ک‌ م‌ م (مقدمه)‌

تاریخ انتشار: 31 فروردين 1400
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 80 مرتبه

تعريف ک‌م‌م

کوچک‌ترين مضرب مشترک دو عدد طبيعی a و b کوچک‌ترين عدد طبيعی است که هم بر a و هم بر b بخش‌پذير باشد.

کوچک‌ترين مضرب مشترک دو عدد طبيعی a و b را با علامت ab یا a,b نمايش می‌دهند.

روش‌های تعيين ک‌م‌م

تشکيل مجموعه مضرب‌های طبيعی

در اين روش فرض کنيم که می‌خواهيم ک‌م‌م دو عدد a و b را به‌دست آوريم.

ابتدا Ma و Mb را يافته (مجموعه مضرب‌های طبيعی دو عدد)، سپس در مجموعه MaMb کوچک‌ترين عضو مجموعه، همان ک‌م‌م دو عدد a و b می‌باشد. 

تمرین

کوچک‌ترين مضرب مشترک هر دسته از اعداد زير را با استفاده از تشکيل مجموعه مضرب‌ها به‌دست آوريد.

1812

M18=18,36,54,72,90,...M12=12,24,36,48,60,72,84,...M18M12=36,72,...1812=36

2432

M24=24,48,72,96,...M32=32,64,96,...M24M32=96,192,...2432=96

استفاده از ب‌م‌م

اگر a و b دو عدد طبيعی باشند و بخواهيم ab را در اين روش به‌دست آوريم، مانند مراحل زير عمل می‌کنيم: 

مرحله اول- ابتدا ب‌م‌م دو عدد را به‌دست می‌آوريم.   

مرحله دوم- يکی از دو عدد را مثلا a را بر ب‌م‌م تقسيم می‌کنيم.

مرحله سوم- حاصل عمل در مرحله دوم را در عدد ديگر که در اين‌جا b است، ضرب می‌کنيم. 

با این عمل ک‌م‌م اعداد a و b به‌دست می‌آید.

مراحل بالا به‌وسيله نمودار زير بيان شده است:

کوچک‌ترين مضرب مشترک - پیمان گردلو

تمرین

حاصل زیر را با سه مرحله بيان شده فوق، پيدا کنيد.

128160

مرحله اول-

160128=32


مرحله دوم-

128÷32=4


مرحله سوم-

128160=160×4=640

نکته

1- مراحل فوق را می‌توان به‌صورت زير فرمول‌بندی کرد:

a,bN  ;   ab=aab×b=ababab=bab×a=abab  ab=ababab×ab=ab


2- اگر a و b دو عدد طبيعی متباين (نسبت به‌هم اول) باشند، يعنی:

ab=1

آن‌گاه داریم:

ab=ababab=1ab=ab

به‌عنوان نمونه داریم:

23=123=2×3=62017=12017=20×17=340

تمرین

ک‌م‌م هر دسته از اعداد زير را با استفاده از فرمول به‌دست آوريد.

1838

18=32×238=2×191838=2


ab=abab1838=18×3821838=342

43×27284×92

43×272=223×332=26×3684×92=234×322=212×34  43×27284×92=26×34

ab=abab43×27284×92=43×272×84×9226×3443×27284×92=26×36×212×3426×3443×27284×92=36×212

تمرین

طرف دوم تساوی‌های زير را به‌دست آوريد.

2418=...2418=

2418=62418=24×1862418=72

3820=...3820=

3820=23820=38×2023820=380

تجزيه به حاصل ضرب اعداد اول

در اين روش برای يافتن ک‌م‌م، ابتدا دو عدد a و b (که هر دو غيرصفرند) را به حاصل ضرب عوامل اول تجزيه می‌کنيم، سپس عوامل مشترک با بيش‌ترين توان و عوامل غير مشترک را در هم ضرب می‌کنيم.

تمرین

کوچک‌ترين مضرب مشترک هر دسته از اعداد زير را به‌روش تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول به‌دست آوريد.

16804400

1680=24×3×5×74400=24×52×1116804400=24×3×52×7×11=92400

150180210

150=2×3×52180=22×32×5210=2×3×5×7150180210=22×32×52×7=6300

184×10372×242204

184×103=2×324×2×53=24×38×23×53=27×38×5372×242=23×32×23×32=23×32×26×32=29×34204=22×54=28×54184×10372×242204=29×38×54

تمرین

حاصل عبارات زير را با به‌دست آوردن ک‌م‌م مخرج‌ها به‌دست آوريد.

724+1136

2436=72724+1136=3×7+2×1172=21+2272=4372

85+96725

5625=52×352=52×2×3=15085+96725=30×8+25×96×7150=240+22542150=423150=14150

تمرین

در شکل زير محيط چرخ بزرگ 45cm و محيط چرخ کوچک 27cm می‌باشد.

اين دو چرخ توسط تسمه‌ای به‌هم وصل شده‌اند و تسمه بدون لغزش بر روی چرخ‌ها، آنها را به حرکت در می‌آورد.

چرخ بزرگ چند دور بزند تا برای بار پنجم دو علامت مقابل هم قرار بگيرند؟

ابتدا ک‌م‌م دو محیط را به‌دست می‌آوريم:

4527=32×533=33×5=135


برای اين‌که دو علامت برای اولين بار پس از شروع حرکت مقابل هم قرار بگيرند، چرخ A بايد 135cm حرکت کند که برابر با تعداد دور زیر می‌باشد:

13545=3


تعداد دورهایی که بايد چرخ بزرگ بزند تا دو علامت برای بار پنجم مقابل هم قرار گيرند، برابر است با:

5×3=15

تمرین

کوچک‌ترين عدد چهار رقمی را بيابيد که باقيمانده آن بر هر يک از اعداد 18 و 20 و 22 برابر 15 باشد. 

abcd¯=18×q1+15abcd¯=20×q2+15abcd¯=22×q3+15


ابتدا ک‌م‌م سه عدد فوق را به‌دست می‌آوريم: 

182022=2×3222×52×11=22×32×5×11=1980


1980 کوچک‌ترين عددی است که بر سه عدد فوق تواما بخش پذير است.

1980=18×q1=20×q2=22×q31980+15=18×q1+15=20×q2+15=22×q3+15abcd¯=1995

تمرین

ک‌م‌م دو عدد M=2a×18N=2a+3×3 برابر 1152 می‌باشد:

a را به‌دست آوريد.

M=2a×18=2a×2×32=2a+1×32N=2a+3×3


MN=11522a+1×322a+3×3=27×322a+3×32=27×32a+3=7a=4

ب‌م‌م دو عدد M و N را محاسبه کنيد.

MN=25×3227×3=25×3=32×3=96

تمرین

دو عدد طبیعی M=153×164×185×253N=87×97×107 مفروض است. حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

MN

M=3×53×244×2×325×523=33×53×216×25×310×56M=221×313×59N=237×327×2×57=221×314×27×57=228×314×57MN=221×313×59228×314×57=221×313×57

MN

=221×313×59228×314×57=228×314×59

MNMN

MNMN=228×314×59221×313×57=27×3×52

M220×312×58N227×313×56

=221×313×59220×312×58228×314×57227×313×56=2×3×52×3×5=2×3×5=30

تمرین

حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

225105124575

225=32×52105=3×5×745=32×575=3×5212=22×3


225105124575=32×523×5×722×332×53×52=3×522×33×5=22×3×53×5=22=4

152×3122×533×536×5

=3×52×322×32×533×522×32×5=32×52×324×32×533×522×32×5=33×5224×32×533×522×32×5=24×33×5232×5=24×3×5=240

تمرین

دو عدد طبیعی M=25×642N=1252×162 را در نظر بگیرید:

آیا M بر N بخش پذير است؟

M=52×262=52×212N=532×242=56×28


همان‌طور که ملاحظه می‌شود، عوامل اول M و N يکسان می‌باشند ولی توان عامل 5 در N بيش‌تر از M می‌باشد، لذا  M بر N بخش پذير نیست.   

M20 بر N20 چه‌طور؟

M20=52×21220=540×2240N20=56×2820=5120×2160


M20 بر N20 بخش پذير نیست.  

M80 بر N20 چه‌طور؟

M80=52×21280=5160×2960N20=5120×2160


M80 بر N20 بخش پذير است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید