سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

بخش‌ پذیری بر حاصل‌ ضرب دو چند جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 07 خرداد 1404

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

اگر اعداد $a$ و $b$ نسبت به هم اول باشند یعنی مقسوم‌علیه مشتركی نداشته باشند، آن وقت اگر عدد $A$ بر هر دو عدد $a$ و $b$ بخش‌پذیر باشد، بر حاصل‌ضرب آنها یعنی $a \times b$ هم بخش‌پذیر است.

مثلا $12$ هم بر $2$ و هم بر $3$ بخش پذیر است ( $2$ و $3$ نسبت به هم اولند.) بنابراین عدد $12$ بر حاصل ضرب آنها یعنی $6$ هم بخش پذیر است.

تعریف

دو عبارت جبری را نسبت به هم اول گویند، وقتی كه مقسوم‌علیه مشتركی به‌صورت عبارت جبری ( نه به‌صورت یک عدد) نداشته باشند.

عبارات $4 (x - 2), 2 (x + 1)$ نسبت به هم اولند هر چند هر دوی آنها بر عدد $2$ بخش‌پذیرند، در حالی كه دو عبارت $x^{2} - 1$ و $x^{3} - 1$ نسبت به هم اول نیستند زیرا هر دوی آنها بر $x - 1$ بخش‌پذیرند.

قانون مربوط به بخش‌پذیری اعداد در مورد عبارات جبری هم درست است:

اگر $h (x)$ و $g (x)$ نسبت به هم اول باشند، آن وقت اگر $p (x)$ هم بر $h (x)$ و هم بر $g (x)$ بخش‌پذیر باشد، بر حاصل‌ضرب آنها یعنی $h (x) \times g (x)$ هم بخش‌پذیر است.

تمرین

ثابت كنيد $f (x) = x^{5} + x^{3} - x^{2} - 1$ بر عبارت زیر بخش پذیر است:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$

$\begin{array}{l} x^{3} - x^{2} + x - 1 = x^{2} (x - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + 1) \end{array}$

چون $(x - 1)$ و $(x^{2} + 1)$ نسبت به‌هم اولند، اگر $f (x)$ بر هر كدام از آنها بخش پذير باشد، آن وقت بر حاصل ضرب آنها هم بخش پذير خواهد بود.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ f (x) = x^{5} + x^{3} - x^{2} - 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (1) = {(1)}^{5} + {(1)}^{3} - {(1)}^{2} - 1 \Rightarrow f (1) = 0 \end{array}$

$f (x)$ بر $(x - 1)$ بخش پذير است:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 \\ f (x) = x {(x^{2})}^{2} + x (x^{2}) - (x^{2}) - 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} f (- 1) = x {(- 1)}^{2} + x (- 1) - (- 1) - 1 \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (- 1) = x - x + 1 - 1 \\ \Rightarrow f (- 1) = 0 \end{array}$

$f (x)$ بر $(x^{2} + 1)$ هم بخش پذير است.

$f (x)$ بر $(x - 1)$ و $(x^{2} + 1)$ هم بخش پذير است پس به حاصل ضرب شان يعنی عبارت زیر هم بخش پذير است:

$(x - 1) (x^{2} + 1) = x^{3} - x^{2} + x - 1$

تمرین

ضريب های $a, b, c, d$ را طوری پيدا كنيد كه عبارت زیر، بر $(x - 1) (x^{2} + 1)$ بخش پذیر باشد.

$f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$f (x)$ بر $(x - 1)$ بخش پذیر است:

$\{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = 0 \Rightarrow 1 + a + b + c + d = 0 \end{cases}$

$f (x)$ بر $(x^{2} + 1)$ بخش پذیر است:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 \\ f (x) = {(x^{2})}^{2} + a x (x^{2}) + b (x^{2}) + c x + d \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} f (- 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(- 1)}^{2} + a x (- 1) + b (- 1) + c x + d = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow - a x + c x + 1 - b + d = 0 \\ \Rightarrow x (c - a) + 1 - b + d = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} c - a = 0 \Rightarrow a = c \\ 1 - b + d = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = c \\ 1 - b + d = 0 \\ 1 + a + b + c + d = 0 \end{cases}〉 b = - a, c = a, d = - a - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x) = x^{4} + a x^{3} - a x^{2} + a x - a - 1 \end{array}$

به‌ازای هر مقدار دل‌خواه $a$ عبارت $f (x)$ بر $(x - 1) (x^{2} + 1)$ بخش پذیر است.

البته می‌توان $a$ را پيدا كرد:

$\begin{array}{l} 1 + a + b + c + d = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + a + (- a) + (a) + (- a - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + a - a + a - a - 1 = 0 \\ \Rightarrow 0 = 0 \\ \Rightarrow a \in R \end{array}$

تمرین

هرگاه عبارت زیر بر ${(x + 1)}^{4}$ بخش پذير باشد، $a$ را به‌دست آوريد.

$f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

$\begin{array}{l} f (- 1) = f^{'} (- 1) = f^{''} (- 1) = f^{'''} (- 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \\ f^{''} (x) = 12 x^{2} + 6 a x + 2 b \\ f^{'''} (x) = 24 x + 6 a \end{array}$

$\begin{array}{l} f^{'''} (- 1) = 0 \Rightarrow - 24 + 6 a = 0 \Rightarrow a = 4 \end{array}$

تمرین

اگر داشته باشیم:

$x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0$

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$A = \frac{x^{100} + x^{- 100}}{2 x^{20} - x^{- 5}}$

$\begin{array}{l} x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0 \times (x - 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{5} - 1 = 0 \\ \Rightarrow x^{5} = 1 \\ \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} A = \frac{x^{100} + x^{- 100}}{2 x^{20} - x^{- 5}} = \frac{{(1)}^{100} + {(1)}^{- 100}}{2 {(1)}^{20} - {(1)}^{- 5}} = \frac{1 + 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2 \end{array}$