سرفصل‌های این مبحث

توان در ریاضی

نماد‌ علمی

آخرین ویرایش: 16 آبان 1403

دسته‌بندی: توان در ریاضی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مقدمه

آیا می‌دانید دور کره‌ زمین در استوا چند متر است؟

اندازه ‌گیری‌ ها نشان می‌دهد که این طول تقریبا $40 / 000 / 000$ متر است.

اگر طول هر مورچه یک میلیمتر باشد، چند مورچه لازم است تا با هم دور کره‌ زمین در استوا را بپوشانند؟

چون هر متر $1 / 000$ میلیمتر است، پس $40 / 000 / 000 / 000$ مورچه برای این کار لازم است.

آیا می‌توانید این عدد را بخوانید؟

این عدد چند صفر دارد؟

در عمل به عددهای بزرگتر از این هم برخورد می‌کنیم.

قطر کهکشان راه شیری چند متر است؟ آیا می‌توان چنین اعدادی را روی کاغذ نوشت؟

روشن است که این شیوه‌ نوشتن برای اعداد بزرگ مناسب نیست.

اگر هم بنویسیم، نمی‌توانیم متوجه میزان بزرگی آنها شویم و محاسبه‌ای روی آنها انجام دهیم.

یکی از کاربردهای توان در اعداد، نوشتن اعداد بسیار بزرگ و اعداد بسیار کوچک به صورت توانی است.

نماد علمی اعداد بسیار بزرگ توانی

یکی از شیوه‌های نوشتن اعداد بزرگ، استفاده از توان‌ های مثبت $10$ است.

مثلا $10^{40}$ عدد بسیار بزرگی است و اگر بخواهیم با شیوه‌های معمولی آن را بنویسیم، می‌بایست چهل صفر جلوی $1$ بگذاریم.

هیچ کس با یک نگاه نمی‌تواند تعداد این صفر‌ها را بشمارد و مقدار واقعی این عدد را تشخیص دهد.

اما نمایش آن به صورت $10^{40}$ به خوبی اندازه‌ این عدد را نشان می‌دهد و کار محاسباتی با آن را عملی می‌کند.

هر عدد مثبت اعشاری را می‌توان به شکل‌های گوناگونی به صورت ضرب یک عدد اعشاری در توان مثبتی از $10$ نوشت.

به عنوان نمونه داریم:

نماد علمی - پیمان گردلو

نکته

اعداد نجومی

هیچ‌کس مانند منجم‌ها و ستاره‌شناسان عمل توان رسانی را این قدر وسیع به کار نمی‌برند.

منجمین در هر قدم به اعداد بزرگی که دارای یکی دو رقم با معنی و تعداد زیادی صفر می‌باشند، برخورد می‌کنند.

نمایش این اعداد بزرگ که اعداد نجومی نام دارد به شکل معمولی، مخصوصا در هنگام محاسبات، مناسب نیست.

مثلا فاصله تا سحاب آندرومد را اگر به شکل معمولی بنویسیم با این تعداد کیلومتر بیان می‌شود:

$95 / 000 / 000 / 000 / 000 / 000 / 000$

در انجام محاسبات نجومی اغلب لازم است که فواصل سماوی نه به کیلومتر یا واحدهای بزرگ‌تری بلکه بر حسب سانتی متر بیان شود.

در این‌صورت فاصله فوق با عددی که دارای پنج صفر دیگر می‌باشد، بیان می‌شود:

$9 / 500 / 000 / 000 / 000 / 000 / 000 / 000 / 000$

عمل توان، راه ساده‌ای برای حل این مشکل به محاسبه‌گران نشان می‌دهد.

عدد یک که در پهلوی آن صفرها قرار دارند، توانی معین از ده می باشد:

$\{\begin{cases} 100 = 10^{2} \\ 1000 = 10^{3} \\ 10000 = 10^{4} \end{cases}$

دو عدد فوق که قبلا ذکر شد، به شکل زیر ارائه می‌شود:

$\begin{array}{l} 95 \times 10^{18} \\ 95 \times 10^{23} \end{array}$

این‌کار نه تنها به خاطر صرفه‌جویی در جا صورت می‌گیرد بلکه برای آسانی محاسبه می‌باشد.

تمرین

اعداد زیر را به صورت نماد علمی در پایه $10$ نمایش دهید.

$24087 / 64$

$\begin{array}{l} = 2408 / 764 \times 10^{1} \\ = 240 / 8764 \times 10^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 24 / 08764 \times 10^{3} \\ = 2 / 408764 \times 10^{4} \end{array}$

$5432 \times 10^{12}$

$= 5 / 432 \times 10^{15}$

$0 / 0672 \times 10^{14}$

$= 6 / 72 \times 10^{12}$

$10234560000$

$1 / 0234560000 \times 10^{10}$

تمرین

اعداد زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.

$\{\begin{cases} 9 / 89 \times 10^{4} \\ 99000 \\ 1 \times 10^{5} \\ 98 \times 10^{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 9 / 89 \times 10^{4} = 9 / 89 \times 10 / 000 = 98900 \\ 99000 \\ 1 \times 10^{5} = 1 \times 100 / 000 = 100 / 000 \\ 98 \times 10^{3} = 98 \times 1000 = 98000 \end{cases}$

$\begin{array}{l} 98000 < 98900 < 99000 < 100 / 000 \\ \Rightarrow 98 \times 10^{3} < 9 / 89 \times 10^{4} < 99000 < 1 \times 10^{5} \end{array}$

تمرین

جرم زمین و ماه و خورشید تقریبا معادل اعداد زیر برحسب کیلوگرم هستند:

$6 / 0 \times 10^{24}$

$7 / 34 \times 10^{22}$

$2 / 0 \times 10^{30}$

جرم زمین چند برابر جرم ماه است؟

جرم زمین را بر جرم ماه تقسیم می‌کنیم:

$\frac{6 / 0 \times 10^{24}}{7 / 34 \times 10^{22}} ≃ 8 / 17 \times 10$

جرم خورشید چند برابر جرم زمین است؟

$\frac{2 / 0 \times 10^{30}}{6 / 0 \times 10^{24}} ≃ 3 / 33 \times 10^{5}$

تمرین

شعاع خورشید تقریبا $695000$ کیلومتر است، این عدد را با نماد علمی به صورت زیر نمایش می‌دهیم:

$6_{/} 95 \times 10^{5}$

قطر خورشید حدود $1 / 4 \times 10^{9}$ متر و قطر زمین حدود $1 / 3 \times 10^{7}$ متر است.قطر خورشید تقریبا چند برابر قطر زمین است؟

$\frac{1_{/} 4 \times 10^{9}}{1_{/} 3 \times 10^{7}} = \frac{14}{13} \times \frac{10^{8}}{10^{6}} = 1_{/} 07 \times 10^{2} ≃ 107$

فاصله مریخ از زمین $9 / 17 \times 10^{7}$ کیلومتر و فاصله کیوان از زمین $6 / 287 \times 10^{8}$ است. با مقایسه این دو عدد مشخص کنید که کدام یک به زمین، نزدیکتر می‌باشد؟

$\{\begin{cases} 6 / 287 \times 10^{8} \\ 9 / 17 \times 10^{7} \end{cases}〉 62_{/} 87 \times 10^{7} > 9_{/} 17 \times 10^{7}$

با مقایسه این دو عدد مشخص است که مریخ به زمین، نزدیکتر می‌باشد.

نماد علمی اعداد بسیار کوچک توانی

جرم یک ذره غبار تقریبا $0 / 0000000067$ کیلوگرم است.

مشکل نمایش معمولی در اعداد بسیار بزرگ، برای اعداد بسیار کوچک هم وجود دارد.

برای نمایش اعداد بسیار کوچک، می‌توان از توان ‌های منفی $10$ استفاده کرد.

اعداد اعشاری بسیار کوچک را می‌توان به صورت ضرب یک عدد اعشاری با قسمت صحیح یک رقمی مخالف صفر در یک توان منفی از $10$ نمایش داد.

مثلا اندازه یک باکتری $0 / 0000005$ متر است، این عدد را با نماد علمی به صورت $5 \times 10^{- 7}$ نمایش می‌دهیم.

به عنوان نمونه داریم:

نماد علمی - پیمان گردلو

تمرین

اعداد زیر را به صورت نماد علمی در پایه $10$ نمایش دهید.

$0 / 0000000067$

$\begin{array}{l} = 6 / 7 \times \frac{1}{10^{9}} \\ = 6 / 7 \times 10^{- 9} \end{array}$

$0 / 00004567$

$= 4 / 567 \times 10^{- 5}$

$0 / 0001023 \times 10^{- 7}$

$= 1 / 023 \times 10^{- 11}$

$672 \times 10^{- 17}$

$= 6 / 72 \times 10^{- 15}$

تمرین

اعدا زیر را از بزرگ به کوچک مرتب کنید.

$\begin{array}{l} 0 / 46, 0 / 488, - \frac{1}{2}, - \frac{26}{50}, \frac{505}{1000}, 0 / 47 \end{array}$

$\{\begin{cases} \frac{505}{1000} \\ 0 / 488 = \frac{488}{1000} \\ - \frac{1}{2} = - \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = - \frac{5}{10} = - \frac{5 \times 100}{10 \times 100} = - \frac{500}{1000} \\ 0 / 47 = \frac{47}{100} = \frac{47 \times 10}{100 \times 10} = \frac{470}{1000} \\ - \frac{26}{50} = - \frac{26 \times 20}{50 \times 20} = - \frac{520}{1000} \\ 0 / 46 = \frac{46}{100} = \frac{46 \times 10}{100 \times 10} = \frac{460}{1000} \end{cases}$

$\begin{array}{l} - \frac{520}{1000} < - \frac{500}{1000} < \frac{460}{1000} < \frac{470}{1000} < \frac{488}{1000} < \frac{505}{1000} \\ \Rightarrow - \frac{26}{50} < - \frac{1}{2} < 0 / 46 < 0 / 47 < 0 / 488 < \frac{505}{1000} \end{array}$

نکته

به طور کلی نماد علمی هر عدد اعشاری مثبت به صورت $a \times 10^{n}$ است که در آن $n, 1 \leq a < 10$ عدد صحیح است.

به نمونه‌های عددی زیر توجه کنید:

$\begin{array}{l} 125 = 1 / 25 \times 10^{2}; \{\begin{cases} 1 \leq 1 / 25 < 10 \\ 2 \in Z \end{cases} \end{array}$

$0 / 125 = 1 / 25 \times 10^{- 1}; \{\begin{cases} 1 \leq 1 / 25 < 10 \\ - 1 \in Z \end{cases}$

تمرین

نماد علمی اعداد زیر را بنویسید.

$26478914$

$= 2 / 6478914 \times 10^{7}$

$0 / 0004892$

$= 4 / 892 \times 10^{- 4}$

$12 \times 150000$

$\begin{matrix} = 1800000 \\ = 1 / 8 \times 10^{6} \end{matrix}$

$200 \times 423 + 2$

$\begin{array}{l} = 84602 \\ = 8 / 4602 \times 10^{4} \end{array}$

$12 / 8 \times 10^{4} \times 5^{6}$

$\begin{array}{l} = 12 / 8 \times 10^{4} \times 15625 \\ = 200000 \times 10^{4} \\ = 2 \times 10^{5} \times 10^{4} \\ = 2 \times 10^{9} \end{array}$

$\frac{32 \times 11 \times 10^{12}}{44 \times 80}$

$\begin{array}{l} = \frac{352 \times 10^{12}}{3520} \\ = \frac{(3 / 52 \times 10^{2}) \times 10^{12}}{3 / 52 \times 10^{3}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{10^{14}}{10^{3}} \\ = 10^{14 - 3} \\ = 10^{11} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{20000} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2 \times 10^{4}} \\ = \frac{1}{2} \times 10^{- 4} \\ = 0 / 5 \times 10^{- 4} \end{array}$

$\begin{array}{l} = 5 \times 10^{- 1} \times 10^{- 4} \\ = 5 \times 10^{- 5} \end{array}$

دریافت مثال

دریافت فایل PDF

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

جرم کره زمین، چند مرتبه از تمامی هوای اطراف آن بیشتر است؟

$10^{3}$
$10^{4}$
$10^{5}$
$10^{6}$

مشاهده پاسخ تست

تست شماره 2

سوختن بدون شعله و گرما

هرگاه از شیمیدانی بپرسید که چرا چوب و ذغال تنها در درجه بالا می‌سوزد، برایتان می‌گوید که ترکیب کربن با اکسیژن در هر درجه حرارت صورت می‌گیرد منتها در درجه حرارت‌های پائین این فرایند بسیار کند است و در فعل و انفعال تعداد بسیار کمی مولکول شرکت می‌کند و بنابراین از نظر ما محو می‌شود.

قانونی که سرعت فعل و انفعالات شیمیایی را مشخص می‌کند، چنین حکم می‌کند:

در اثر پایین رفتن درجه حرارت به‌اندازه $10$ درجه، سرعت فعل و انفعال یعنی تعداد مولکول‌های شرکت کننده در آن، دو برابر کم می‌شود.

فرض کنیم در حرارت $600$ درجه در هر ثانیه یک گرم چوب بسوزد.

در چه مدت زمانی یک گرم چوب در حرارت $20$ درجه خواهد سوخت و این فاصله زمانی، برابر چند سال خواهد بود؟

$2^{58}$ ثانیه و به مدت ده میلیارد سال طول می‌کشد.
$2^{50}$ ثانیه و به مدت نه میلیارد سال طول می‌کشد.
$2^{45}$ ثانیه و به مدت هفت میلیارد سال طول می‌کشد.
$2^{40}$ ثانیه و به مدت شش میلیارد سال طول می‌کشد.

مشاهده پاسخ تست

خرید پاسخ‌ها

نماد‌علمی

3,000تومان

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

توان

نماد‌ علمی

مقدمه

نماد علمی اعداد بسیار بزرگ توانی

نماد علمی اعداد بسیار کوچک توانی

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟