استقرای ریاضی در بخش‌ پذیری

آخرین ویرایش: 23 بهمن 1402

دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

بسیاری از مساله‌های مربوط به بخش‌پذیری را به‌ویژه اگر سخن بر سر بخش‌پذیری بر یک عدد درست باشد، می‌توان با استفاده از روش استقرای ریاضی حل كرد.

تمرین

ثابت کنید عبارت زیر به‌ازای هر $n$ بر $24$ بخش پذیر است.

$A_{n} = n^{4} + 6 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n; (n \in N)$

$\{\begin{cases} A_{0} = 0 \\ A_{1} = 24 \end{cases}$ بر $24$ بخش‌پذیر است.

فرض می‌کنیم $A_{n}$ مضربی از $24$ است.

ثابت می‌کنیم $A_{n + 1}$ هم بر $24$ بخش‌پذیر است.

برای این منظور کافی است که ثابت کنیم $A_{n + 1} - A_{n}$ $A_{n}$ مضربی از $24$ است:

$\begin{array}{l} A_{n + 1} - A_{n} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [{(n + 1)}^{4} + 6 {(n + 1)}^{3} + 11 {(n + 1)}^{2} + 6 (n + 1)] - (n^{4} + 6 n^{3} + 11 n^{2} + 6 n) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1) + 6 (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1) + 11 (n^{2} + 2 n + 1) + 6 n + 6 - n^{4} - 6 n^{3} - 11 n^{2} - 6 n \end{array}$

$\begin{array}{l} = 4 n^{3} + 24 n^{2} + 44 n + 24 \\ = 24 (n^{2} + 1) + 4 n (n^{2} + 11) \end{array}$

برای این که $A_{n + 1}$ بر $24$ بخش‌پذیر باشد، باید $4 n (n^{2} + 11)$ بر $24$ یا $n (n^{2} + 11)$ بر $6$ بخش‌پذیر باشد.

$n (n^{2} + 11)$ عددی زوج است.

اگر $n$ مضربی از $3$ نباشد، در تقسیم $n^{2}$ بر $3$ به باقیمانده‌ای برابر $1$ می‌رسیم.

این در‌صورتی است که $(n^{2} + 11)$ مضربی از $3$ باشد، پس $n (n^{2} + 11)$ بر $2 \times 3$ یعنی $6$ بخش‌پذیر است.

چند جمله ای زیر مفروض است:

$p (x) = {(x + 1)}^{2 n - 1} + x^{n + 1}$

با استفاده از روش استقرای ریاضی ثابت کنید چند جمله‌ای $p (x)$ بر $x^{2} + x + 1$ بخش‌پذیر است.

$p (1) : n = 1 \Rightarrow p (x) = (x + 1) + x^{2} = x^{2} + x + 1$

به ازای $n = 1$ برقرار است. در این حالت $p (x)$ بر $x^{2} + x + 1$ بخش‌پذیر است.

فرض استقراء:

$p (k) : n = k \Rightarrow p (x) = {(x + 1)}^{2 k - 1} + x^{k + 1}$

حکم استقراء:

$p (k + 1) : n = k + 1 \Rightarrow p (x) = {(x + 1)}^{2 k + 1} + x^{k + 2}$

$\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2 k + 1} + x^{k + 2} \\ = {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2 k - 1} + x . x^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + 2 x + 1) {(x + 1)}^{2 k - 1} + x . x^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(x^{2} + x + 1) + x] {(x + 1)}^{2 k - 1} + x \cdot x^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = [(x^{2} + x + 1) {(x + 1)}^{2 k - 1} + x {(x + 1)}^{2 k - 1}] + x . x^{k + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} + x + 1) {(x + 1)}^{2 k - 1} + x [{(x + 1)}^{2 k - 1} + x^{k + 1}] \end{array}$

قسمت اول که دارای عامل $x^{2} + x + 1$ است و قسمت دوم بنابر فرض استقرای ریاضی برقرار است پس به‌ازای $k + 1$ هم برقرار است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

بخش پذیری در چند جمله ای

استقرای ریاضی در بخش‌ پذیری

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟