سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

استفاده از ریشه‌ های موهومی

آخرین ویرایش: 23 بهمن 1402

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در بحث مربوط به قابلیت تقسیم، می‌توان از ریشه‌های موهومی مقسوم‌علیه شبیه ریشه‌های حقیقی آن استفاده کرد.

در این مورد لازم است که بعضی قراردادها، نکات و قواعد مربوط به اعداد موهومی را بدانیم.

1- اعداد به‌صورت $b \sqrt{- 1}$ را اعداد موهومی خالص و اعداد به‌صورت $a + b \sqrt{- 1}$ را اعداد مختلط گویند.

در جبر معمولا $\sqrt{- 1}$ را با $i$ نشان می‌دهند.

روابط زیر در اعمال مربوط به اعداد موهومی مورد استفاده قرار می‌گیرد:

$i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1, i^{5} = i, \dots$

و یا به‌طور کلی:

$i^{4 k} = 1, i^{4 k + 1} = i, i^{4 k + 2} = - 1, i^{4 k + 3} = - i$

حاصل‌ضرب دو عدد مختلط مزدوج، عددی است حقیقی به‌صورت زیر:

$\begin{array}{l} (a + b i) (a - b i) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} - b^{2} (- 1) = a^{2} + b^{2} \end{array}$

$|a + b i| = |a - b i| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

2- کعب‌های موهومی واحد

همان‌طور که عدد $1$ دارای دو جذر حقیقی $\pm 1$ است، ثابت می‌کنند که معادله $x^{n} = 1$ دارای $n$ ریشه حقیقی یا موهومی است، در این‌جا کعب‌های واحد را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{array}{l} x^{n} = 1; n = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}, x_{3} = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

کعب‌های موهومی واحد خاصیت جالبی دارند، به این معنا که مجذور هر یک برابر دیگری است:

$\begin{array}{l} x_{2}^{2} = {(\frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{1 - 3 - 2 i \sqrt{3}}{4} = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} = x_{3} \end{array}$

$x_{3}^{2} = {(\frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{1 - 3 + 2 i \sqrt{3}}{4} = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} = x_{2}$

به‌همین مناسبت معمولا آنها را به $j$ و $j^{2}$ نشان می‌دهند، این ریشه‌ها هم در معادله $x^{3} = 1$ و هم در معادله $x^{2} + x + 1 = 0$ صدق می‌کنند. یعنی داریم:

$j^{3} = 1; j^{2} + j + 1 = 0$

3- ثابت می‌کنند که اگر معادله‌ای با ضرایب حقیقی، ریشه‌های موهومی داشته باشند، این ریشه‌ها دوبه‌دو مزدوج یک‌دیگرند، یعنی اگر $a + b i$ ریشه‌ای از یک معادله با ضرایب حقیقی باشد، $a - b i$ هم ریشه آن خواهد بود.

به عبارت دیگر اگر به‌ازای $x = a + b i$ چند جمله‌ای $f (x)$ با ضرایب حقیقی برابر صفر شود، به ازای $x = a - b i$ هم مساوی صفر خواهد شد.

تمرین

چند جمله ای زیر مفروض است:

$f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{2} + 3 x + 5$

بدون عمل تقسيم ثابت كنيد چند جمله ای $f (x)$ بر عبارت زیر، قابل قسمت است.

$2 x^{2} - 2 x + 5$

برای اين‌كه $f (x)$ بر $2 x^{2} - 2 x + 5$ قابل قسمت باشد، بايد به‌ازای ريشه های عبارت اخير، مساوی صفر شود:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 2 x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 3 i}{2} \end{array}$

ولی چون ضريب های $f (x)$ حقيقی و مقادير جواب های معادله $f (x)$ مزدوج يک‌ديگر هستند، كافی است به‌ازای يكی از اين ريشه ها، مساوی صفر باشد.

در اين‌صورت بدون ترديد به‌ازای ريشه دوم هم مساوی صفر خواهد بود.

$\begin{array}{l} R = f (\frac{1 + 3 i}{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 2 {(\frac{1 + 3 i}{2})}^{4} + 5 {(\frac{1 + 3 i}{2})}^{2} + 3 (\frac{1 + 3 i}{2}) + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = \frac{7 - 24 i}{2} + \frac{- 20 + 15 i}{2} + \frac{3 + 9 i}{2} + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = 0 \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

خرید پاسخ‌ها

استفاده از ریشه‌های موهومی

4,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بخش پذیری در چند جمله ای

استفاده از ریشه‌ های موهومی

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟