سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

استوانه

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: هندسه فضائی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

در شکل زیر مستطیل $A B C D$ را حول طول آن دوران داده‌ایم.

شکل فضایی حاصل، استوانه نامیده می‌شود که طول مستطیل، ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو

مساحت جانبی برابر است با محیط قاعده در ارتفاع:

$(2 π r) h = 2 π r h$

مساحت کل استوانه برابر است با مجموع مساحت جانبی و دو برابر مساحت قاعده:

$2 π r h + 2 π r^{2}$

حجم استوانه برابر است با مساحت قاعده در ارتفاع:

$π r^{2} h$

نکته

1- فرمول‌های مساحت جانبی، مساحت کل و حجم برای استوانه مانند منشور است.

2- اگر یک مستطیل به طول و عرض مشخص را از طول آن لوله کنیم، طول مستطیل برابر با ارتفاع استوانه و عرض مستطیل برابر با محیط قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو

3- اگر یک مستطیل به‌طول و عرض مشخص را از عرض آن لوله کنیم، عرض مستطیل برابر با ارتفاع استوانه و طول مستطیل برابر با محیط قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو

تذکر

1- مقایسه حجم استوانه و مخروط

فرمول های محاسبه حجم برای استوانه ها و مخروط ها بسیار مشابه هم هستند.

استوانه - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} V_{o s t o v a n e h} = π . r^{2} . h \\ V_{m a k h r o t} = \frac{1}{3} π . r^{2} . h \end{array}$

حجم مخروط همواره $\frac{1}{3}$ حجم استوانه است. به عبارت دیگر حجم استوانه همواره $3$ برابرحجم مخروط است.

2- مقایسه حجم استوانه و کره

استوانه - پیمان گردلو

برای آن‌که کره به‌طور کامل در داخل استوانه قرار گیرد، باید ارتفاع استوانه را دو برابر کنیم:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} V_{o s t o v a n e h} = π . r^{2} . h = π . r^{2} . (2 r) = 2 π . r^{3} \\ V_{k o r e h} = \frac{4}{3} π . r^{3} \end{cases} \end{array}$

$V_{k o r e h} = \frac{4}{3} π . r^{3} = \frac{2}{3} . (2 π . r^{3}) = \frac{2}{3} V_{o s t o v a n e h}$

حجم کره همواره $\frac{2}{3}$ حجم استوانه است.

توجه شود که اگر دو سر استوانه را برداریم، مساحت آن دقیقا با کره یک‌سان است:

استوانه - پیمان گردلو

3- مقایسه حجم استوانه و کره و مخروط

مجموع حجم مخروط و کره با هم معادل حجم یک استوانه است:

استوانه - پیمان گردلو

تمرین

مساحت جانبی، مساحت کل و حجم استوانه ای به شعاع قاعده $3$ و ارتفاع $5$ را تعيين کنيد.

مساحت جانبی:

$2 π r h = 2 π \times 3 \times 5 = 30 π$

مساحت کل:

$2 π r h + 2 π r^{2} = 30 π + (2 \times 9 π) = 48 π$

حجم استوانه:

$π r^{2} h = π \times 3^{2} \times 5 = 45 π$

محيط قاعده يک استوانه $18.84$ متر است. اگر ارتفاع استوانه $5$ متر باشد، حجم استوانه چند متر مکعب است؟

مساحت جانبی:

$2 π r h$

مساحت کل استوانه:

$2 π r h + 2 π r^{2}$

حجم استوانه:

$\begin{array}{l} π r^{2} h \\ 2 π r = 18.84 \Rightarrow r = \frac{18.84}{2 π} ≃ \frac{18.84}{6.28} = 3 m \end{array}$

حجم:

$π r^{2} h ≃ 3.14 \times 3^{2} \times 5 = 141.3 m^{3}$

شکل زير را حول ضلع $A B$ دوران می‌دهيم، حجم شکل حاصل را به‌دست آوريد.

حجم استوانه:

$π r^{2} h$

وقتی اين شکل دوران يابد، دو استوانه پديد می‌آيد، برای استوانه کوچک شعاع قاعده $5$ و ارتفاع $4$ سانتی متر و برای استوانه بزرگ شعاع قاعده $20$ و ارتفاع $6$ سانتی متر است.

حجم استوانه کوچک:

$π \times 5^{2} \times 4 = 100 π$

حجم استوانه بزرگ:

$π \times 20^{2} \times 6 = 2400 π$

حجم شکل حاصل:

$100 π + 2400 π = 2500 π$

يک مستطيل به ابعاد $5, 3$ را يک‌بار حول طول و يک‌بار حول عرض، دوران کامل می‌دهيم، مساحت جانبی، مساحت کل، حجم را در هر دو حالت حساب کرده و با هم مقايسه کنيد.

مساحت جانبی:

$2 πrh$

مساحت کل استوانه:

$2 π r h + 2 π r^{2}$

حجم استوانه:

$π r^{2} h$

حالت اول- حول عرض دوران می‌دهيم:

استوانه - پیمان گردلو

مساحت جانبی:

$2 π \times 5 \times 3 = 30 π$

مساحت کل:

$30 π + (2 \times π \times 5^{2}) = 30 π + 50 π = 80 π$

حجم:

$π \times 5^{2} \times 3 = 75 π$

حالت دوم- حول طول دوران می‌دهيم:

استوانه - پیمان گردلو

مساحت جانبی:

$2 π \times 5 \times 3 = 30 π$

مساحت کل استوانه:

$30 π + (2 \times π \times 3^{2}) = 48 π$

حجم:

$π \times 3^{2} \times 5 = 45 π$

ملاحظه می‌شود که مساحت جانبی در هر مرحله ثابت می‌ماند، حجم و مساحت کل در حالت دوم کمتر از حجم و مساحت کل در حالت اول است.

مستطيل $A B C D$ را حول خط گذرنده از $M$ و $N$ وسط های $A B$ و $C D$ به اندازه $90^{\circ}$ دوران می‌دهيم، اگر $A D = 4$ و $A B = 2$ باشد، مساحت جانبی، مساحت کل و حجم شکل فضای ايجاد شده را تعيين کنيد.

مساحت جانبی برابر است با حاصل ضرب ارتفاع در محيط قاعده:

$(2 π r) \times 4 = 16 π$

حجم:

$\frac{1}{2} [π {(\frac{r}{2})}^{2} h] = \frac{1}{2} (π \times 1^{2} \times 4) = 2 π$

شکل زیر را حول $A B$ دوران کامل می‌دهيم، حجم حاصل را به‌دست آوريد.

حجم استوانه بالايی:

$π \times 1^{2} \times 4 = 4 π$

حجم استوانه وسط:

$π \times 2^{2} \times 2 = 8 π$

حجم استوانه پايين:

$π \times 4^{2} \times 1 = 16 π$

حجم کل:

$4 π + 8 π + 16 π = 28 π$

مربعی به ضلع $4 c m$ را يک بار حول يکی از اضلاع، يک بار حول خط گذرنده از وسط دو ضلع دوران می‌دهيم، حجم های حادث را تعيين کنيد.

استوانه - پیمان گردلو

$π r^{2} h = π \times 4^{2} \times 4 = 64 π$

استوانه - پیمان گردلو

$π r^{2} h = π \times 2^{2} \times 4 = 16 π$

استوانه ای به شعاع قاعده $r$ و ارتفاع $h$ در دست است. داخل اين استوانه يک مکعب مستطيل مربع القاعده محاط شده است، حجم اين مکعب مستطيل را بر حسب $r$ و $h$ بيان کنيد.

اگر از بالا به اين دو شکل نگاه کنيم شکل زير مشاهده می‌شود:

استوانه - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} i f B D = 2 r \Rightarrow B C = D C = \sqrt{2} r \\ S_{B D C} = \frac{\sqrt{2} r \times \sqrt{2} r}{2} = r^{2} \\ S_{A B C D} = 2 r^{2} \end{array}$

حجم مکعب مستطيل:

$(2 r^{2}) h$

تمرین

از سه شکل نشان داده شده در زیر، می‌توان برای ساختن کدام یک از اشکال فضایی استفاده کرد؟

استوانه - پیمان گردلو

اگر لبه‌های $A B$ و $C D$ در اطراف خم شده و به‌هم متصل شوند، سطح منحنی یک استوانه را ایجاد می‌کنند. دو دایره به قاعده های استوانه تبدیل می‌شوند.

محاسبه حجم استوانه افقی

استوانه - پیمان گردلو

$r$ شعاع استوانه

$h$ ارتفاعی است که استوانه تا آن پر شده است

برای محاسبه حجم استوانه افقی، ابتدا به محاسبه مساحت $A r e a$ یا همان قطعه $(S e g m e n t)$ می‌پردازیم.

شکل زیر را در نظر می‌گیریم:

استوانه - پیمان گردلو

برای محاسبه مساحت قطعه $(S e g m e n t)$ داریم:

استوانه - پیمان گردلو

$\begin{array}{l} \cos \frac{θ}{2} = \frac{r - h}{r} \Rightarrow \frac{θ}{2} = \cos^{- 1} \frac{r - h}{r} \end{array}$

$\begin{array}{l} b^{2} = r^{2} - {(r - h)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b^{2} = r^{2} - (r^{2} - 2 r h + h^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow b^{2} = 2 r h - h^{2} \end{array}$

$\Rightarrow b = \sqrt{2 r h - h^{2}}$

مساحت نصف مثلث برابر است با:

$\frac{1}{2} S_{△} = \frac{1}{2} (r - h) . b = \frac{(r - h) . \sqrt{2 r h - h^{2}}}{2}$

مساحت کل مثلث برابر است با:

S_{△} = (r - h) . \sqrt{2 r h - h^{2}}

مساحت قطعه

(S e g m e n t)

برابر است با تفاضل مساحت قطاع

(S e c t o r)

و مساحت مثلث:

\begin{matrix} \begin{array}{l} S_{s e g m e n t} = S_{\sec t o r} - S_{△} \end{array} \end{matrix} \begin{array}{l} \Rightarrow S_{s e g m e n t} = \frac{1}{2} θ . r^{2} - (r - h) . \sqrt{2 r h - h^{2}} \\ \Rightarrow S_{s e g m e n t} = \frac{θ}{2} r^{2} - (r - h) . \sqrt{2 r h - h^{2}}; \frac{θ}{2} = \cos^{- 1} \frac{r - h}{r} \\ \Rightarrow S_{s e g m e n t} = \cos^{- 1} \frac{r - h}{r} r^{2} - (r - h) . \sqrt{2 r h - h^{2}} \end{array}

نکته

برای محاسبه حجم استوانه افقی، کافی است مساحت قطعه یعنی $S_{s e g m e n t}$ را در طول استوانه ضرب کنیم.

Torus (توروس)

شکل فضایی زیر به نام Torus (توروس) معروف است:

استوانه - پیمان گردلو

برای محاسبه مساحت سطح Torus داریم:

S_{T o r u s} = (2 π r) \times (2 π R) = 4 π^{2} . r . R

برای محاسبه حجم Torus داریم:

S_{T o r u s} = (π r^{2}) \times (2 π R) = 2 π^{2} . r^{2} . R

تذکر

Torus شبیه استوانه

استوانه - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه فضائی

استوانه

محاسبه حجم استوانه افقی

Torus (توروس)

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟