سرفصل‌های این مبحث

جز صحیح (براکت)

حل معادلات جز صحیح در حالات خاص

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حالت خاص اول

$[a x] + b [x] + c = 0; a, b, c \in ℤ$

در حل معادلات فوق، باید شرایط زیر برقرار باشد:

$x = n + p; 0 \leq p < 1$

$a x = a n + a p; 0 \leq a p < a \Rightarrow 0 \leq [a p] < a - 1$

بنابراین $[a p]$ از $0$ تا $(a - 1)$ متغیر است و در این مجموعه تنها جواب‌هایی قابل قبول هستند که دارای شرایط زیر باشند:

$\begin{array}{l} [a x] + b [x] + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [a (n + p)] + b [(n + p)] + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [a n + a p] + b [n + p] + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a n + [a p] + b (n + [p]) + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a n + [a p] + b n + b [p] + c = 0; b [p] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a n + b n + [a p] + c = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a n + b n = - ([a p] + c) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (a + b) = - (c + [a p]) \end{array}$

$\Rightarrow n = \frac{- (c + [a p])}{a + b}; a + b \neq 0$

با توجه به این‌که $n \in ℤ$ می‌باشد، بنابراین $(a + b) |(c + [a p])$ :

اگر مخرج مساوی صفر باشد و صورت مخالف صفر، معادله غیر ممکن است و جواب ندارد.
اگر مخرج مساوی صفر باشد و صورت هم مساوی صفر باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت خاص دوم

$[x] + [a x] + [b x] + [c x] = k; a, b, c, k \in ℤ$

$\begin{array}{l} x = n + p; 0 \leq p < 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a x = a n + a p, 0 \leq a p < a; [a p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (a - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} b x = b n + b p, 0 \leq b p < b; [b p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (b - 1) \end{array}$

$c x = c n + c p, 0 \leq c p < c; [c p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (c - 1)$

$\begin{array}{l} [x] + [a x] + [b x] + [c x] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [n + p] + [a n + a p] + [b n + b p] + [c n + c p] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (n + [p]) + (a n + [a p]) + (b n + [b p]) + (c n + [c p]) = k \end{array}$

$\Rightarrow (n + a n + b n + c n) + ([p] + [a p] + [b p] + [c p]) = k$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (1 + a + b + c) + ([p] + [a p] + [b p] + [c p]) = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (1 + a + b + c) = k - ([p] + [a p] + [b p] + [c p]) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n = \frac{k - ([p] + [a p] + [b p] + [c p])}{(1 + a + b + c)}; [p] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow n = \frac{k - ([a p] + [b p] + [c p])}{(1 + a + b + c)}$

$\begin{array}{l} \min ([a p] + [b p] + [c p]) = 0 \end{array}$

$\max ([a p] + [b p] + [c p]) = (a - 1) + (b - 1) + (c - 1) = (a + b + c - 3)$

اعدادی که در فاصله $[0, a + b + c - 3]$ از $k$ کم شوند و مضرب صحیحی از $(a + b + c + 1)$ باشند، جواب مسأله است، به‌عبارت دیگر:

$a + b + c + 1 |k - ([a p] + [b p] + [c p] \in [0, a + b + c - 3])$

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$[x] + [2 x] + [4 x] = 15$

$\begin{array}{l} a = 2, b = 4, k = 15 \end{array}$

$\begin{array}{l} n = \frac{k - ([a p] + [b p])}{a + b + 1} \Rightarrow n = \frac{15 - ([2 p] + [4 p])}{2 + 4 + 1} \end{array}$

به کسر فوق توجه کنید:

$i f ([2 p] + [4 p]) = 1 \in [0, 4] \Rightarrow n = \frac{15 - 1}{7} \Rightarrow n = 2$

کوچک‌ترین عدد صحیحی در فاصله $[0, a + b - 2] = [0, 4]$ که از $15$ کم شود و مضرب صحیحی از $7$ باشد، عدد $1$ که جواب مساله است:

$[2 p] + [4 p] = 1$

حالت اول:

$\begin{array}{l} [2 p] = 0 \Rightarrow 0 \leq 2 p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} [4 p] = 1 \Rightarrow 1 \leq 4 p < 2 \Rightarrow \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} \end{array}$

$\begin{matrix} p \in [0, \frac{1}{2}) \cap [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) = [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{4} \leq p < \frac{1}{2} \Rightarrow n + \frac{1}{4} \leq n + p < n + \frac{1}{2} \Rightarrow 2 + \frac{1}{4} \leq x < 2 + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{9}{4} \leq x < \frac{5}{2} \end{array}$

حالت دوم:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} [2 p] = 1 \Rightarrow 1 \leq 2 p < 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq p < 1 \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} [4 p] = 0 \Rightarrow 0 \leq 4 p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} p \in [\frac{1}{2}, 1) \cap [0, \frac{1}{4}) = \emptyset \\ D = [\frac{9}{4}, \frac{5}{2}) \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت خاص سوم

$[a x] + [b x] + [c x] + [d x] = k; a, b, c, d, k \in ℤ$

$\begin{array}{l} x = n + p; 0 \leq p < 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} a x = a n + a p, 0 \leq a p < a; [a p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (a - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} b x = b n + b p, 0 \leq b p < b; [b p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (b - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} c x = c n + c p, 0 \leq c p < c; [c p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (c - 1) \end{array}$

$d x = d n + d p, 0 \leq d p < d; [d p] = 0 \lor 1 \lor ..... \lor (d - 1)$

$\begin{array}{l} [a x] + [b x] + [c x] + [d x] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [a (n + p)] + [b (n + p)] + [c (n + p)] + [d (n + p)] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [a n + a p] + [b n + b p] + [c n + c p] + [d n + d p] = k \end{array}$

$\Rightarrow (a n + [a p]) + (b n + [b p]) + (c n + [c p]) + (d n + [d p]) = k$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a n + b n + c n + d n) + ([a p] + [b p] + [c p] + [d p]) = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (a + b + c + d) + ([a p] + [b p] + [c p] + [d p]) = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n (a + b + c + d) = k - ([a p] + [b p] + [c p] + [d p]) \end{array}$

$\Rightarrow n = \frac{k - ([a p] + [b p] + [c p] + [d p])}{(a + b + c + d)}$

$\begin{array}{l} \min ([a p] + [b p] + [c p] + [d p]) = (0 + 0 + 0 + 0) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \max ([a p] + [b p] + [c p] + [d p]) = (a - 1) + (b - 1) + (c - 1) + (d - 1) = (a + b + c + d - 4) \end{array}$

اعدادی که در فاصله $[0, a + b + c + d - 4]$ از $k$ کم شوند و مضرب صحیحی از $(a + b + c + d)$ باشند، جواب مساله است. به‌عبارت دیگر:

$a + b + c + d |k - ([a p] + [b p] + [c p] + [d p] \in [0, a + b + c + d - 4])$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت خاص چهارم

$[\frac{a x + b}{c}] = \frac{d x + e}{f}; (x \in R)$

$\{\begin{cases} y = [\frac{a x + b}{c}] = [\frac{a}{c} x + \frac{b}{c}] \\ y = \frac{d x + e}{f} = \frac{d}{f} x + \frac{e}{f} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = [m x + n] \in ℤ \\ y = m^{'} x + n^{'} \in ℤ \end{cases}$

با استفاده از تساوی دو تابع، نمودارهای دو تابع را رسم نموده و پیرامون ریشه‌ها بحث می‌کنیم:

اگر $\{\begin{cases} m = m^{'} \\ n \neq n^{'} \end{cases}$ باشد، معادله جواب ندارد.
اگر $\{\begin{cases} m = m^{'} \\ n = n^{'} \end{cases}$ باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.
اگر $m \neq m^{'}$ باشد، معادله جواب دارد یا احتمالا بیش‌تر از یک جواب دارد.

به حالات زیر توجه کنید:

حالت اول

اگر $m \neq m^{'}$ باشد، دو خط زیر هم‌دیگر را در نقطه ای به طول $x_{0}$ و عرض $y_{0}$ قطع می‌کنند.

$\{\begin{cases} y = m x + n \\ y = m^{'} x + n^{'} \end{cases}$

اگر $y_{0} \in ℤ$ باشد، جواب قابل قبول است.

حالت دوم

اگر $m < m^{'}$ باشد و $y_{0} = n \in ℤ$ تصویرهای قائم $y = m x + n$ در نقاط تلاقی با خطوط افقی به خطوط ما قبلش به شرطی که $y = m^{'} x + n^{'}$ را قطع کند، محدوده دیگر جواب است.

بنابراین در شعاع همسایگی $x_{0}$ در طرف چپ، امکان جواب دیگری وجود دارد به شرطی که در معادله صدق کند

در همسایگی راست جوابی وجود ندارد زیرا $y = m^{'} x + n^{'}$ جزء‌صحیح ها را قطع نمی‌کند.

حالت سوم

اگر $m > m^{'}$ باشد،در همسایگی راست $x_{0}$ امکان جواب دیگری وجود دارد.

حالت چهارم

اگر $m = m^{'}$ باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد که جواب کلی به‌صورت زیر است. $n = n^{'}$

$m^{'} x + n^{'} = n \Rightarrow m^{'} x = n - n^{'} \Rightarrow x = \frac{n}{m^{'}} - \frac{n^{'}}{m^{'}}$

یادآوری

در حالت کلی:

دو خط $\{\begin{cases} y = m x + n \\ y = m^{'} x + n^{'} \end{cases}$ را با هم قطع می‌دهیم، پس از محاسبه $y$ ، اگر $y \in ℤ$ باشد جواب معادله است.

در این حالت $m$ و $m^{'}$ را با هم مقایسه می‌کنیم و پیرامون ریشه های دیگر بحث می‌کنیم.

حالت اول:

$i f m < m^{'} \Rightarrow \{\begin{cases} y = m^{'} x + n^{'} \\ y = n - 1 \end{cases}$

در این حالت نقطه تقاطع دو خط فوق را به‌دست می‌آوریم. اگر به ازای $x$ به‌دست آمده تساوی زیر برقرار بود، جواب دوم هم به‌دست می‌آید.

$[m x + n] = m^{'} x + n^{'}$

حالت دوم:

$i f m^{'} < m \Rightarrow \{\begin{cases} y = m^{'} x + n^{'} \\ y = n + 1 \end{cases}$

$[m x + n] = m^{'} x + n^{'}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

گاهی به روش‌های ساده‌تر هم می‌توان جواب معادلات فوق را به‌دست آورد.

تمرین

جواب معادلات زیر را به‌دست آورید.

$[\frac{x + 2}{x + 1}] = \frac{x - 1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{x + 1 + 1}{x + 1}] = \frac{x - 1}{2} \\ \Rightarrow [1 + \frac{1}{x + 1}] = \frac{x - 1}{2} \\ \Rightarrow 1 + [\frac{1}{x + 1}] = \frac{x - 1}{2} \\ \Rightarrow [\frac{1}{x + 1}] = \frac{x - 1}{2} - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{1}{x + 1}] = \frac{x - 3}{2}; \frac{x - 3}{2} = k \Rightarrow x = 2 k + 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [\frac{1}{2 k + 4}] = k \end{array}$

فقط به ازای $k = 0$ تساوی فوق برقرار است:

$x = 2 k + 3 \overset{k = 0}{\to} x = 3$

$[\frac{2 x + 3}{2}] = \frac{x - 1}{2}$

$\frac{x - 1}{2} = k \Rightarrow x = 2 k + 1$

$\begin{array}{l} [\frac{2 x + 3}{2}] = \frac{x - 1}{2} \\ \Rightarrow [\frac{2 (2 k + 1) + 3}{2}] = k \\ \Rightarrow [(2 k + 1) + \frac{3}{2}] = k \\ \Rightarrow (2 k + 1) + [\frac{3}{2}] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 k + 1) + 1 = k \\ \Rightarrow k = - 2; x = 2 k + 1 \\ \Rightarrow x = 2 (- 2) + 1 \\ \Rightarrow x = - 3 \end{array}$

حالت خاص پنجم

$[\frac{a x + b}{c x + d}] = m^{'} x + n^{'}$

ابتدا به حل تمرین زیر توجه کنید، سپس به حل و بحث صورت کلی می‌پردازیم:

تمرین

می‌خواهیم معادله $[\frac{x - 7}{x - 4}] = x + 1$ را حل کنیم. دو تابع $y_{1} = [\frac{x - 7}{x - 4}]$ و $y_{2} = x + 1$ در نظر می‌گیریم:

طول نقاط تقاطع دو تابع را به‌دست آورید.

برای این کار بدون در نظر گرفتن جزء‌صحیح، دو تابع را با هم‌دیگر قطع می‌هیم.

$\begin{array}{l} \frac{x - 7}{x - 4} = x + 1 \\ \Rightarrow x - 7 = (x - 4) (x + 1) \\ \Rightarrow x - 7 = x^{2} - 3 x - 4 \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \\ \Rightarrow x = 1, 3 \end{array}$

طول کدام‌یک از نقاط تقاطع قابل قبول هستند؟

از بین طول‌های نقاط تقاطع، $x$ هایی به‌عنوان جواب قابل قبول هستند که به‌ازای آنها $y_{1} = y_{2} \in ℤ$ .

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = [\frac{x - 7}{x - 4}] = [\frac{1 - 7}{1 - 4}] = [\frac{- 6}{- 3}] = 2 \\ y_{2} = x + 1 = 2 \end{cases}〉 y_{1} = y_{2} = 2 \in ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{1} = [\frac{x - 7}{x - 4}] = [\frac{3 - 7}{3 - 4}] = [\frac{- 4}{- 1}] = 4 \\ y_{2} = x + 1 = 4 \end{cases}〉 y_{1} = y_{2} = 4 \in ℤ \end{array}$

بنابراین $x = 1$ و $x = 3$ ریشه‌های معادله هستند.

ریشه‌های دیگر معادله را به‌دست آورید.

حالت اول:

اگر مشتق تابع داخل جزء‌صحیح بزرگ‌تر از $m^{'}$ ضریب زاویه خط $y_{2} = x + 1$ باشد، احتمال جواب در همسایگی راست وجود دارد.

در این صورت خط $y = x + 1$ را با خط $y = n + 1$ قطع می‌دهیم و به ازای $x$ های به‌دست آمده باید $y_{1 =} y_{2}$ باشد.

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \{\begin{cases} y = \frac{x - 7}{x - 4} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{3}{{(x - 4)}^{2}} \overset{x = 3}{\to} f^{'} (3) = \frac{3}{{(3 - 4)}^{2}} = 3 \Rightarrow m = 3 \\ y = x + 1 \Rightarrow m^{'} = 1 \end{cases}〉 m > m^{'} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} i f x = 3 \Rightarrow y = 4 \end{array}$

خط $y = x + 1$ را با خط $y = 4 + 1 = 5$ قطع می‌دهیم:

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 5 \end{cases}〉 5 = x + 1 \Rightarrow x = 4$

چون $y_{1}$ به ازای $x = 4$ با $y_{2}$ مساوی نیست، پس $x = 4$ قابل قبول نیست.

حالت دوم:

اگر مشتق تابع داخل جزء‌صحیح کوچک‌تر از $m^{'}$ باشد، احتمال جواب در همسایگی چپ وجود دارد.

در این صورت خط $y = x + 1$ را با خط $y = n - 1$ قطع می‌دهیم و به‌ازای $x$ های به‌دست آمده باید $y_{1 =} y_{2}$ باشد.

اگر ریشه دیگری وجود داشته باشد، آن را با خط $y = n - 2$ قطع می‌دهیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} y = \frac{x - 7}{x - 4} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{3}{{(x - 4)}^{2}} \overset{x = 1}{\to} f^{'} (1) = \frac{3}{{(1 - 4)}^{2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow m = \frac{1}{3} \\ y = x + 1 \Rightarrow m^{'} = 1 \end{cases}〉 m < m^{'} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f x = 1 \Rightarrow y = 2 \end{array}$

خط $y = x + 1$ را با خط $y = 2 - 1 = 1$ قطع می‌دهیم:

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 1 \end{cases}〉 1 = x + 1 \Rightarrow x = 0$

چون $y_{1}$ به ازای $x = 0$ با $y_{2}$ مساوی است، پس $x = 0$ قابل قبول است.

بنابراین ریشه‌های معادله $D = \{0, 1, 3\}$ است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تذکر

گاهی به روش‌های ساده‌تر هم می‌توان جواب معادلات فوق را به‌دست آورد.

تمرین

جواب معادلات زیر را به‌دست آورید.

$[\frac{4 x + 1}{2}] = x + 2$

$x + 2 = k; k \in z \Rightarrow x = k - 2$

$\begin{array}{l} [\frac{4 x + 1}{2}] = x + 2 \\ \Rightarrow [\frac{4 (k - 2) + 1}{2}] = k \\ \Rightarrow [\frac{(4 k - 8) + 1}{2}] = k \\ \Rightarrow [(2 k - 4) + \frac{1}{2}] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2 k - 4) + [\frac{1}{2}] = k \\ \Rightarrow 2 k - 4 + 0 = k \\ \Rightarrow k = 4; x = k - 2 \\ \Rightarrow x = 2 \end{array}$

$[\frac{x^{2} + 1}{2}] = \frac{x}{2}$

$\frac{x}{2} = k; k \in z \Rightarrow x = 2 k$

$\begin{array}{l} [\frac{x^{2} + 1}{4}] = \frac{x}{2} \\ \Rightarrow [\frac{4 k^{2} + 1}{4}] = k \\ \Rightarrow [k^{2} + \frac{1}{4}] = k \\ \Rightarrow k^{2} + [\frac{1}{4}] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k^{2} = k \\ \Rightarrow k^{2} - k = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} k = 0 \Rightarrow x = 0 \\ k = 1 \Rightarrow x = 2 \end{cases}; x = 2 k \end{array}$

حالت خاص ششم

$[x] + [y] = k; k \in ℤ$

معادله فوق، یک معادله و دو مجهول می‌باشد و ایجاب می‌کند که بی‌شمار جواب داشته باشد.

حالت اول

$i f k = 0 \Rightarrow [x] + [y] = 0 \Rightarrow [x] = - [y]$

توجه کنید که $[x]$ را هر عدد صحیحی انتخاب کنیم $[y]$ قرینه آن است و چون اعداد صحیح نامتناهی است، معادله بی‌شمار جواب دارد.

به‌عنوان نمونه بعضی از جواب ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} i f ([x] = 1; 1 \leq x < 2) \Rightarrow ([y] = - 1; - 1 \leq y < 0) \end{array}$

$i f ([x] = 2; 2 \leq x < 3) \Rightarrow ([y] = - 2; - 2 \leq y < - 1)$

حالت دوم

$i f k \neq 0 \Rightarrow [x] + [y] = k \Rightarrow [x] = k - [y]$

در این حالت باز هم معادله بی‌شمار جواب دارد، بعضی از جواب‌ها را به صورت زیر معرفی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} i f ([y] = - 2; - 2 \leq y < - 1) \Rightarrow ([x] = k + 2; k + 2 \leq x < (k + 2) + 1) \end{array}$

$i f ([y] = 0; 0 \leq y < 1) \Rightarrow ([x] = k; k \leq x < k + 1)$

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$[x] + [y] = 23$

$[x] + [y] = 23 \Rightarrow [x] = 23 - [y]$

معادله، بی‌شمار جواب دارد. بعضی از جواب‌ها را معرفی می‌کنیم:

$i f ([y] = - 2; - 2 \leq y < - 1) \Rightarrow ([x] = 25; 25 \leq x < 26)$

حالت خاص هفتم

$[a x] + [b y] = k; a, b, k \in ℤ$

معادله فوق، یک معادله و دو مجهول می‌باشد و ایجاب می‌کند که بی‌شمار جواب داشته باشد.

حالت اول

$i f k = 0 \Rightarrow [a x] + [b y] = 0 \Rightarrow [a x] = - [b y]$

به عنوان نمونه یکی از جواب‌ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} i f [b y] = - 2 \Rightarrow [a x] = 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} [b y] = - 2 \Rightarrow - 2 \leq b y < - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{- 2}{b} \leq y < - \frac{1}{b}; b > 0 \\ \frac{- 1}{b} < y \leq - \frac{2}{b}; b < 0 \end{cases} \end{array}$

$[a x] = 2 \Rightarrow 2 \leq a x < 3 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{2}{a} \leq x < \frac{3}{a}; a > 0 \\ \frac{3}{a} < x \leq \frac{2}{a}; a < 0 \end{cases}$

حالت دوم:

$i f k \neq 0 \Rightarrow [a x] + [b y] = k \Rightarrow [a x] = k - [b y]$

با انتخاب‌های دل‌خواه برای $[b y]$ جواب‌های مختلفی برای $[a x]$ به‌دست می‌آید، یعنی معادله در این شرایط بی‌شمار جواب دارد.

به‌عنوان نمونه یکی از جواب‌ها را به‌صورت زیر معرفی می‌کنیم:

$\begin{array}{l} i f [b y] = 2 \Rightarrow [a x] = k - 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} [b y] = 2 \Rightarrow 2 \leq b y < 3 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{2}{b} \leq y < \frac{3}{b}; b > 0 \\ \frac{3}{b} < y \leq \frac{2}{b}; b < 0 \end{cases} \end{array}$

$[a x] = k - 2 \Rightarrow k - 2 \leq a x < k - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{k - 2}{a} \leq x < \frac{k - 1}{a}; a > 0 \\ \frac{k - 1}{a} < x \leq \frac{k - 2}{a}; a < 0 \end{cases}$

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$[x + [2 x]] = 9$

$\begin{array}{l} x = n + p, 0 \leq p < 1 \Rightarrow [p] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2 x = 2 n + 2 p, 0 \leq 2 p < 2 \Rightarrow [2 p] = 0 \lor 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} [x + [2 x]] = 9 \\ \Rightarrow [x] + [2 x] = 9 \\ \Rightarrow [n + p] + [2 n + 2 p] = 9 \\ \Rightarrow n + [p] + 2 n + [2 p] = 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 n + [p] + [2 p] = 9; [p] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 n + [2 p] = 9 \end{array}$

حالت اول:

$\begin{array}{l} i f [2 p] = 0 \Rightarrow 3 n = 9 \Rightarrow n = 3 \in ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} i f [2 p] = 0 \Rightarrow 0 \leq 2 p < 1 \Rightarrow 0 \leq p < \frac{1}{2} \Rightarrow n + 0 \leq n + p < n + \frac{1}{2} \Rightarrow 3 \leq x < 3 + \frac{1}{2} \Rightarrow 3 \leq x < \frac{7}{2} \end{array}$

حالت دوم:

$\begin{array}{l} i f [2 p] = 1 \Rightarrow 3 n + 1 = 9 \Rightarrow 3 n = 8 \Rightarrow n = \frac{8}{3} \notin ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} D = [3, \frac{7}{2}) \end{array}$

حالت خاص هشتم

$a [x] + b [y] = k; a, b, k \in ℤ$

حالت اول

$\begin{array}{l} k = 0; a, b \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} a [x] + b [y] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a [x] + b [y] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a [x] = - b [y] \end{array}$

$\Rightarrow [x] = - \frac{b}{a} [y]$

در معادله فوق:

اگر $a |b$ ( $a$ بشمارد $b$ را) در این‌صورت $\frac{b}{a} \in ℤ$ و معادله بی‌شمار جواب دارد.

با انتخاب‌های دل‌خواه برای $[y]$ می‌توان جواب‌های مختلفی برای $[x]$ به‌دست آورد.

حالت دوم

$\begin{array}{l} k = 0; (a = 0 \lor b = 0) \end{array}$

$a [x] + b [y] = k$

$\begin{array}{l} i f a = 0 \Rightarrow b [y] = 0 \Rightarrow [y] = 0 \Rightarrow 0 \leq y < 1 \end{array}$

$i f b = 0 \Rightarrow a [x] = 0 \Rightarrow [x] = 0 \Rightarrow 0 \leq x < 1$

حالت سوم

$\begin{array}{l} k = a = b = 0 \end{array}$

$a [x] + b [y] = k \Rightarrow 0 [x] + 0 [y] = 0 \Rightarrow 0 = 0$

معادله بی‌شمار جواب دارد.

حالت چهارم

$\begin{array}{l} k \neq 0; (a = b = 0) \end{array}$

$a [x] + b [y] = k \Rightarrow 0 [x] + 0 [y] = k \Rightarrow 0 = k$

معادله غیر ممکن است و جواب ندارد.

حالت پنجم

$\begin{array}{l} k \neq 0; (a = 0 \lor b = 0) \end{array}$

$a [x] + b [y] = k$

$\begin{array}{l} i f a = 0 \Rightarrow b [y] = k \Rightarrow [y] = \frac{k}{b} \overset{\frac{k}{b} \in ℤ}{\to} \frac{k}{b} \leq y < \frac{k}{b} + 1 \end{array}$

$i f b = 0 \Rightarrow a [x] = k \Rightarrow [x] = \frac{k}{a} \overset{\frac{k}{a} \in ℤ}{\to} \frac{k}{a} \leq x < \frac{k}{a} + 1$

حالت ششم

$\begin{array}{l} k \neq 0, a \neq 0, b \neq 0 \end{array}$

$a [x] + b [y] = k \Rightarrow a [x] = k - b [y] \Rightarrow [x] = \frac{k}{a} - \frac{b}{a} [y]$

با شرط $\frac{k}{a}, \frac{b}{a} \in ℤ$ معادله بی‌شمار جواب دارد.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$3 [x] + 4 [y] = 24$

$\begin{array}{l} 3 [x] + 4 [y] = 24 \\ \Rightarrow 3 [x] = 24 - 4 [y] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{24}{3} - \frac{4}{3} [y]; \frac{4}{3} \notin ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{24 - 4 [y]}{3} \\ \Rightarrow 24 - 4 [y] = 3 k \\ \Rightarrow 4 [y] = 24 - 3 k \\ \Rightarrow [y] = \frac{24 - 3 k}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f [y] = \frac{24 - 3 k}{4}; k \in ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} 24 - 3 k = 0 \overset{k = 8}{\to} [y] = 0 \overset{0 \leq y < 1}{\to} 3 [x] = 24 \Rightarrow [x] = 8 \Rightarrow 8 \leq x < 9 \end{array}$

$\begin{array}{l} 24 - 3 k = 4 \Rightarrow k = \frac{20}{3} \notin ℤ \\ 24 - 3 k = 8 \Rightarrow k = \frac{16}{3} \notin ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} 24 - 3 k = 12 \overset{k = 4}{\to} [y] = \frac{12}{4} = 3 \overset{3 \leq y < 4}{\to} 3 [x] + 4 (3) = 24 \Rightarrow 3 [x] = 12 \Rightarrow [x] = 4 \Rightarrow 4 \leq x < 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} 24 - 3 k = 16 \Rightarrow k = \frac{8}{3} \notin ℤ \end{array}$

به‌همین ترتیب مشخص می‌گردد معادله دارای جواب‌های مختلفی است.

حالت خاص نهم

$[x] [y] = k; k \in ℤ$

حالت اول

$\begin{array}{l} k = 0; [x] [y] = k \Rightarrow [x] [y] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} [x] = 0 \Rightarrow 0 \leq x < 1 \\ [y] = 0 \Rightarrow 0 \leq y < 1 \end{cases} \end{array}$

$i f [x] = 0 \Rightarrow 0 \times [y] = 0$

می‌تواند هر عدد دل‌خواهی باشد، معادله بی‌شمار جواب دارد.

$i f [y] = 0 \Rightarrow [x] \times 0 = 0$

حالت دوم

$k \neq 0 [x], [y] \neq 0; [x] [y] = k \Rightarrow [x] = \frac{k}{[y]}$

با شرط $[y] |k$ یا $\frac{k}{[y]} \in ℤ$ معادله جواب دارد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت خاص دهم

$a [x] [y] = k$

حالت اول

$k \neq 0, a = 0; a [x] [y] = k \Rightarrow 0 \times [x] [y] = k \Rightarrow 0 = k$

غیر ممکن است و معادله جواب ندارد.

حالت دوم

$k = 0, a = 0; a [x] [y] = k \Rightarrow 0 \times [x] [y] = 0$

مبهم است و معادله بی‌شمارجواب دارد.

حالت سوم

$k \neq 0, a \neq 0; a [x] [y] = k \Rightarrow [x] [y] = \frac{k}{a}$

با شرط $\frac{k}{a} \in ℤ$ معادله دارای جواب است.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

حالت خاص یازدهم

$[x] + [y] + [x] [y] = k; k \in ℤ$

حالت اول

$\begin{array}{l} k = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} [x] + [y] + [x] [y] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] + [y] + [x] [y] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] + [x] [y] = - [y] \end{array}$

$\Rightarrow [x] (1 + [y]) = - [y]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{- [y]}{1 + [y]} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{- [y] - 1 + 1}{1 + [y]} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{- (1 + [y]) + 1}{1 + [y]} \end{array}$

$\Rightarrow [x] = - 1 + \frac{1}{1 + [y]}$

برای این‌که معادله جواب داشته باشد، باید $1 + [y] |1$ یا $\frac{1}{1 + [y]} \in ℤ$ باشد، بنابراین حتما $1 + [y] = \pm 1$ می‌باشد.

$\begin{array}{l} i f 1 + [y] = 1 \Rightarrow [y] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \overset{0 \leq y < 1}{\to} [x] = - 1 + \frac{1}{1 + 0} \Rightarrow [x] = - 1 + 1 \Rightarrow [x] = 0 \Rightarrow 0 \leq x < 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f 1 + [y] = - 1 \Rightarrow [y] = - 2 \end{array}$

$\overset{- 2 \leq y < - 1}{\to} [x] = - 1 + \frac{1}{1 + (- 2)} \Rightarrow [x] = - 1 + (- 1) \Rightarrow [x] = - 2 \Rightarrow - 2 \leq x < - 1$

حالت دوم

$\begin{array}{l} k \neq 0, [x] \neq 0 \lor [y] \neq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} [x] + [y] + [x] [y] = k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] + [x] [y] = k - [y] \end{array}$

$\Rightarrow [x] (1 + [y]) = k - [y]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{k - [y]}{1 + [y]} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{k - [y] - 1 + 1}{1 + [y]} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] = \frac{- ([y] + 1) + (k + 1)}{1 + [y]} \end{array}$

$\Rightarrow [x] = - 1 + \frac{k + 1}{1 + [y]}$

برای این‌که معادله جواب داشته باشد، باید $1 + [y] |1 + k$ یا $\frac{1 + k}{1 + [y]} \in ℤ$ باشد.

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

نکته

در معادله $[|x|] + [|y|] + [|x|] [|y|] = k$ :

$[|x|] = - 1 + \frac{k + 1}{1 + [|y|]}$

شرط وجود جواب معادله آن است که $\frac{k + 1}{1 + [|y|]} \in ℤ$

نکته

در معادله $[a x] + [b y] + [a x] [b y] = k$ :

$[a x] = - 1 + \frac{k + 1}{1 + [b y]}$

شرط وجود جواب معادله آن است که $\frac{k + 1}{1 + [b y]} \in ℤ$ .

نتایج دیگری از معادله فوق به‌صورت زیر است:

$\begin{array}{l} [a |x|] + [b y] + [a |x|] [b y] = k; k \in ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} [a x] + [b |y|] + [a x] [b |y|] = k; k \in ℤ \end{array}$

$\begin{array}{l} [a |x|] + [b |y|] + [a |x|] [b |y|] = k; k \in ℤ \end{array}$

$[|a x|] + [|b y|] + [|a x|] [|b y|] = k; k \in w$

حالت خاص دوازدهم

$a [x] + b [y] + a b [x] [y] = k$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a [x] + a b [x] [y] = k - b [y] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a [x] (1 + b [y]) = k - b [y] \end{array}$

$\Rightarrow [x] = \frac{k - b [y]}{a (1 + b [y])} \in ℤ$

با شرط $a (1 + b [y]) |k - b [y]$ معادله جواب دارد.

$i f a = b = 0; k \neq 0$

غیر ممکن است و معادله جواب ندارد.

$i f a = b = 0; k = 0$

مبهم است و معادله بی‌شمار جواب دارد.

$a \neq 0 \lor b \neq 0; k \neq 0$

با شرط معادله، می‌توان محدوده $x$ را تعیین کرد.

تمرین

معادله زیر را حل کنید.

$3 [x] + 4 [y] + 12 [x] [y] = 34$

یادآوری می‌کنیم که:

$i f a [x] + b [y] + a b [x] [y] = k \Rightarrow [x] = \frac{k - b [y]}{a (1 + b [y])} \in ℤ$

$[x] = \frac{k - b [y]}{a (1 + b [y])} \Rightarrow [x] = \frac{34 - 4 [y]}{3 (1 + 4 [y])}$

با انتخاب $k$ مناسب، مقادیری برای $x$ و $y$ به‌دست می‌آید.

$\begin{array}{l} i f k \in ℤ : k \times 3 (1 + 4 [y]) = 34 - 4 [y] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3 k + 12 k [y] = 34 - 4 [y] \\ \Rightarrow 12 k [y] + 4 [y] = 34 - 3 k \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [y] (12 k + 4) = 34 - 3 k \\ \Rightarrow [y] = \frac{34 - 3 k}{(12 k + 4)} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f k = 2 \Rightarrow [y] = \frac{34 - 3 (2)}{(12 \times 2 + 4)} \Rightarrow [y] = 1 \overset{1 \leq y < 2}{\to} [x] = \frac{34 - 4 (1)}{3 (1 + 4 (1))} \Rightarrow [x] = 2 \Rightarrow 2 \leq x < 3 \\ ⋮ \end{array}$

حالت خاص سیزدهم

$a [x] + b [y] + c [x] [y] = k$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a [x] + c [x] [y] = k - b [y] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [x] (a + c [y]) = k - b [y] \end{array}$

$\Rightarrow [x] = \frac{k - b [y]}{a + c [y]} \in ℤ$

با شرط $a + c [y] |k - b [y]$ معادله جواب دارد.

خرید پاسخ‌ها

حل معادلات جزءصحیح در حالات خاص

15,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

جزءصحیح (براکت)

حل معادلات جز صحیح در حالات خاص

حالت خاص اول

حالت خاص دوم

حالت خاص سوم

حالت خاص چهارم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

حالت خاص پنجم

حالت خاص ششم

حالت اول

حالت دوم

حالت خاص هفتم

حالت اول

حالت خاص هشتم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت چهارم

حالت پنجم

حالت ششم

حالت خاص نهم

حالت اول

حالت دوم

حالت خاص دهم

حالت اول

حالت دوم

حالت سوم

حالت خاص یازدهم

حالت اول

حالت دوم

حالت خاص دوازدهم

حالت خاص سیزدهم

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟