سرفصل‌های این مبحث

بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

بخش‌ پذیری چند جمله‌ ای بر چند جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 05 خرداد 1404

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

با توجه به اتحاد زیر:

$x^{n + 1} - 1 = (x - 1) (x^{n} + x^{n - 1} + \dots + 1) = (x - 1) q (x)$

اگر عبارتی مانند $p (x)$ بر $x^{n + 1} - 1$ بخش‌پذیر باشد، آن‌گاه $p (x)$ هم بر $q (x)$ هم بخش‌پذیر است.

به‌عنوان نمونه اگر عبارت $p (x)$ بر $x^{3} + 1$ بخش‌پذیر باشد، آن‌گاه $p (x)$ بر $x^{2} - x + 1$ هم بخش پذیر است، زیرا:

$x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

البته عكس این مطلب در حالت كلی صحیح نیست.

تمرین

با چه شرطی $p (x) = x^{2 m} + x^{m} + 1$ بر عبارت زیر، بخش پذیر است:

$x^{2} + x + 1$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} p (x) = x^{2 m} + x^{m} + 1 \\ g (x) = x^{2} + x + 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} i f p (x) = x^{2 m} + x^{m} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) p (x) = (x - 1) (x^{2 m} + x^{m} + 1) = h (x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow h (x) = x^{2 m + 1} - x^{2 m} + x^{m + 1} - x^{m} + x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f g (x) = x^{2} + x + 1 \Rightarrow (x - 1) g (x) = x^{3} - 1 \end{array}$

بايد $h (x)$ بر $x^{3} - 1$ بخش پذير باشد.

برای $m$ سه حالت در نظر می‌گيريم:

$\begin{array}{l} 1) m = 3 k \end{array}$

$\begin{array}{l} h (x) = x^{6 k + 1} - x^{6 k} + x^{3 k + 1} - x^{3 k} + x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} h (x) = {(x^{3})}^{2 k} \cdot x - {(x^{3})}^{2 k} + {(x^{3})}^{k} \cdot x - {(x^{3})}^{k} + x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 1 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1 \\ h (1) = R \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = {(1)}^{2 k} \cdot x - {(1)}^{2 k} + {(1)}^{k} \cdot x - {(1)}^{k} + x - 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = x - 1 + x - 1 + x - 1 \\ \Rightarrow R = 3 x - 3 \\ \Rightarrow R = 3 (x - 1) \neq 0 \end{array}$

كه قابل قبول نيست زيرا $R \neq 0$ است.

$\{\begin{array}{l} 2) m = 3 k + 1 \Rightarrow R = 0 \\ 3) m = 3 k - 1 \Rightarrow R = 0 \end{array}〉 m = 3 k \pm 1$

تمرین

به چه شرطی، عبارت $f (x)$ بر $g (x)$ بخش پذیر است؟ $(n \neq 1)$

$\{\begin{cases} f (x) = 1 + x^{2} + x^{4} + \dots + x^{2 n} \\ g (x) = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} \end{cases}$

با توجه به فرمول مجموع دنباله هندسی داريم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) = \frac{x^{2 n + 2} - 1}{x^{2} - 1} \\ g (x) = \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{(x^{2 n + 2} - 1) (x - 1)}{(x^{n + 1} - 1) (x^{2} - 1)} = \frac{(x^{n + 1} - 1) (x^{n + 1} + 1) (x - 1)}{(x^{n + 1} - 1) (x - 1) (x + 1)} = \frac{x^{n + 1} + 1}{x + 1} \end{array}$

$x^{n + 1} + 1$ بر $(x + 1)$ بخش پذير است:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ p (x) = x^{n + 1} + 1 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} R = p (- 1) = {(- 1)}^{n + 1} + 1 \overset{n = 2 k}{\to} R = 0 \end{array}$

$(n + 1)$ بايد عددی فرد باشد يعنی $n$ زوج است و $R = 0$ می‌باشد.

تمرین

اگر باقيمانده تقسيم $f (x)$ بر $(4 x - 9)$ برابر $5$ باشد، آن‌گاه:

باقيمانده تقسيم $f (x^{2})$ بر $(2 x + 3)$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} f (x) = (4 x - 9) q (x) + 5 \\ \Rightarrow f (x^{2}) = (4 x^{2} - 9) q (x^{2}) + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x^{2}) = (2 x + 3) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{(2 x - 3) \cdot q (x^{2})}} + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x^{2}) = (2 x + 3) Q (x) + 5 \\ \Rightarrow R = 5 \end{array}$

باقيمانده تقسيم $f (x^{2})$ بر $(2 x + 3)$ همان عدد $5$ است.

تمرین

اگر باقيمانده تقسيم $f (x)$ بر $(x^{2} - 4)$ برابر $(3 x + 2)$ باشد، آن‌گاه:

باقيمانده تقسيم $f (x + 1)$ بر $(x - 1)$ را به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} f (x) = (x^{2} - 4) q (x) + (3 x + 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x + 1) = [{(x + 1)}^{2} - 4] q (x + 1) + [3 (x + 1) + 2] \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x + 1) = [(x + 1) - 2] [(x + 1) + 2] q (x + 1) + (3 x + 5) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x + 1) = (x - 1) (x + 3) q (x + 1) + (3 x + 5) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x + 1) = (x - 1) (x + 3) q (x + 1) + 3 (x - 1) + 8 \end{array}$

چون باقيمانده تقسيم $f (x + 1)$ بر $(x - 1)$ بايستی عدد ثابت باشد، درجه باقيمانده را يكی پايين می‌آوريم:

$\begin{array}{l} f (x + 1) = (x - 1) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{[(x + 3) q (x + 1) + 3]}} + 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x + 1) = (x - 1) Q (x) + 8 \\ \Rightarrow R = 8 \end{array}$

باقيمانده تقسيم $f (x + 1)$ بر $(x - 1)$ برابر $8$ است.

تمرین

باقيمانده تقسيم $f (x)$ بر $x^{2} - 1$ برابر $5 x$ می‌باشد.

باقيمانده تقسيم $f (x^{2} + 1)$ را بر $x^{2} + 2$ به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} f (x) = (x^{2} - 1) q (x) + 5 x \\ f (x^{2} + 1) = [{(x^{2} + 1)}^{2} - 1] q (x^{2} + 1) + 5 (x^{2} + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x^{2} + 1) = (x^{4} + 2 x^{2}) q (x^{2} + 1) + 5 (x^{2} + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x^{2} + 1) = (x^{2} + 2) x^{2} \cdot q (x^{2} + 1) + 5 (x^{2} + 2) - 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x^{2} + 1) = (x^{2} + 2) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{[x^{2} \cdot q (x^{2} + 1) + 5]}} - 5 \\ f (x^{2} + 1) = (x^{2} + 2) Q (x) - 5 \\ \Rightarrow R = - 5 \end{array}$

تمرین

باقيمانده تقسيم $f (x)$ بر $x - 1$ برابر $5$ می‌باشد.

باقيمانده تقسيم $f (x^{2} - 3)$ را بر $x + 2$ به‌دست آوريد.

روش اول)

$\begin{array}{l} f (x) = (x - 1) q (x) + 5 \\ f (x^{2} - 3) = [(x^{2} - 3) - 1] q (x^{2} - 3) + 5 \\ f (x^{2} - 3) = (x^{2} - 4) q (x^{2} - 3) + 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x^{2} - 3) = (x + 2) (x - 2) q (x^{2} - 3) + 5 \\ f (x^{2} - 3) = (x + 2) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{[(x - 2) q (x^{2} - 3)]}} + 5 \\ f (x^{2} - 3) = (x + 2) Q (x) + 5 \end{array}$

روش دوم)

طبق فرض $f (1) = 5$ است.

برای تعيين باقيمانده $f (x^{2} - 3)$ بر $x + 2$ كافی است در اين عبارت $x = - 2$ را قرار دهيم:

$\begin{matrix} f (x^{2} - 3) \overset{x = - 2}{=} f [{(- 2)}^{2} - 3] = f (1) = 5 \end{matrix}$

تمرین

باقيمانده تقسيم $f (x)$ بر $x^{2} - 1$ برابر $2$ می‌باشد.

باقيمانده تقسيم $f (x^{3})$ را بر $x^{4} + x^{2} + 1$ به‌دست آوريد.

$\begin{array}{l} f (x) = (x^{2} - 1) q (x) + 2 \\ f (x^{3}) = (x^{6} - 1) q (x^{3}) + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} f (x^{3}) = (x^{4} + x^{2} + 1) \underset{Q (x)}{\underset{⏟}{[(x^{2} - 1) q (x^{3})]}} + 2 \\ f (x^{3}) = (x^{4} + x^{2} + 1) Q (x) + 2 \\ \Rightarrow R = 2 \end{array}$