حل معادلات جز اعشاری

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402

دسته‌بندی: جز صحیح (براکت)

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

می‌دانیم:

$\{n + p\} = \{p\} = p; \{\begin{cases} n \in ℤ \\ 0 \leq p < 1 \end{cases}$

با توجه به این مفهوم، معادلات به‌صورت $\{f (x)\} = p$ حل می‌کنیم.

تمرین

معادلات زير را حل كنيد:

$\{x + \frac{1}{3}\} = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \{x + \frac{1}{3}\} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow x + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + k, k \in ℤ \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + k \\ \Rightarrow x = \frac{1}{6} + k \end{array}$

${\{x\}}^{2} - \frac{3}{4} \{x\} + \frac{1}{8} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 {\{x\}}^{2} - 6 \{x\} + 1 = 0; (i f \{x\} = y) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 y^{2} - 6 y + 1 = 0 \\ \Rightarrow y = \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} i f y = \frac{1}{2} \Rightarrow \{x\} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2} + k, k \in ℤ \end{array} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f y = \frac{1}{4} \Rightarrow \{x\} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} + k, k \in ℤ \end{array}$

تمرین

دستگاه زير را حل كنيد.

$\{\begin{cases} x + [y] + \{z\} = 1.1 \\ y + [z] + \{x\} = 2.2 \\ z + [x] + \{y\} = 3.3 \end{cases}$

یادآوری)

$[x] + \{x\} = x \Rightarrow \{x\} = x - [x]$

طرفين تساوی های فوق را با هم جمع می‌كنيم:

$\begin{array}{l} (x + y + z) + ([x] + [y] + [z]) + (\{x\} + \{y\} + \{z\}) = 6.6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + y + z) + ([x] + [y] + [z]) + (x - [x] + y - [y] + z - [z]) = 6.6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 (x + y + z) = 6.6 \Rightarrow x + y + z = 3.3; (1) \end{array}$

مجموع دو معادله اول دستگاه را با معادله $(1)$ در یک دستگاه قرار می‌دهیم:

$\{\begin{cases} (x + y) + ([y] + [z]) + (\{z\} + \{x\}) = 3.3 \\ x + y + z = 3.3 \end{cases}$

طرفین این دو معادله را از هم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (x + y) + ([y] + [z]) + (\{z\} + \{x\}) - (x + y + z) = 3.3 - 3.3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - z + [y] + [z] + (z - [z]) + \{x\} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [y] + \{x\} = 0 \end{array}$

اين برابری تنها وقتی برقرار است كه:

$\{\begin{cases} x \in ℤ \\ 0 \leq y < 1 \Rightarrow [y] = 0 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + [y] + \{z\} = 1.1 \overset{[y] = 0}{\to} x + \{z\} = 1.1 \Rightarrow x = 1; \{z\} = 0.1 \\ y + [z] + \{x\} = 2.2 \overset{\{x\} = 0}{\to} y + [z] = 2.2 \Rightarrow y = 0.2, [z] = 2 \\ z + [x] + \{y\} = 3.3 \to_{\{y\} = 0.2}^{[x] = 1} z + (1) + (0.2) = 3.3 \Rightarrow z = 2.1 \end{cases} \\ D : x = 1, y = 0.2, z = 2.1 \end{array}$