مخروط

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه فضائی
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

هرم منتظمی را در نظر بگیرید که قاعده آن یک چند ضلع منتظم باشد، مانند مربع، پنج ضلعی منتظم، شش ضلعی و.....

حال تعداد اضلاع این چند ضلعی را بیش‌تر و بیش‎تر می‌کنیم به‌طوری‌که قاعده آن به شکل دایره تبدیل شود، در این صورت شکل به‌دست را آمده را مخروط می‌نامیم.

هرم - پیمان گردلو

مخروط، شکلی شبیه به هرم منتظم است که قاعده آن به‌شکل دایره و پای ارتفاع مخروط مرکز این دایره است.

هرم - پیمان گردلو

تعریف مخروط

اگر یک مثلث قائم‌الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائم دوران دهیم، شکل فضایی پدید می‌آید که آن‌را مخروط می‌نامیم.

AB ضلعی است که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم که ارتفاع مخروط است.

BC ضلع دیگر زاویه قائمه است که شعاع مخروط است.

AC وتر مثلث مولد مخروط است.

هرم - پیمان گردلو

از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول وتر آن، دو مخروط با قاعده یکسان و به‌هم چسبیده در قاعده به‌دست می‌آید.

مساحت جانبی مخروط

روی صفحه کاغذ یک دایره به‌شعاع l رسم می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

در این دایره، قطاعی به زاویه α درجه جدا می‌کنیم، طول کمان مقابل به زاویه α (کمان AB) را برحسب α و l به‌دست می‌آوریم:

قطاع قسمتی از دایره است که بین دو شعاع دایره محصور است.

 هرم - پیمان گردلو

مساحت این قطاع را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

هرم - پیمان گردلو

قطاعی را که بریده‌ایم طوری لوله می‌کنیم  که دو لبه مستقیم آن به‌هم برسند و بعد این لبه را می‌چسبانیم.

با انجام این کار یک مخروط دوار ساخته‌ایم که دارای خواص زیر است:

هرم - پیمان گردلو

  • مولد این مخروط برابر شعاع دایره اولیه است.
  • محیط قاعده این مخروط همان طول کمان مقابل به زاویه α است.
  • مساحت جانبی این مخروط همان مساحت قطاع بریده شده است. 

برای این‌که مساحت جانبی مخروط بر حسب l (مولد) و r (شعاع قاعده) قابل بیان باشد، ابتدا r را برحسب l و α محاسبه می‌کنیم:

2πlα360=2πrr=Lα360

مساحت جانبی مخروط عبارت است از: 

SOAB=πl2α360=πl×lα360=πlr=2πrl2

در فرمول فوق:

  • 2πr محيط قاعده مخروط است.
  • l مولد مخروط است.

تمرین

مثلث قائم‌الزاویه‌ای به اضلاع 5,4,3 را مطابق شکل زیر دوران داده‌ایم:

هرم - پیمان گردلو

مساحت جانبی مخروط پدید آمده چند واحد مربع است؟

l=5r=3


S=πrl=π×3×5=15π

حجم مخروط

حجم یک مخروط را می‌توان با حجم یک هرم با قاعده چند‌ضلعی منتظم تقریب زد:

 ارتفاع×مساحت قاعده=13×حجم مخروط

هر اندازه تعداد اضلاع این چند‌ضلعی بیش‌تر می‌شود، مساحت قاعده هرم به مساحت قاعده مخروط نزدیک‌تر می‌شود و در نتیجه، حجم هرم به حجم مخروط نزدیک‌تر می‌گردد، بنابراین:

هرم - پیمان گردلو

در شکل فوق حجم یک مخروط با شعاع قاعده r و ارتفاع h برابر است با:

V=13πr2h

تمرین

اندازه ارتفاع يک مخروط سه برابر شعاع قاعده آن استه، حجم اين مخروط از نظر عددی چند برابر مساحت قاعده می‌باشد؟

هرم - پیمان گردلو

V=13πr2h=13πr2×3r=πr3=r×πr2

يک مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a را حول يکی از ارتفاع هايش دوران می‌دهيم، حجم و مساحت جانبی مخروط حادث را بيابيد.

هرم - پیمان گردلو

a2=h2+a24h2=3a24h=a32


ارتفاع اين مثلث متساوی الاضلاع h=a32 است. مولد اين مخروط l=a و شعاع قاعده اش r=a2 است.

V=13πr2h=13πa22×a32=πa3324


S=πrl=π×a2×a=πa22

شکل زير را حول ضلع AD دوران کامل می‌دهيم، حجم حادث چند واحد مکعب است؟

هرم - پیمان گردلو

اگر اين شکل را حول AD دوران دهيم، حجم حادث متشکل از يک استوانه و از يک مخروط است. 


هرم - پیمان گردلو 


ارتفاع مخروط 24-15=9 واحد و شعاع قاعده اش 18واحد است.


ارتفاع استوانه 15 واحد و شعاع قاعده اش 18 واحد است.

 
حجم مخروط:

13πr2h13×3.14×182×9=3052.08


حجم استوانه:

πr'2h'3.14×182×15=15260.4


حجم کل:

3052.08+15260.4=18312.48

مساحت جانبی مخروطی 628cm2 و مولد آن 20 cm است، حجم اين مخروط را به‌دست آوريد. 

هرم - پیمان گردلو


S=πrl=628r=6283.14×20=10cm


h2=l2r2=202102=300h=103


V=13πr2h=13×3.14×100×103=314033

شعاع قاعده يک مخروط 51cm و ارتفاع آن يک متر است، حجم آن چند ليتر است؟

V=13×π×512×100272238cm3=272.238

مساحت قاعده مخروطی 78.5cm2 و حجم آن 157cm3 است، ارتفاع مخروط چند سانتی متر است؟

157=13×78.5×hh=6cm

ذوزنقه قائم الزاويه ای که قاعده های آن 10 و 20 سانتی متر و ساق قائم آن 8 باشد، را حول ساق قائم آن دوران می‌دهيم، حجم شکل حاصل را حساب کنيد.

هرم - پیمان گردلو

اگر ذوزنقة قائم الزاويه ای را حول ساق قائم آن دوران دهيم يک مخروط ناقص پديد می‌آيد:


هرم - پیمان گردلو


ABCDhh+8=1020hh+8=122h=h+8h=8


حجم مخروط ناقص:

13×π×202×OD13×π×102×h=13×π×202×1613×π×102×8=6400π3800π3=5600π3

برای ارسال نظر وارد سایت شوید