هم‌ نهشتی (دسته کامل مانده‌ ها)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

می‌دانیم که اگر رابطه‌ای در مجموعه‌ای تعریف شده باشد به‌طوری‌که این رابطه یک رابطه هم‌ارزی باشد، آن مجموعه را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند.

از طرفی دیدیم رابطه هم‌نهشتی در مجموعه اعداد صحیح یک رابطه هم‌ارزی است.

بنابراین توسط این رابطه می‌توان مجموعه  را به دسته‌هایی افراز نمود که آنها را دسته‌های هم‌نهشتی یا کلاس‌های هم‌نهشتی می‌نامیم.

تعریف دسته هم‌نهشتی به پیمانهm

دسته هم‌نهشتی a به پیمانه m که با نماد am نشان داده می‌شود،عبارت است از کلیه اعداد صحیح‌ای که با a به پیمانه m هم‌نهشت هستند یعنی:

aZ  ;    am=xxma

در هم‌نهشتی به پیمانه m کلیه اعدادی را که با a هم‌نهشت می‌باشند را در مجموعه‌ای قرار داده و آن را با a نمایش می‌دهند و a عبارت است از دسته هم‌نهشتی a یا کلاس a 

نکته

1- هم‌نهشتی به پیمانه m در مجموعه  رابطه‌ای هم‌ارز بوده و مجموعه  را به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌کند و مجموعه این دسته‌ها را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Z/m=Zm=0  ,  1  ,  .....  ,  m1

تمرین

هم‌نهشتی به پیمانه m=3  را در نظر بگیرید. مجموعه‌های زیر را بنویسید:

0

0=xZx30=xZx=3k=.....,3,0,3,.....


مجموعه فوق مجموعه اعدادی است که باقیمانده تقسیم آنها بر 3 مساوی صفر است.

1

1=xZx31=xZx=3k+1=....,2,1,4,.....


مجموعه فوق مجموعه اعدادی است که باقیمانده تقسیم آنها بر 3 مساوی یک است.

2

2=xZx32=xZx=3k+2=......,1,2,5,......


مجموعه فوق مجموعه اعدادی است که باقیمانده تقسیم آنها بر 3 مساوی یک است.

مجموعه دسته‌های هم‌ارزی افراز شده را بنویسید.   

Z3=0,1,2


یعنی این سه دسته هم‌ارزی در قالب یک مجموعه مانند Z3 تمام اعداد صحیح را می‌پوشاند یعنی:


012=Ζ

کدام‌یک از کلاس‌های هم‌ارزی فوق تهی است؟

هیچ‌یک از کلاس‌های هم‌ارزی 2,1,0 تهی نیست، زیرا دست‌کم نماینده آن کلاس متعلق به کلاس هم‌ارزی است.

در هم‌نهشتی به پیمانه m=3 کدام دسته‌ها متمایز هستند؟ 

در هم‌نهشتی به پیمانه m=3 فقط دسته‌های 2,1,0 متمایز هستند.


به‌طور کلی:


در هم‌نهشتی به پیمانه m فقط دسته‌های m1  ,  .....  ,  1  ,  0 متمایز هستند.


به‌عنوان نمونه برای m=4 دسته‌های متمایز هستند عبارتند از:

Z4=0,1,2,304=xx=4k+0=.....,4,0,4,....14=xx=4k+1=.....,3,1,5,.....24=xx=4k+2=.....,2,2,6,.....34=xx=4k+3=.....,1,3,7,......

آیا هر دو عضو متعلق به یکی از دسته هم‌نهشتی فوق در هم‌نهشتی به پیمانه مربوطه، با یکدیگر هم‌نهشت هستند؟

بله. به‌عنوان نمونه داریم:

در دسته هم‌نهشتی 03 که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

03=.....,3,0,3,6,9,.....


دو عضو 6 و 9 را در نظر می‌گیریم:

93696=3kk=196=31

آیا دو عضو متعلق به دو دسته هم‌نهشتی متفاوت در هم‌نهشتی به پیمانه m هم‌نهشت هستند؟

خیر 

03=....,3,0,3,6,....13=.....,2,1,4,....  634

آیا دو کلاس هم‌ارزی می‌توانند عضوهای مشترک داشته باشند؟

خیر

هر دو کلاس هم‌ارزی یا مساویند مانند 0=3.

33=xZx33=xZx=3k+3=......,3,6,9,.....=03


یا کاملا از هم جدا و متمایزاند مانند 2,1 و حالت سومی وجود ندارد.

نکته

2- در دسته‌های هم‌نهشتی، هر عدد از یک دسته هم‌نهشتی می‌تواند نماینده آن دسته باشد، ولی معمولا کوچک‌ترین عدد صحیح نامنفی (بزرگ‌تر یا مساوی با صفر) متعلق به هر دسته هم‌نهشتی را به‌عنوان نماینده انتخاب می‌کنند.


3- در 0m منظور آن است که باقیمانده تقسیم تمام اعداد بر پیمانه m برابر صفر است و در 1m منظور کلیه اعدادی است که باقیمانده تقسیم آنها بر پیمانه m برابر یک است.  


4- تساوی دو کلاس در Zm (به پیمانه m)

اگر اختلاف نماینده‌های دو کلاس بر m قابل قسمت باشد، گوییم آن دو کلاس با هم برابرند:

ambmab=kmam=bm

به‌عنوان نمونه داریم:

75=3573=25


5- جمع و ضرب در Zm  

نماینده‌های دو کلاس را باهم جمع یا ضرب می‌کنیم:

اگر عدد حاصل کم‌تر m شد، خودش را می‌نویسیم و اگر برابر m یا بیشتر از m شد، آن‌را بر m تقسیم کرده و باقیمانده‌اش را می‌نویسیم:

ambm=a+bmambm=a×bm

به‌عنوان نمونه داریم:

310510=810                       ;    8<10513213=1013               ;    10<137111211=1911=811    ;    11<19          191185767=307=27           ;    7<30           30723545=125

از آنجا که کلاس هم‌ارزی را با نماینده مثبت بیان می‌کنند، داریم:

12512+5353125=35

3545=1253545=35    ;    3<5    

قضایای دسته‌های هم‌نهشتی

قضیه

عناصر مجموعه 0,1,2,...,m1 به پیمانه m دوبه‌دو ناهم‌نهشت هستند.

اثبات

می‌دانیم دو عدد هم‌نهشت به پیمانه m هم باقیمانده‌اند و برعکس، اما باقیمانده اعداد m1,....,1,0 بر m خود این اعداد می‌باشند، پس عناصر این مجموعه به لحاظ باقیمانده، دوبه‌دو متمایزند.

نتیجه این‌که به پیمانه m دسته‌های هم‌نهشتی m1,...,1,0 دوبه‌دو متمایزند و هر عدد صحیح با یکی و تنها یکی از اعداد صحیح m1,....,1,0 به پیمانه m هم‌نهشت است.  

قضیه

شرط لازم و کافی برای آن‌که مجموعه k=a1,a2,...,am یک دسته کامل مانده به پیمانه m باشد ‎آن است که هیچ دو عضوی از این مجموعه در هم‌نهشتی m با یکدیگر هم‌نهشت نباشد.

اثبات

به‌موجب تعریف دسته کامل مانده در هم‌نهشتی به پیمانه m بایستی مجموعه k با مجموعه زیر یکی باشد. 

A=0,1,...,m1

ولی قبلا ثابت کردیم هیچ دو عضوی از عناصر مجموعه A در هم‌نهشتی به پیمانه m با یکدیگر هم‌نهشت نیستند.

عکس این قضیه به‌وضوح برقرار است.

قضیه

اگر دو دسته هم‌ارزی با یکدیگر مساوی باشند، رابطه هم‌نهشتی بین نماینده‌های آنها به پیمانه m به‌صورت زیر وجود دارد: 

a=bambif   baa=b

اثبات

ثابت می‌کنیم که:

amba=b

xaxmaambxmbxb


ثابت می‌کنیم که:

a=bamb

aa  ,  a=babamb

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

هم‌نهشتی (دسته کامل مانده‌ها)

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید