معادلات سیال (حالت پنجم)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

حل معادلات سیال به‌فرمx2+y2+z2=u2

می‌توان سه عدد پیدا کرد که مجموع مکعبات آنها خود مکعب کاملی باشد.

به‌عنوان نمونه تساوی زیر را در نظر بگیرید:

33+43+53=63

این رابطه به‌معنای آن است که حجم مکعب به ضلع 6cm3 برابر است با مجموع حجم‌های سه مکعب با ضلع‌های مساوی 3cm و 4cm و 5cm است.

این رابطه منتسب به افلاطون است.

نکته

می‌خواهیم روابط عددی دیگری از این قبیل را پیدا کنیم:

باید معادله زیر را حل کنیم:

x3+y3+z3=u3if  u=tx3+y3+z3+t3=0

این معادله هم دارای بی‌نهایت جواب صحیح مثبت یا منفی‌ است.

فرض کنید‌ a,b,c,dα,β,γ,δ دو گروه چهار عددی باشند که در معادله فوق صدق می‌کنند:

a3+b3+c3+d3=0α3+β3+γ3+δ3=0

هر یک از چهار عدد گروه دوم در عدد صحیح ضرب کرده و به اعداد گروه اول اضافه می‌کنیم:

a+kαb+kβc+kγd+kδ

این چهار عدد گروه جدید هم در معادله مفروض صدق می‌کنند:

a+kα3+b+kβ3+c+kγ3+d+kδ3=0a3+3a2kα+3akα2+kα3+b3+3b2kβ+3bkβ2+kβ3+    c3+3c2kγ+3ckγ2+kγ3    +   d3+3d2kδ+3dkδ2+kδ3=0

a3+b3+c3+d3+k3α3+β3+γ3+δ3+3a2kα+3ak2α2+3b2kβ+3bk2β2+3c2kγ+3ck2γ2+3d2kδ+3dk2δ2=03ka2α+b2β+c2γ+d2δ+kaα2+bβ2+cγ2+dδ2=03kk=0a2α+b2β+c2γ+d2δ+kaα2+bβ2+cγ2+dδ2=0k=a2α+b2β+c2γ+d2δaα2+bβ2+cγ2+dδ2

برای این‌که از این مطلب بتوانیم استفاده کنیم، باید دو گروه چهار عددی از جواب‌های معادله مفروض را در دست داشته باشیم، یکی از این گروه‌ها یعنی را 3,4,5,6 می‌دانیم.

گروه چهار عددی دوم را چگونه پیدا کنیم؟

این گروه را به‌سادگی می‌توان به‌دست آورد، برای این گروه می‌توان اعداد s,s,r,r را انتخاب کرد که روشن است در معادله مفروض صدق می‌کنند، به‌عبارت دیگر داریم: 

a=3  ,  b=4  ,  c=5  ,  d=6α=r  ,  β=r  ,  γ=s  ,  δ=s

برای محاسبه مقدار k رابطه زیر را خواهیم نوشت:

k=a2α+b2β+c2γ+d2δaα2+bβ2+cγ2+dδ2=9r16r+25s36s3r2+4r2+5s2+6s2=7r11s7r2+11s2=7r+11s7r2+11s2

a+kα=3+7r+11s7r2+11s2.r=37r2+11s2+7r+11s.r7r2+11s2=21r2+33s2+7r2+11sr7r2+11s2=28r2+11sr+33s27r2+11s2

b+kβ=4+7r+11s7r2+11s2.r=47r2+11s2+7r+11sr7r2+11s2=28r2+44s2+7r211sr7r2+11s2=21r211sr+44s27r2+11s2

c+kγ=5+7r+11s7r2+11s2.s=57r2+11s2+7r+11s.s7r2+11s2=35r2+55s2+7sr+11s27r2+11s2=35r2+7sr+66s27r2+11s2

d+kδ=6+7r+11s7r2+11s2.s=67r2+11s2+7sr11s27r2+11s2=42r266s27sr11s27r2+11s2=42r27sr77s27r2+11s2

طبق آن‌چه گفتیم این چهار عدد در معادله زیر صدق می‌کنند:

x2+y2+z2+t2=0

چون در هر چهار عدد، مخرج‌ها برابرند، می‌توان از مخرج‌ها صرف‌نظر کرد یعنی صورت‌های این کسرها هم در معادله صادق خواهند بود، به این ترتیب جواب‌های معادله ما به‌ازای هر مقدار دل‌خواه r و s به‌صورت زیر هستند:

x=28r2+11sr+33s2y=21r211sr+44s2z=35r2+7sr+66s2t=42r27sr77s2

که البته اگر مجموع مکعبات آنها را حساب کنیم، صحت حکم محقق می‌شود.

اگر در این روابط r و s را مقادیر دل‌خواه فرض کنیم، جواب‌های مختلف معادله مفروض به‌دست می‌آید.  

در حالتی که به‌ازای مقادیری از r و s جواب‌هایی به‌دست آید که مقسوم علیه مشترکی داشته باشند، می‌توان آنها را به این مقسوم علیه مشترک تقسیم کرد و جواب‌های جدیدی به‌دست آورد. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید