سرفصل‌های این مبحث

نظریه اعداد

معادلات سیال (حالت پنجم)

آخرین ویرایش: 08 اسفند 1402

دسته‌بندی: نظریه اعداد

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

حل معادلات سیال به‌فرم $x^{2} + y^{2} + z^{2} = u^{2}$

می‌توان سه عدد پیدا کرد که مجموع مکعبات آنها خود مکعب کاملی باشد.

به‌عنوان نمونه تساوی زیر را در نظر بگیرید:

$3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$

این رابطه به‌معنای آن است که حجم مکعب به ضلع $6 c m^{3}$ برابر است با مجموع حجم‌های سه مکعب با ضلع‌های مساوی $3 c m$ و $4 c m$ و $5 c m$ است.

این رابطه منتسب به افلاطون است.

نکته

می‌خواهیم روابط عددی دیگری از این قبیل را پیدا کنیم:

باید معادله زیر را حل کنیم:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} = u^{3} \end{array}$

$i f u = - t \Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} + t^{3} = 0$

این معادله هم دارای بی‌نهایت جواب صحیح مثبت یا منفی‌ است.

فرض کنید‌ $\{\begin{cases} a, b, c, d \\ α, β, γ, δ \end{cases}$ دو گروه چهار عددی باشند که در معادله فوق صدق می‌کنند:

$\{\begin{cases} a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} = 0 \\ α^{3} + β^{3} + γ^{3} + δ^{3} = 0 \end{cases}$

هر یک از چهار عدد گروه دوم در عدد صحیح ضرب کرده و به اعداد گروه اول اضافه می‌کنیم:

$\{\begin{cases} a + k α \\ b + k β \\ c + k γ \\ d + k δ \end{cases}$

این چهار عدد گروه جدید هم در معادله مفروض صدق می‌کنند:

$\begin{array}{l} {(a + k α)}^{3} + {(b + k β)}^{3} + {(c + k γ)}^{3} + {(d + k δ)}^{3} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} [a^{3} + 3 a^{2} (k α) + 3 a {(k α)}^{2} + {(k α)}^{3}] + [b^{3} + 3 b^{2} (k β) + 3 b {(k β)}^{2} + {(k β)}^{3}] \\ + [c^{3} + 3 c^{2} (k γ) + 3 c {(k γ)}^{2} + {(k γ)}^{3}] + [d^{3} + 3 d^{2} (k δ) + 3 d {(k δ)}^{2} + {(k δ)}^{3}] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} (a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3}) + k^{3} (α^{3} + β^{3} + γ^{3} + δ^{3}) + 3 a^{2} k α + 3 a k^{2} α^{2} + 3 b^{2} k β + 3 b k^{2} β^{2} + 3 c^{2} k γ \\ + 3 c k^{2} γ^{2} + 3 d^{2} k δ + 3 d k^{2} δ^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 3 k [(a^{2} α + b^{2} β + c^{2} γ + d^{2} δ) + k (a α^{2} + b β^{2} + c γ^{2} + d δ^{2})] = 0 \end{array}$

$\{\begin{cases} 3 k \Rightarrow k = 0 \\ (a^{2} α + b^{2} β + c^{2} γ + d^{2} δ) + k (a α^{2} + b β^{2} + c γ^{2} + d δ^{2}) = 0 \Rightarrow k = - \frac{a^{2} α + b^{2} β + c^{2} γ + d^{2} δ}{a α^{2} + b β^{2} + c γ^{2} + d δ^{2}} \end{cases}$

برای این‌که از این مطلب بتوانیم استفاده کنیم، باید دو گروه چهار عددی از جواب‌های معادله مفروض را در دست داشته باشیم، یکی از این گروه‌ها یعنی را $(3, 4, 5, - 6)$ می‌دانیم.

گروه چهار عددی دوم را چگونه پیدا کنیم؟

این گروه را به‌سادگی می‌توان به‌دست آورد، برای این گروه می‌توان اعداد $- s, s, - r, r$ را انتخاب کرد که روشن است در معادله مفروض صدق می‌کنند، به‌عبارت دیگر داریم:

$\{\begin{cases} a = 3, b = 4, c = 5, d = - 6 \\ α = r, β = - r, γ = s, δ = - s \end{cases}$

برای محاسبه مقدار $k$ رابطه زیر را خواهیم نوشت:

$k = - \frac{a^{2} α + b^{2} β + c^{2} γ + d^{2} δ}{a α^{2} + b β^{2} + c γ^{2} + d δ^{2}} = - \frac{9 r - 16 r + 25 s - 36 s}{3 r^{2} + 4 r^{2} + 5 s^{2} + 6 s^{2}} = - \frac{- 7 r - 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{7 r + 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}}$

$a + k α = 3 + \frac{7 r + 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} . r = \frac{3 (7 r^{2} + 11 s^{2}) + (7 r + 11 s) . r}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{(21 r^{2} + 33 s^{2}) + (7 r^{2} + 11 s r)}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{28 r^{2} + 11 s r + 33 s^{2}}{7 r^{2} + 11 s^{2}}$

$b + k β = 4 + \frac{7 r + 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} . (- r) = \frac{4 (7 r^{2} + 11 s^{2}) + (7 r + 11 s) (- r)}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{(28 r^{2} + 44 s^{2}) + (- 7 r^{2} - 11 s r)}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{21 r^{2} - 11 s r + 44 s^{2}}{7 r^{2} + 11 s^{2}}$

$c + k γ = 5 + \frac{7 r + 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} . s = \frac{5 (7 r^{2} + 11 s^{2}) + (7 r + 11 s) . s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{(35 r^{2} + 55 s^{2}) + (7 s r + 11 s^{2})}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{35 r^{2} + 7 s r + 66 s^{2}}{7 r^{2} + 11 s^{2}}$

$d + k δ = - 6 + \frac{7 r + 11 s}{7 r^{2} + 11 s^{2}} . (- s) = \frac{- 6 (7 r^{2} + 11 s^{2}) + (- 7 s r - 11 s^{2})}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{- 42 r^{2} - 66 s^{2} - 7 s r - 11 s^{2}}{7 r^{2} + 11 s^{2}} = \frac{- 42 r^{2} - 7 s r - 77 s^{2}}{7 r^{2} + 11 s^{2}}$

طبق آن‌چه گفتیم این چهار عدد در معادله زیر صدق می‌کنند:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 0$

چون در هر چهار عدد، مخرج‌ها برابرند، می‌توان از مخرج‌ها صرف‌نظر کرد یعنی صورت‌های این کسرها هم در معادله صادق خواهند بود، به این ترتیب جواب‌های معادله ما به‌ازای هر مقدار دل‌خواه $r$ و $s$ به‌صورت زیر هستند:

$\{\begin{cases} x = 28 r^{2} + 11 s r + 33 s^{2} \\ y = 21 r^{2} - 11 s r + 44 s^{2} \\ z = 35 r^{2} + 7 s r + 66 s^{2} \\ t = - 42 r^{2} - 7 s r - 77 s^{2} \end{cases}$

که البته اگر مجموع مکعبات آنها را حساب کنیم، صحت حکم محقق می‌شود.

اگر در این روابط $r$ و $s$ را مقادیر دل‌خواه فرض کنیم، جواب‌های مختلف معادله مفروض به‌دست می‌آید.

در حالتی که به‌ازای مقادیری از $r$ و $s$ جواب‌هایی به‌دست آید که مقسوم علیه مشترکی داشته باشند، می‌توان آنها را به این مقسوم علیه مشترک تقسیم کرد و جواب‌های جدیدی به‌دست آورد.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

نظریه اعداد

معادلات سیال (حالت پنجم)

حل معادلات سیال به‌فرم $x^{2} + y^{2} + z^{2} = u^{2}$

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟

نظریه اعداد

معادلات سیال (حالت پنجم)

حل معادلات سیال به‌فرم x2+y2+z2=u2

حل معادلات سیال به‌فرم $x^{2} + y^{2} + z^{2} = u^{2}$