استفاده از ریشه‌ های موهومی

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

در بحث مربوط به قابلیت تقسیم، می‌توان از ریشه‌های موهومی مقسوم‌علیه شبیه ریشه‌های حقیقی آن استفاده کرد. در این مورد لازم است که بعضی قراردادها، نکات و قواعد مربوط به اعداد موهومی را بدانیم.

1- اعداد به‌صورت b-1 را اعدا موهومی خالص و اعداد به‌صورت a+b-1 را اعداد مختلط گویند. در جبر معمولا -1 را با i نشان می‌دهند. 

روابط زیر در اعمال مربوط به اعداد موهومی مورد استفاده قرار می‌گیرد:

i2=1   ,  i3=i  ,  i4=1   ,  i5=i  ,  

و یا به‌طور کلی:

i4k=1   ,  i4k+1=i  ,   i4k+2=1  ,   i4k+3=i

حاصل‌ضرب دو عدد مختلط مزدوج، عددی است حقیقی به‌صورت زیر:

a+biabi=a2b2i2=a2b21=a2+b2a+bi=abi=a2+b2

2- کعب‌های  موهومی واحد

همان‌طور که عدد 1 دارای دو جذر حقیقی ±1 است، ثابت می‌کنند که معادله xn=1 دارای n ریشه حقیقی یا موهومی است، در این‌جا کعب‌های واحد را به‌دست می‌آوریم:

xn=1    ;    n=3x3=1x1x2+x+1=0x1=1  ,  x2=1+i32  ,  x3=1i32

کعب‌های موهومی واحد خاصیت جالبی دارند، به این معنا که مجذور هر یک برابر دیگری است:

x22=1+i322=132i34=1i32=x3x32=1i322=13+2i34=1+i32=x2

به‌همین مناسبت معمولا آنها را به j و j2 نشان می‌دهند، این ریشه‌ها هم در معادله x3=1 و هم در معادله x2+x+1=0 صدق می‌کنند. یعنی داریم:

j3=1  ;  j2+j+1=0

3- ثابت می‌کنند که اگر معادله‌ای با ضرایب حقیقی، ریشه‌های موهومی داشته باشند، این ریشه‌ها دوبه‌دو مزدوج  یک‌دیگرند، یعنی اگر a+bi ریشه‌ای از یک معادله با ضرایب حقیقی باشد، a-bi هم ریشه آن خواهد بود، به عبارت دیگر اگر به‌ازای x=a+bi چند جمله‌ای fx با ضرایب حقیقی برابر صفر شود، به ازای x=a-bi هم مساوی صفر خواهد شد. 

تمرین

بدون عمل تقسيم ثابت كنيد عبارت fx=2x4+5x2+3x+5 بر عبارت زیر، قابل قسمت است. 

2x22x+5

برای اين‌كه fx بر 2x22x+5 قابل قسمت باشد، بايد به‌ازای ريشه های عبارت اخير، مساوی صفر شود:

2x22x+5=0x=1±3i2

ولی چون ضريب های fx حقيقی و مقادير جواب های معادله fx مزدوج يک‌ديگر هستند، كافی است به‌ازای يكی از اين ريشه ها، مساوی صفر باشد، در اين‌صورت بدون ترديد به‌ازای ريشه دوم هم مساوی صفر خواهد بود.

R=f1+3i2R=21+3i24+51+3i22+31+3i2+5R=724i2+20+15i2+3+9i2+5R=0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

استفاده از ریشه‌های موهومی

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید