سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

ک‌ م‌ م (مقدمه)‌

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

تعريف ک‌م‌م

کوچک‌ترين مضرب مشترک دو عدد طبيعی $a$ و $b$ کوچک‌ترين عدد طبيعی است که هم بر $a$ و هم بر $b$ بخش‌پذير باشد.

کوچک‌ترين مضرب مشترک دو عدد طبيعی $a$ و $b$ را با علامت $a ∐ b$ یا $[a, b]$ نمايش می‌دهند.

روش‌های تعيين ک‌م‌م

تشکيل مجموعه مضرب‌های طبيعی

در اين روش فرض کنيم که می‌خواهيم ک‌م‌م دو عدد $a$ و $b$ را به‌دست آوريم.

ابتدا $M_{a}$ و $M_{b}$ را يافته (مجموعه مضرب‌های طبيعی دو عدد)، سپس در مجموعه $M_{a} \cap M_{b}$ کوچک‌ترين عضو مجموعه، همان ک‌م‌م دو عدد $a$ و $b$ می‌باشد.

تمرین

کوچک‌ترين مضرب مشترک هر دسته از اعداد زير را با استفاده از تشکيل مجموعه مضرب‌ها به‌دست آوريد.

$18 ∐ 12$

$\{\begin{cases} M_{18} = \{18, 36, 54, 72, 90, ...\} \\ M_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...\} \end{cases}$

$\begin{matrix} M_{18} \cap M_{12} = \{36, 72, ...\} \Rightarrow 18 ∐ 12 = 36 \end{matrix}$

$24 ∐ 32$

$\{\begin{cases} M_{24} = \{24, 48, 72, 96, ...\} \\ M_{32} = \{32, 64, 96, ...\} \end{cases}$

$\begin{matrix} M_{24} \cap M_{32} = \{96, 192, ...\} \Rightarrow 24 ∐ 32 = 96 \end{matrix}$

استفاده از ب‌م‌م

اگر $a$ و $b$ دو عدد طبيعی باشند و بخواهيم $a ∐ b$ را در اين روش به‌دست آوريم، مانند مراحل زير عمل می‌کنيم:

مرحله اول- ابتدا ب‌م‌م دو عدد را به‌دست می‌آوريم.

مرحله دوم- يکی از دو عدد را مثلا $a$ را بر ب‌م‌م تقسيم می‌کنيم.

مرحله سوم- حاصل عمل در مرحله دوم را در عدد ديگر که در اين‌جا $b$ است، ضرب می‌کنيم.

با این عمل ک‌م‌م اعداد $a$ و $b$ به‌دست می‌آید.

مراحل بالا به‌وسيله نمودار زير بيان شده است:

کوچک‌ترين مضرب مشترک - پیمان گردلو

تمرین

حاصل زیر را با سه مرحله بيان شده فوق، پيدا کنيد.

$128 ∐ 160$

مرحله اول-

$160 \prod 128 = 32$

مرحله دوم-

$128 \div 32 = 4$

مرحله سوم-

$128 ∐ 160 = 160 \times 4 = 640$

نکته

1- مراحل فوق را می‌توان به‌صورت زير فرمول‌بندی کرد:

$\forall a, b \in N; \{\begin{array}{l} a ∐ b = \frac{a}{a \prod b} \times b = \frac{a b}{a \prod b} \\ a ∐ b = \frac{b}{a \prod b} \times a = \frac{a b}{a \prod b} \end{array}$

$a ∐ b = \frac{a b}{a \prod b} \Rightarrow (a ∐ b) \times (a \prod b) = a b$

2- اگر $a$ و $b$ دو عدد طبيعی متباين (نسبت به‌هم اول) باشند، يعنی:

$a \prod b = 1$

آن‌گاه داریم:

$a ∐ b = \frac{a b}{a \prod b} \overset{a \prod b = 1}{\to} a ∐ b = a b$

به‌عنوان نمونه داریم:

$\begin{array}{l} 2 \prod 3 = 1 \Rightarrow 2 ∐ 3 = 2 \times 3 = 6 \end{array}$

$20 \prod 17 = 1 \Rightarrow 20 ∐ 17 = 20 \times 17 = 340$

تمرین

ک‌م‌م هر دسته از اعداد زير را با استفاده از فرمول به‌دست آوريد.

$18 ∐ 38$

$\{\begin{cases} 18 = 3^{2} \times 2 \\ 38 = 2 \times 19 \end{cases}〉 18 \prod 38 = 2$

$\begin{array}{l} a ∐ b = \frac{a b}{a \prod b} \\ \Rightarrow 18 ∐ 38 = \frac{18 \times 38}{2} \\ \Rightarrow 18 ∐ 38 = 342 \end{array}$

$(4^{3} \times 27^{2}) ∐ (8^{4} \times 9^{2})$

$\{\begin{cases} 4^{3} \times 27^{2} = {(2^{2})}^{3} \times {(3^{3})}^{2} = 2^{6} \times 3^{6} \\ 8^{4} \times 9^{2} = {(2^{3})}^{4} \times {(3^{2})}^{2} = 2^{12} \times 3^{4} \end{cases}$

$\begin{matrix} (4^{3} \times 27^{2}) \prod (8^{4} \times 9^{2}) = 2^{6} \times 3^{4} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} a ∐ b = \frac{a b}{a \prod b} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4^{3} \times 27^{2}) ∐ (8^{4} \times 9^{2}) = \frac{(4^{3} \times 27^{2}) \times (8^{4} \times 9^{2})}{2^{6} \times 3^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4^{3} \times 27^{2}) ∐ (8^{4} \times 9^{2}) = \frac{(2^{6} \times 3^{6}) \times (2^{12} \times 3^{4})}{2^{6} \times 3^{4}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (4^{3} \times 27^{2}) ∐ (8^{4} \times 9^{2}) = 3^{6} \times 2^{12} \end{array}$

تمرین

طرف دوم تساوی‌های زير را به‌دست آوريد.

$24 \prod 18 = ... \Rightarrow 24 ∐ 18 = \cdot \cdot \cdot$

$\begin{array}{l} 24 \prod 18 = 6 \\ \Rightarrow 24 ∐ 18 = \frac{24 \times 18}{6} \\ \Rightarrow 24 ∐ 18 = 72 \end{array}$

$38 \prod 20 = ... \Rightarrow 38 ∐ 20 = \cdot \cdot \cdot$

$\begin{array}{l} 38 \prod 20 = 2 \\ \Rightarrow 38 ∐ 20 = \frac{38 \times 20}{2} \\ \Rightarrow 38 ∐ 20 = 380 \end{array}$

تجزيه به حاصل ضرب اعداد اول

در اين روش برای يافتن ک‌م‌م، ابتدا دو عدد $a$ و $b$ (که هر دو غيرصفرند) را به حاصل ضرب عوامل اول تجزيه می‌کنيم، سپس عوامل مشترک با بيش‌ترين توان و عوامل غير مشترک را در هم ضرب می‌کنيم.

تمرین

کوچک‌ترين مضرب مشترک هر دسته از اعداد زير را به‌روش تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول به‌دست آوريد.

$1680 ∐ 4400$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 1680 = 2^{4} \times 3 \times 5 \times 7 \\ 4400 = 2^{4} \times 5^{2} \times 11 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1680 ∐ 4400 = 2^{4} \times 3 \times 5^{2} \times 7 \times 11 = 92400 \end{array}$

$150 ∐ 180 ∐ 210$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 150 = 2 \times 3 \times 5^{2} \\ 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \\ 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \end{cases} \end{array}$

$\begin{array}{l} 150 ∐ 180 ∐ 210 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} \times 7 = 6300 \end{array}$

$(18^{4} \times 10^{3}) ∐ (72 \times 24^{2}) ∐ 20^{4}$

$\begin{array}{l} 18^{4} \times 10^{3} = {(2 \times 3^{2})}^{4} \times {(2 \times 5)}^{3} = 2^{4} \times 3^{8} \times 2^{3} \times 5^{3} = 2^{7} \times 3^{8} \times 5^{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 72 \times 24^{2} = (2^{3} \times 3^{2}) \times {(2^{3} \times 3)}^{2} = 2^{3} \times 3^{2} \times 2^{6} \times 3^{2} = 2^{9} \times 3^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} 20^{4} = {(2^{2} \times 5)}^{4} = 2^{8} \times 5^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} (18^{4} \times 10^{3}) ∐ (72 \times 24^{2}) ∐ 20^{4} = 2^{9} \times 3^{8} \times 5^{4} \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زير را با به‌دست آوردن ک‌م‌م مخرج‌ها به‌دست آوريد.

$\frac{7}{24} + \frac{11}{36}$

$\begin{array}{l} 24 ∐ 36 = 72 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{7}{24} + \frac{11}{36} = \frac{(3 \times 7) + (2 \times 11)}{72} = \frac{21 + 22}{72} = \frac{43}{72} \end{array}$

$\frac{8}{5} + \frac{9}{6} - \frac{7}{25}$

$\begin{array}{l} 5 ∐ 6 ∐ 25 = 5 ∐ (2 \times 3) ∐ 5^{2} = 5^{2} \times 2 \times 3 = 150 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{8}{5} + \frac{9}{6} - \frac{7}{25} = \frac{(30 \times 8) + (25 \times 9) - (6 \times 7)}{150} = \frac{240 + 225 - 42}{150} = \frac{423}{150} = \frac{141}{50} \end{array}$

تمرین

در شکل زير محيط چرخ بزرگ $45 c m$ و محيط چرخ کوچک $27 c m$ می‌باشد.

اين دو چرخ توسط تسمه‌ای به‌هم وصل شده‌اند و تسمه بدون لغزش بر روی چرخ‌ها، آنها را به حرکت در می‌آورد.

چرخ بزرگ چند دور بزند تا برای بار پنجم دو علامت مقابل هم قرار بگيرند؟

ابتدا ک‌م‌م دو محیط را به‌دست می‌آوريم:

$45 ∐ 27 = (3^{2} \times 5) ∐ 3^{3} = 3^{3} \times 5 = 135$

برای اين‌که دو علامت برای اولين بار پس از شروع حرکت مقابل هم قرار بگيرند، چرخ $A$ بايد $135 c m$ حرکت کند که برابر با تعداد دور زیر می‌باشد:

$\frac{135}{45} = 3$

تعداد دورهایی که بايد چرخ بزرگ بزند تا دو علامت برای بار پنجم مقابل هم قرار گيرند، برابر است با:

$5 \times 3 = 15$

تمرین

کوچک‌ترين عدد چهار رقمی را بيابيد که باقيمانده آن بر هر يک از اعداد $18$ و $20$ و $22$ برابر $15$ باشد.

$\begin{array}{l} \bar{a b c d} = 18 \times q_{1} + 15 \\ \bar{a b c d} = 20 \times q_{2} + 15 \\ \bar{a b c d} = 22 \times q_{3} + 15 \end{array}$

ابتدا ک‌م‌م سه عدد فوق را به‌دست می‌آوريم:

$\begin{array}{l} 18 ∐ 20 ∐ 22 \\ = (2 \times 3^{2}) ∐ (2^{2} \times 5) ∐ (2 \times 11) \\ = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 11 \\ = 1980 \end{array}$

$1980$ کوچک‌ترين عددی است که بر سه عدد فوق تواما بخش پذير است.

$\begin{array}{l} 1980 = 18 \times q_{1} = 20 \times q_{2} = 22 \times q_{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} 1980 + 15 = 18 \times q_{1} + 15 = 20 \times q_{2} + 15 = 22 \times q_{3} + 15 \Rightarrow \bar{a b c d} = 1995 \end{array}$

تمرین

ک‌م‌م دو عدد $\{\begin{cases} M = 2^{a} \times 18 \\ N = 2^{a + 3} \times 3 \end{cases}$ برابر $1152$ می‌باشد:

$a$ را به‌دست آوريد.

$\{\begin{cases} M = 2^{a} \times 18 = 2^{a} \times (2 \times 3^{2}) = 2^{a + 1} \times 3^{2} \\ N = 2^{a + 3} \times 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} M ∐ N = 1152 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (2^{a + 1} \times 3^{2}) ∐ (2^{a + 3} \times 3) = 2^{7} \times 3^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2^{a + 3} \times 3^{2} = 2^{7} \times 3^{2} \\ \Rightarrow a + 3 = 7 \\ \Rightarrow a = 4 \end{array}$

ب‌م‌م دو عدد $M$ و $N$ را محاسبه کنيد.

$\begin{array}{l} M \prod N \\ = (2^{5} \times 3^{2}) \prod (2^{7} \times 3) \\ = 2^{5} \times 3 \\ = 32 \times 3 \\ = 96 \end{array}$

تمرین

دو عدد طبیعی $\{\begin{cases} M = 15^{3} \times 16^{4} \times 18^{5} \times 25^{3} \\ N = 8^{7} \times 9^{7} \times 10^{7} \end{cases}$ مفروض است. حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

$M \prod N$

$\begin{array}{l} M = {(3 \times 5)}^{3} \times {(2^{4})}^{4} \times {(2 \times 3^{2})}^{5} \times {(5^{2})}^{3} = 3^{3} \times 5^{3} \times 2^{16} \times 2^{5} \times 3^{10} \times 5^{6} \Rightarrow M = 2^{21} \times 3^{13} \times 5^{9} \end{array}$

$\begin{array}{l} N = {(2^{3})}^{7} \times {(3^{2})}^{7} \times {(2 \times 5)}^{7} = 2^{21} \times 3^{14} \times 2^{7} \times 5^{7} = 2^{28} \times 3^{14} \times 5^{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} M \prod N = (2^{21} \times 3^{13} \times 5^{9}) \prod (2^{28} \times 3^{14} \times 5^{7}) = 2^{21} \times 3^{13} \times 5^{7} \end{array}$

$M ∐ N$

$\begin{array}{l} = (2^{21} \times 3^{13} \times 5^{9}) ∐ (2^{28} \times 3^{14} \times 5^{7}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = 2^{28} \times 3^{14} \times 5^{9} \end{array}$

$\frac{M ∐ N}{M \prod N}$

$\frac{M ∐ N}{M \prod N} = \frac{(2^{28} \times 3^{14} \times 5^{9})}{(2^{21} \times 3^{13} \times 5^{7})} = 2^{7} \times 3 \times 5^{2}$

$\frac{M}{2^{20} \times 3^{12} \times 5^{8}} \prod \frac{N}{2^{27} \times 3^{13} \times 5^{6}}$

$\begin{array}{l} = \frac{2^{21} \times 3^{13} \times 5^{9}}{2^{20} \times 3^{12} \times 5^{8}} \prod \frac{2^{28} \times 3^{14} \times 5^{7}}{2^{27} \times 3^{13} \times 5^{6}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (2 \times 3 \times 5) \prod (2 \times 3 \times 5) \\ = 2 \times 3 \times 5 \\ = 30 \end{array}$

تمرین

حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

$\frac{(225 \prod 105) ∐ 12}{45 \prod 75}$

$\{\begin{cases} 225 = 3^{2} \times 5^{2} \\ 105 = 3 \times 5 \times 7 \\ 45 = 3^{2} \times 5 \\ 75 = 3 \times 5^{2} \\ 12 = 2^{2} \times 3 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \frac{(225 \prod 105) ∐ 12}{45 \prod 75} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(3^{2} \times 5^{2} \prod 3 \times 5 \times 7) ∐ (2^{2} \times 3)}{(3^{2} \times 5) \prod (3 \times 5^{2})} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(3 \times 5) ∐ (2^{2} \times 3)}{(3 \times 5)} \\ = \frac{2^{2} \times 3 \times 5}{(3 \times 5)} = 2^{2} \\ = 4 \end{array}$

$\frac{(15^{2} \times 3) ∐ (12^{2} \times 5)}{(3^{3} \times 5) \prod (36 \times 5)}$

$\begin{array}{l} = \frac{[{(3 \times 5)}^{2} \times 3] ∐ [{(2^{2} \times 3)}^{2} \times 5]}{(3^{3} \times 5) \prod [(2^{2} \times 3^{2}) \times 5]} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(3^{2} \times 5^{2} \times 3) ∐ (2^{4} \times 3^{2} \times 5)}{(3^{3} \times 5) \prod (2^{2} \times 3^{2} \times 5)} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{(3^{3} \times 5^{2}) ∐ (2^{4} \times 3^{2} \times 5)}{(3^{3} \times 5) \prod (2^{2} \times 3^{2} \times 5)} \\ = \frac{2^{4} \times 3^{3} \times 5^{2}}{3^{2} \times 5} \\ = 2^{4} \times 3 \times 5 \\ = 240 \end{array}$

تمرین

دو عدد طبیعی $\{\begin{cases} M = 25 \times 64^{2} \\ N = 125^{2} \times 16^{2} \end{cases}$ را در نظر بگیرید:

آیا $M$ بر $N$ بخش پذير است؟

$\{\begin{cases} M = (5^{2}) \times {(2^{6})}^{2} = 5^{2} \times 2^{12} \\ N = {(5^{3})}^{2} \times {(2^{4})}^{2} = 5^{6} \times 2^{8} \end{cases}$

همان‌طور که ملاحظه می‌شود، عوامل اول $M$ و $N$ يکسان می‌باشند ولی توان عامل $5$ در $N$ بيش‌تر از $M$ می‌باشد، لذا $M$ بر $N$ بخش پذير نیست.

$M^{20}$ بر $N^{20}$ چه‌طور؟

$\{\begin{cases} M^{20} = {(5^{2} \times 2^{12})}^{20} = 5^{40} \times 2^{240} \\ N^{20} = {(5^{6} \times 2^{8})}^{20} = 5^{120} \times 2^{160} \end{cases}$

$M^{20}$ بر $N^{20}$ بخش پذير نیست.

$M^{80}$ بر $N^{20}$ چه‌طور؟

$\{\begin{cases} M^{80} = {(5^{2} \times 2^{12})}^{80} = 5^{160} \times 2^{960} \\ N^{20} = 5^{120} \times 2^{160} \end{cases}$

$M^{80}$ بر $N^{20}$ بخش پذير است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

ک‌ م‌ م (مقدمه)‌

تعريف ک‌م‌م

روش‌های تعيين ک‌م‌م

تشکيل مجموعه مضرب‌های طبيعی

استفاده از ب‌م‌م

تجزيه به حاصل ضرب اعداد اول

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟