مکعب مستطیل

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 04 شهریور 1400
دسته‌بندی: هندسه فضائی
امتیاز:
بازدید: 28 مرتبه

مکعب مستطیل، منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشند.

اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل a و b و ارتفاع آن c باشد، خواهیم داشت:

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

مساحت جانبی مکعب مستطیل برابر است با محیط قاعده در ارتفاع:

2a+bc=2ac+2bc

مساحت کل مکعب مستطیل:

2ac+2bc+2ab=2ab+ac+bc

حجم مکعب مستطیل:

abc

نکته

1- مکعب مستطیلی که همه وجوه آن مربع باشند، مکعب نامیده می‌شود. اگر ضلع مکعب a باشد، خواهیم داشت:

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

=2a+aa=4aa=4a2مساحت جانبی مکعب

=2aa+2aa+2aa=4a2+2a2=6a2مساحت کل مکعب

=a3حجم مکعب


2- قطر مکعبی به‌ضلع a برابر است با a3.

3- قطر مکعب مستطیلی به ابعاد a,b,c برابر است با a2+b2+c2

4- حجم مکعب به‌ضلع a برابر a3 است.

5- مساحت جانبی مکعب به‌ضلع a برابر 4a2 است.

6- مساحت کل مکعب به‌ضلع a برابر 6a2 است.

7- حجم مکعب مستطیل به ابعاد a,b,c برابر abc است.  

8- مساحت جانبی مکعب مستطیل به‌طول و عرض a و b و ارتفاع c برابر با 2ac+2bc است.

9- مساحت کل مکعب مستطیل به ابعاد a,b,c برابر با 2ab+2ac+2bc است. 

10- اگر ضلع مکعبی را m برابر کنیم، حجم آن m3 برابر و مساحت جانبی آن m2 برابر می‌شود.

11- اگر ابعاد یک مکعب مستطیل را m برابر کنیم، حجم آن m3 برابر می‌شود.

تمرین

طول و عرض و ارتفاع يک مکعب مستطيل 2,3,4 می‌باشند، مساحت جانبی، مساحت کل، و حجم اين مکعب مستطيل را محاسبه کنيد.

مساحت جانبی مکعب مستطيل:

2ac+2bc=24×2+23×2=16+12=28


مساحت کل مکعب مستطيل:

2ab+ac+bc=2×4×3+4×2+3×2=212+8+6=52


حجم مکعب مستطيل:

abc=4×3×2=24

طول و عرض قاعده يک مکعب مستطيل 4,3 متر و قطر آن 34 متر می‌باشد، مساحت جانبی، مساحت کل و حجم اين مکعب مستطيل را محاسبه کنيد.

مکعب مستطیل - پیمان گردلو


ابتدا A'C'  را محاسبه می‌کنيم:

A'C'2=A'D'2+D'C'2=32+42=25A'C'=5AC'2=AA'2+A'C'2AA'2=AC'2A'C'2AA'2=34252AA'2=3425AA'2=9AA'=3

 
مساحت جانبی:

23+4×3=42


مساحت کل:

42+2×3×4=42+24=66


حجم:

4×3×3=36

قطر يک مکعب 75 سانتی متر است. مساحت جانبی، مساحت کل و حجم اين مکعب را بيابيد.

قطر مکعبی به ضلع a برابر است با a3:

75=3×aa=753=25=5a=5


مساحت جانبی مکعب:

4a2=4×52=100cm2


مساحت کل مکعب:

6a2=6×52=150cm2


حجم مکعب:

a3=53=125cm3

مساحت سه وجه متمايز يک مکعب مستطيل 18,14,7 سانتی متر مربع است، حجم مکعب مستطيل چقدر است؟

اگر ابعاد مکعب مستطيل a,b,c باشد:

ab=7ac=14bc=18  a2b2c2=7×14×18abc=7×14×18=42

يک شکارچی می‌خواست اسلحه خود را به درون قطار ببرد ولی مسئول قطار اجازه بردن آن را به درون کوپه نمی‌داد، زيرا متصدی حمل بارها نمی‌توانست هيچ شی‌ای را که ابعاد آن از یک  متر بيشتر باشد را حمل نمايد. طول اسلحه 1.7 متر بود، شکارچی چه کار می‌توانست بکند؟  

گر اين شکارچی يک مکعب به ضلع يک متر تهيه کند، قطر اين مکعب 3×1=3 متر خواهد بود.


می‌دانيم 3>1.7 لذا شکارچی اسلحه خود را می‌تواند در قطر اين مکعب جاسازی کند و متصدی حمل بارها نيز، برای حمل مکعبی به ضلع يک متر بهانه‌ای ندارد.  

يک مکعب مستطيل به اضلاع قاعده 3,2 و به ارتفاع 4 مفروض است، مانند شکل زير، وسط های اضلاع قاعده را به هم وصل کرده و در درون اين مکعب مستطيل يک مکعب مستطيل ديگر می‌سازيم، حجم اين مکعب مستطيل چه کسری از حجم مکعب مستطيل اوليه است؟


مکعب مستطیل - پیمان گردلو

می‌دانيم MNPR يک لوزی است: 

SMNPR=2×32=3m2

 ارتفاع× مساحت مکعب مستطيل کوچک=حجم مکعب مستطيل کوچک

=3×4=12m2


حجم مکعب مستطيل بزرگ:

2×3×4=24m2


ملاحظه می‌شود حجم مکعب مستطيل داخلی نصف حجم مکعب مستطيل اوليه است.

چند مکعب مستطيل که قاعده همه آنها مربع است را داخل هم قرار داده‌ايم به‌طوری که از بالا وقتی به داخل اين مکعب مستطيل نگاه می‌کنيم شکل زير را می‌بينيم:


مکعب مستطیل - پیمان گردلو

اگر ارتفاع همه اين مکعب مستطيل ها h باشد، مجموع حجم 5 مکعب مستطيل اوليه چقدر است؟

با به‌کار بردن قضيه فيثاغورس خواهيم ديد که اضلاع مربع های قاعده اين 5 مکعب مستطيل به شکل زیر می‌باشند:

a  ,  a22  ,  a2  ,  a24  ,  a4

V1=a2hV2=a222h=a22hV3=a22h=a24hV4=a242h=a28hV5=a42h=a216hV1+V2+V3+V4+V5=a2h1+12+14+18+116=3116a2h

از مکعبی به ضلع a سانتی متر يک منشور که قاعده آن يک هشت ضلعی است، به اين صورت بريده‌ايم که هر ضلع يک قاعده را به سه قسمت مساوی تقسيم کرده‌ايم و نقاط را به‌صورت شکل زير به‌هم وصل کرده‌ايم، حجم اين منشور چند سانتی متر مکعب است؟

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

کافی است از حجم مکعب مستطيل، حجم 4 منشور مثلث القاعده را کم کنيم، برای اين منظور ابتدا حجم منشوری که قاعده آن مثلث FBG و ارتفاع آن ضلع مکعب a است، به‌دست می‌آوريم: 


مکعب مستطیل - پیمان گردلو 


SFBG=a3×a32=a218


حجم چهار منشور: 

4×a218×a=29a3


حجم مطلوب:

a329a3=79a3

گودالی را حفر کرده‌ايم و از آن 30 متر مکعب خاک بيرون آورده‌ايم، اگر خاک اين گودال را درون يک مخزن مکعب مستطيل شکل به ابعاد قاعده 3,2 متر بريزيم، خاک تا چه ارتفاعی بالا می‌آيد؟

2×3×x=30x=5m

طول قطر مکعبی برابر 6 cm است، مساحت اين مکعب را به‌دست آوريد.

اگر ضلع مکعب را a در نظر بگيريم:

a3=6a=63a=63×33a=23


مساحت مکعب:

6232=72  cm

برای ارسال نظر وارد سایت شوید