءصحیح در حالات خاص

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید