استوانه

آخرین ویرایش: 17 مهر 1400
دسته‌بندی: هندسه فضائی
امتیاز:

در شکل زیر مستطیل ABCD را حول طول آن دوران داده‌ایم.

شکل فضایی حاصل، استوانه نامیده می‌شود که طول مستطیل، ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو

مساحت جانبی برابر است با محیط قاعده در ارتفاع:

2πrh=2πrh

مساحت کل استوانه برابر است با مجموع مساحت جانبی و دو برابر مساحت قاعده:

2πrh+2πr2

حجم استوانه برابر است با مساحت قاعده در ارتفاع:

πr2h

نکته

1- فرمول‌های مساحت جانبی، مساحت کل و حجم برای استوانه مانند منشور است.

2- اگر یک مستطیل به طول و عرض مشخص را از طول آن لوله کنیم، طول مستطیل برابر با ارتفاع استوانه و عرض مستطیل برابر با محیط قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو


3- اگر یک مستطیل به‌طول و عرض مشخص را از عرض آن لوله کنیم، عرض مستطیل برابر با ارتفاع استوانه و طول مستطیل برابر با محیط قاعده استوانه می‌باشد.

استوانه - پیمان گردلو

تذکر

1- مقایسه حجم استوانه و مخروط

فرمول های محاسبه حجم برای استوانه ها و مخروط ها بسیار مشابه هم هستند.

استوانه - پیمان گردلو

Vostovaneh=π.r2.hVmakhrot=13π.r2.h

حجم مخروط همواره 13 حجم استوانه است. به عبارت دیگر حجم استوانه همواره 3 برابرحجم مخروط است.

2- مقایسه حجم استوانه و کره

استوانه - پیمان گردلو

برای آن‌که کره به‌طور کامل در داخل استوانه قرار گیرد، باید ارتفاع استوانه را دو برابر کنیم:

Vostovaneh=π.r2.h=π.r2.2r=2π.r3Vkoreh=43π.r3Vkoreh=43π.r3=23.2π.r3=23Vostovaneh

حجم کره همواره 23 حجم استوانه است.

توجه شود که اگر دو سر استوانه را برداریم، مساحت آن دقیقا با کره یک‌سان است:

استوانه - پیمان گردلو

استوانه - پیمان گردلو

3- مقایسه حجم استوانه و کره و مخروط

مجموع حجم مخروط و کره با هم معادل حجم یک استوانه است:

استوانه - پیمان گردلو

تمرین

مساحت جانبی، مساحت کل و حجم استوانه ای به شعاع قاعده 3 و ارتفاع 5 را تعيين کنيد. 

مساحت جانبی:

2πrh=2π×3×5=30π


مساحت کل:

2πrh+2πr2=30π+2×9π=48π


حجم استوانه:

πr2h=π×32×5=45π

محيط قاعده يک استوانه 18.84 متر است. اگر ارتفاع استوانه 5 متر باشد، حجم استوانه چند متر مکعب است؟

مساحت جانبی:

2πrh


مساحت کل استوانه: 

2πrh+2πr2


حجم استوانه:

πr2h2πr=18.84r=18.842π18.846.28=3m


حجم: 

πr2h3.14×32×5=141.3m3

شکل زير را حول ضلع AB دوران می‌دهيم، حجم شکل حاصل را به‌دست آوريد.


استوانه - پیمان گردلو

حجم استوانه:

πr2h


وقتی اين شکل دوران يابد، دو استوانه پديد می‌آيد، برای استوانه کوچک شعاع قاعده 5 و ارتفاع 4 سانتی متر و برای استوانه بزرگ شعاع قاعده 20 و ارتفاع 6 سانتی متر است.


حجم استوانه کوچک:

π×52×4=100π


حجم استوانه بزرگ:

π×202×6=2400π


حجم شکل حاصل:

100π+2400π=2500π

يک مستطيل به ابعاد 5,3 را يک‌بار حول طول و يک‌بار حول عرض، دوران کامل می‌دهيم، مساحت جانبی، مساحت کل، حجم را در هر دو حالت حساب کرده و با هم مقايسه کنيد.  

مساحت جانبی:

2πrh


مساحت کل استوانه:

2πrh+2πr2


حجم استوانه:

πr2h


حالت اول- حول عرض دوران می‌دهيم:


استوانه - پیمان گردلو


مساحت جانبی:

2π×5×3=30π


مساحت کل:

30π+2×π×52=30π+50π=80π


حجم:

π×52×3=75π


حالت دوم- حول طول دوران می‌دهيم:


استوانه - پیمان گردلو


مساحت جانبی:

2π×5×3=30π


مساحت کل استوانه:

30π+2×π×32=48π


حجم:

π×32×5=45π


ملاحظه می‌شود که مساحت جانبی در هر مرحله ثابت می‌ماند، حجم و مساحت کل در حالت دوم کمتر از حجم و مساحت کل در حالت اول است.

مستطيل ABCD را حول خط گذرنده از M و N وسط های AB و CD به اندازه 90 دوران می‌دهيم، اگر AD=4 و AB=2 باشد، مساحت جانبی، مساحت کل و حجم شکل فضای ايجاد شده را تعيين کنيد.


استوانه - پیمان گردلو

 مساحت جانبی برابر است با حاصل ضرب ارتفاع در محيط قاعده:

2πr×4=16π


حجم:

12πr22h=12π×12×4=2π

شکل زیر را حول AB دوران کامل می‌دهيم، حجم حاصل را به‌دست آوريد.


استوانه - پیمان گردلو 

حجم استوانه بالايی:

π×12×4=4π


حجم استوانه وسط:

π×22×2=8π


حجم استوانه پايين:

π×42×1=16π


حجم کل:

4π+8π+16π=28π

مربعی به ضلع 4 cm را يک بار حول يکی از اضلاع، يک بار حول خط گذرنده از وسط دو ضلع دوران می‌دهيم، حجم های حادث را تعيين کنيد.


استوانه - پیمان گردلو


πr2h=π×42×4=64π


استوانه - پیمان گردلو

πr2h=π×22×4=16π

استوانه ای به شعاع قاعده r و ارتفاع h در دست است. داخل اين استوانه يک مکعب مستطيل مربع القاعده محاط شده است، حجم اين مکعب مستطيل را بر حسب r و h بيان کنيد.  

اگر از بالا به اين دو شکل نگاه کنيم شکل زير مشاهده می‌شود:


استوانه - پیمان گردلو


if  BD=2rBC=DC=2rSBDC=2r×2r2=r2SABCD=2r2


حجم مکعب مستطيل:

2r2h

تمرین

از سه شکل نشان داده شده در زیر، می‌توان برای ساختن کدام یک از اشکال فضایی استفاده کرد؟

استوانه - پیمان گردلو

استوانه - پیمان گردلو


اگر لبه‌های AB و CD در اطراف خم شده و به‌هم متصل شوند، سطح منحنی یک استوانه را ایجاد می‌کنند. دو دایره به قاعده های استوانه تبدیل می‌شوند.

محاسبه حجم استوانه افقی

استوانه - پیمان گردلو

r شعاع استوانه

h ارتفاعی است که استوانه تا آن پر شده است

برای محاسبه حجم استوانه افقی، ابتدا به محاسبه مساحت Area یا همان قطعه Segment می‌پردازیم.

شکل زیر را در نظر می‌گیریم:

استوانه - پیمان گردلو

برای محاسبه مساحت قطعه Segment داریم:

استوانه - پیمان گردلو  

cosθ2=rhrθ2=cos1rhrb2=r2rh2b2=r2r22rh+h2b2=2rhh2b=2rhh2

مساحت نصف مثلث برابر است با:

12S=12rh.b=rh.2rhh22

مساحت کل مثلث برابر است با:
S=rh.2rhh2
مساحت  قطعه Segment برابر است با تفاضل مساحت قطاع Sector و مساحت مثلث:
Ssegment=SsectorSSsegment=12θ.r2rh.2rhh2Ssegment=θ2r2rh.2rhh2    ;    θ2=cos1rhrSsegment=cos1rhrr2rh.2rhh2

نکته

برای محاسبه حجم استوانه افقی، کافی است مساحت قطعه یعنی Ssegment را در طول استوانه ضرب کنیم.  

Torus (توروس)

شکل فضایی زیر به نام Torus (توروس) معروف است:

استوانه - پیمان گردلو

برای محاسبه مساحت سطح Torus داریم:
STorus=2πr×2πR=4π2.r.R
برای محاسبه حجم Torus داریم:
STorus=πr2×2πR=2π2.r2.R

تذکر

Torus شبیه استوانه

استوانه - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید