سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

مخروط

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: هندسه فضائی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

هرم منتظمی را در نظر بگیرید که قاعده آن یک چند ضلع منتظم باشد، مانند مربع، پنج ضلعی منتظم، شش ضلعی و.....

حال تعداد اضلاع این چند ضلعی را بیش‌تر و بیش‎تر می‌کنیم به‌طوری‌که قاعده آن به شکل دایره تبدیل شود، در این صورت شکل به‌دست را آمده را مخروط می‌نامیم.

هرم - پیمان گردلو

مخروط، شکلی شبیه به هرم منتظم است که قاعده آن به‌شکل دایره و پای ارتفاع مخروط مرکز این دایره است.

هرم - پیمان گردلو

تعریف مخروط

اگر یک مثلث قائم‌الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائم دوران دهیم، شکل فضایی پدید می‌آید که آن‌را مخروط می‌نامیم.

$A B$ ضلعی است که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم که ارتفاع مخروط است.

$B C$ ضلع دیگر زاویه قائمه است که شعاع مخروط است.

$A C$ وتر مثلث مولد مخروط است.

هرم - پیمان گردلو

از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول وتر آن، دو مخروط با قاعده یکسان و به‌هم چسبیده در قاعده به‌دست می‌آید.

مساحت جانبی مخروط

روی صفحه کاغذ یک دایره به‌شعاع $l$ رسم می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

در این دایره، قطاعی به زاویه $α$ درجه جدا می‌کنیم، طول کمان مقابل به زاویه $α$ (کمان $A B$ ) را برحسب $α$ و $l$ به‌دست می‌آوریم:

قطاع قسمتی از دایره است که بین دو شعاع دایره محصور است.

هرم - پیمان گردلو

مساحت این قطاع را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

قطاعی را که بریده‌ایم طوری لوله می‌کنیم که دو لبه مستقیم آن به‌هم برسند و بعد این لبه را می‌چسبانیم.

با انجام این کار یک مخروط دوار ساخته‌ایم که دارای خواص زیر است:

هرم - پیمان گردلو

مولد این مخروط برابر شعاع دایره اولیه است.
محیط قاعده این مخروط همان طول کمان مقابل به زاویه $α$ است.
مساحت جانبی این مخروط همان مساحت قطاع بریده شده است.

برای این‌که مساحت جانبی مخروط بر حسب $l$ (مولد) و $r$ (شعاع قاعده) قابل بیان باشد، ابتدا $r$ را برحسب $l$ و $α$ محاسبه می‌کنیم:

$\frac{2 π l α}{360^{\circ}} = 2 π r \Rightarrow r = \frac{L α}{360^{\circ}}$

مساحت جانبی مخروط عبارت است از:

$S_{O A B} = \frac{π l^{2} α^{\circ}}{360^{\circ}} = π l \times \frac{l α^{\circ}}{360^{\circ}} = π l r = \frac{(2 π r) l}{2}$

در فرمول فوق:

$2 πr$ محيط قاعده مخروط است.
$l$ مولد مخروط است.

تمرین

مساحت جانبی شکل زیر را محاسبه کنید.

$\begin{array}{l} S = π r l; l = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}, r = 6 \\ \Rightarrow S = π (6) \sqrt{6^{2} + 8^{2}} \\ \Rightarrow S = π .6. \sqrt{100} \\ \Rightarrow S = π .6.10 \\ \Rightarrow S = 60 π \end{array}$

تمرین

مثلث قائم‌الزاویه‌ای به اضلاع $5, 4, 3$ را مطابق شکل زیر دوران داده‌ایم:

هرم - پیمان گردلو

مساحت جانبی مخروط پدید آمده چند واحد مربع است؟

$\{\begin{cases} l = 5 \\ r = 3 \end{cases}$

$S = π r l = π \times 3 \times 5 = 15 π$

حجم مخروط

حجم یک مخروط را می‌توان با حجم یک هرم با قاعده چند‌ضلعی منتظم تقریب زد:

ارتفاع $\times$ مساحت قاعده $= \frac{1}{3} \times$ حجم مخروط

هر اندازه تعداد اضلاع این چند‌ضلعی بیش‌تر می‌شود، مساحت قاعده هرم به مساحت قاعده مخروط نزدیک‌تر می‌شود و در نتیجه، حجم هرم به حجم مخروط نزدیک‌تر می‌گردد، بنابراین:

هرم - پیمان گردلو

در شکل فوق حجم یک مخروط با شعاع قاعده $r$ و ارتفاع $h$ برابر است با:

$V = \frac{1}{3} (π r^{2}) h$

تمرین

اندازه ارتفاع يک مخروط سه برابر شعاع قاعده آن استه، حجم اين مخروط از نظر عددی چند برابر مساحت قاعده می‌باشد؟

هرم - پیمان گردلو

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π r^{2} \times (3 r) = π r^{3} = r \times (π r^{2})$

يک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع $a$ را حول يکی از ارتفاع هايش دوران می‌دهيم، حجم و مساحت جانبی مخروط حادث را بيابيد.

هرم - پیمان گردلو

$a^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow h^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

ارتفاع اين مثلث متساوی الاضلاع $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ است. مولد اين مخروط $l = a$ و شعاع قاعده اش $r = \frac{a}{2}$ است.

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{2} \times (\frac{a \sqrt{3}}{2}) = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{24}$

$S = π r l = π \times \frac{a}{2} \times a = \frac{π a^{2}}{2}$

شکل زير را حول ضلع $A D$ دوران کامل می‌دهيم، حجم حادث چند واحد مکعب است؟

اگر اين شکل را حول $A D$ دوران دهيم، حجم حادث متشکل از يک استوانه و از يک مخروط است.

هرم - پیمان گردلو

ارتفاع مخروط $24 - 15 = 9$ واحد و شعاع قاعده اش $18$ واحد است.

ارتفاع استوانه $15$ واحد و شعاع قاعده اش $18$ واحد است.

حجم مخروط:

$\frac{1}{3} π r^{2} h ≃ \frac{1}{3} \times 3.14 \times 18^{2} \times 9 = 3052.08$

حجم استوانه:

$π {r^{'}}^{2} h^{'} ≃ 3.14 \times 18^{2} \times 15 = 15260.4$

حجم کل:

$3052.08 + 15260.4 = 18312.48$

مساحت جانبی مخروطی $628 c m^{2}$ و مولد آن $20 c m$ است، حجم اين مخروط را به‌دست آوريد.

هرم - پیمان گردلو

$S = π r l = 628 \Rightarrow r = \frac{628}{3.14 \times 20} = 10 c m$

$h^{2} = l^{2} - r^{2} = 20^{2} - 10^{2} = 300 \Rightarrow h = 10 \sqrt{3}$

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 100 \times 10 \sqrt{3} = \frac{3140 \sqrt{3}}{3}$

شعاع قاعده يک مخروط $51 c m$ و ارتفاع آن يک متر است، حجم آن چند ليتر است؟

$V = \frac{1}{3} \times π \times 51^{2} \times 100 ≃ 272238 c m^{3} = 272.238$

مساحت قاعده مخروطی $78.5 c m^{2}$ و حجم آن $157 c m^{3}$ است، ارتفاع مخروط چند سانتی متر است؟

$157 = \frac{1}{3} \times 78.5 \times h \Rightarrow h = 6 c m$

ذوزنقه قائم الزاويه ای که قاعده های آن $10$ و $20$ سانتی متر و ساق قائم آن $8$ باشد، را حول ساق قائم آن دوران می‌دهيم، حجم شکل حاصل را حساب کنيد.

اگر ذوزنقة قائم الزاويه ای را حول ساق قائم آن دوران دهيم يک مخروط ناقص پديد می‌آيد:

هرم - پیمان گردلو

$\begin{matrix} A B ||C D \\ \Rightarrow \frac{h}{h + 8} = \frac{10}{20} \\ \Rightarrow \frac{h}{h + 8} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow 2 h = h + 8 \\ \Rightarrow h = 8 \end{matrix}$

حجم مخروط ناقص:

$\begin{array}{l} (\frac{1}{3} \times π \times 20^{2} \times O D) - (\frac{1}{3} \times π \times 10^{2} \times h) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (\frac{1}{3} \times π \times 20^{2} \times 16) - (\frac{1}{3} \times π \times 10^{2} \times 8) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{6400 π}{3} - \frac{800 π}{3} \\ = \frac{5600 π}{3} \end{array}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه فضائی

مخروط

تعریف مخروط

مساحت جانبی مخروط

حجم مخروط

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟