سرفصل‌های این مبحث

هندسه فضائی

مکعب مستطیل

آخرین ویرایش: 11 اسفند 1402

دسته‌بندی: هندسه فضائی

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

مکعب مستطیل، منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشند.

اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل $a$ و $b$ و ارتفاع آن $c$ باشد، خواهیم داشت:

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

مساحت جانبی مکعب مستطیل برابر است با محیط قاعده در ارتفاع:

$[2 (a + b)] c = 2 a c + 2 b c$

مساحت کل مکعب مستطیل:

$(2 a c + 2 b c) + 2 a b = 2 (a b + a c + b c)$

حجم مکعب مستطیل:

$a b c$

نکته

1- مکعب مستطیلی که همه وجوه آن مربع باشند، مکعب نامیده می‌شود. اگر ضلع مکعب $a$ باشد، خواهیم داشت:

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

$= [2 (a + a)] a = (4 a) a = 4 a^{2}$ مساحت جانبی مکعب

$= (2 a a + 2 a a) + 2 a a = 4 a^{2} + 2 a^{2} = 6 a^{2}$ مساحت کل مکعب

$= a^{3}$ حجم مکعب

2- قطر مکعبی به‌ضلع $a$ برابر است با $a \sqrt{3}$ .

3- قطر مکعب مستطیلی به ابعاد $a, b, c$ برابر است با $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

4- حجم مکعب به‌ضلع $a$ برابر $a^{3}$ است.

5- مساحت جانبی مکعب به‌ضلع $a$ برابر $4 a^{2}$ است.

6- مساحت کل مکعب به‌ضلع $a$ برابر $6 a^{2}$ است.

7- حجم مکعب مستطیل به ابعاد $a, b, c$ برابر $a b c$ است.

8- مساحت جانبی مکعب مستطیل به‌طول و عرض $a$ و $b$ و ارتفاع $c$ برابر با $2 a c + 2 b c$ است.

9- مساحت کل مکعب مستطیل به ابعاد $a, b, c$ برابر با $2 a b + 2 a c + 2 b c$ است.

10- اگر ضلع مکعبی را $m$ برابر کنیم، حجم آن $m^{3}$ برابر و مساحت جانبی آن $m^{2}$ برابر می‌شود.

11- اگر ابعاد یک مکعب مستطیل را $m$ برابر کنیم، حجم آن $m^{3}$ برابر می‌شود.

تمرین

طول و عرض و ارتفاع يک مکعب مستطيل $2, 3, 4$ می‌باشند، مساحت جانبی، مساحت کل، و حجم اين مکعب مستطيل را محاسبه کنيد.

مساحت جانبی مکعب مستطيل:

$2 a c + 2 b c = 2 (4 \times 2) + 2 (3 \times 2) = 16 + 12 = 28$

مساحت کل مکعب مستطيل:

$2 (a b + a c + b c) = 2 \times (4 \times 3 + 4 \times 2 + 3 \times 2) = 2 (12 + 8 + 6) = 52$

حجم مکعب مستطيل:

$a b c = 4 \times 3 \times 2 = 24$

طول و عرض قاعده يک مکعب مستطيل $4, 3$ متر و قطر آن $\sqrt{34}$ متر می‌باشد، مساحت جانبی، مساحت کل و حجم اين مکعب مستطيل را محاسبه کنيد.

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

ابتدا $A^{'} C^{'}$ را محاسبه می‌کنيم:

$\begin{array}{l} A^{'} {C^{'}}^{2} = A^{'} {D^{'}}^{2} + D^{'} {C^{'}}^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow A^{'} C^{'} = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} A {C^{'}}^{2} = A {A^{'}}^{2} + A^{'} {C^{'}}^{2} \\ \Rightarrow A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A^{'} {C^{'}}^{2} \\ \Rightarrow A {A^{'}}^{2} = {(\sqrt{34})}^{2} - 5^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A {A^{'}}^{2} = 34 - 25 \\ \Rightarrow A {A^{'}}^{2} = 9 \\ \Rightarrow A A^{'} = 3 \end{array}$

مساحت جانبی:

$2 (3 + 4) \times 3 = 42$

مساحت کل:

$42 + 2 \times (3 \times 4) = 42 + 24 = 66$

حجم:

$4 \times 3 \times 3 = 36$

قطر يک مکعب $\sqrt{75}$ سانتی متر است. مساحت جانبی، مساحت کل و حجم اين مکعب را بيابيد.

قطر مکعبی به ضلع $a$ برابر است با $a \sqrt{3}$ :

$\sqrt{75} = \sqrt{3} \times a \Rightarrow a = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{25} = 5 \Rightarrow a = 5$

مساحت جانبی مکعب:

$4 a^{2} = 4 \times 5^{2} = 100 c m^{2}$

مساحت کل مکعب:

$6 a^{2} = 6 \times 5^{2} = 150 c m^{2}$

حجم مکعب:

$a^{3} = 5^{3} = 125 c m^{3}$

مساحت سه وجه متمايز يک مکعب مستطيل $18, 14, 7$ سانتی متر مربع است، حجم مکعب مستطيل چقدر است؟

اگر ابعاد مکعب مستطيل $a, b, c$ باشد:

$\{\begin{cases} a b = 7 \\ a c = 14 \\ b c = 18 \end{cases}$

$\begin{matrix} a^{2} b^{2} c^{2} = 7 \times 14 \times 18 \\ \Rightarrow a b c = \sqrt{7 \times 14 \times 18} = 42 \end{matrix}$

يک شکارچی می‌خواست اسلحه خود را به درون قطار ببرد ولی مسئول قطار اجازه بردن آن را به درون کوپه نمی‌داد، زيرا متصدی حمل بارها نمی‌توانست هيچ شی‌ای را که ابعاد آن از یک متر بيشتر باشد را حمل نمايد. طول اسلحه $1.7$ متر بود، شکارچی چه کار می‌توانست بکند؟

گر اين شکارچی يک مکعب به ضلع يک متر تهيه کند، قطر اين مکعب $\sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3}$ متر خواهد بود.

می‌دانيم $\sqrt{3} > 1.7$ لذا شکارچی اسلحه خود را می‌تواند در قطر اين مکعب جاسازی کند و متصدی حمل بارها نيز، برای حمل مکعبی به ضلع يک متر بهانه‌ای ندارد.

يک مکعب مستطيل به اضلاع قاعده $3, 2$ و به ارتفاع $4$ مفروض است، مانند شکل زير، وسط های اضلاع قاعده را به هم وصل کرده و در درون اين مکعب مستطيل يک مکعب مستطيل ديگر می‌سازيم، حجم اين مکعب مستطيل چه کسری از حجم مکعب مستطيل اوليه است؟

می‌دانيم $M N P R$ يک لوزی است:

$S_{M N P R} = \frac{2 \times 3}{2} = 3 m^{2}$

ارتفاع $\times$ مساحت مکعب مستطيل کوچک=حجم مکعب مستطيل کوچک

$= 3 \times 4 = 12 m^{2}$

حجم مکعب مستطيل بزرگ:

$2 \times 3 \times 4 = 24 m^{2}$

ملاحظه می‌شود حجم مکعب مستطيل داخلی نصف حجم مکعب مستطيل اوليه است.

چند مکعب مستطيل که قاعده همه آنها مربع است را داخل هم قرار داده‌ايم به‌طوری که از بالا وقتی به داخل اين مکعب مستطيل نگاه می‌کنيم شکل زير را می‌بينيم:

اگر ارتفاع همه اين مکعب مستطيل ها $h$ باشد، مجموع حجم $5$ مکعب مستطيل اوليه چقدر است؟

با به‌کار بردن قضيه فيثاغورس خواهيم ديد که اضلاع مربع های قاعده اين $5$ مکعب مستطيل به شکل زیر می‌باشند:

$a, \frac{a \sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{2}}{4}, \frac{a}{4}$

$\begin{array}{l} V_{1} = a^{2} h \\ V_{2} = {[\frac{a \sqrt{2}}{2}]}^{2} h = \frac{a^{2}}{2} h \\ V_{3} = {[\frac{a}{2}]}^{2} h = \frac{a^{2}}{4} h \end{array}$

$\begin{array}{l} V_{4} = {[\frac{a \sqrt{2}}{4}]}^{2} h = \frac{a^{2}}{8} h \\ V_{5} = {[\frac{a}{4}]}^{2} h = \frac{a^{2}}{16} h \end{array}$

$\begin{array}{l} V_{1} + V_{2} + V_{3} + V_{4} + V_{5} = a^{2} h (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}) = \frac{31}{16} a^{2} h \end{array}$

از مکعبی به ضلع $a$ سانتی متر يک منشور که قاعده آن يک هشت ضلعی است، به اين صورت بريده‌ايم که هر ضلع يک قاعده را به سه قسمت مساوی تقسيم کرده‌ايم و نقاط را به‌صورت شکل زير به‌هم وصل کرده‌ايم، حجم اين منشور چند سانتی متر مکعب است؟

کافی است از حجم مکعب مستطيل، حجم $4$ منشور مثلث القاعده را کم کنيم، برای اين منظور ابتدا حجم منشوری که قاعده آن مثلث $F B G$ و ارتفاع آن ضلع مکعب $a$ است، به‌دست می‌آوريم:

مکعب مستطیل - پیمان گردلو

$S_{F B G} = \frac{\frac{a}{3} \times \frac{a}{3}}{2} = \frac{a^{2}}{18}$

حجم چهار منشور:

$4 \times \frac{a^{2}}{18} \times a = \frac{2}{9} a^{3}$

حجم مطلوب:

$a^{3} - \frac{2}{9} a^{3} = \frac{7}{9} a^{3}$

گودالی را حفر کرده‌ايم و از آن $30$ متر مکعب خاک بيرون آورده‌ايم، اگر خاک اين گودال را درون يک مخزن مکعب مستطيل شکل به ابعاد قاعده $3, 2$ متر بريزيم، خاک تا چه ارتفاعی بالا می‌آيد؟

$2 \times 3 \times x = 30 \Rightarrow x = 5 m$

طول قطر مکعبی برابر $6 c m$ است، مساحت اين مکعب را به‌دست آوريد.

اگر ضلع مکعب را $a$ در نظر بگيريم:

$\begin{matrix} a \sqrt{3} = 6 \\ \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow a = 2 \sqrt{3} \end{matrix}$

مساحت مکعب:

$6 {(2 \sqrt{3})}^{2} = 72 c m$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

هندسه فضائی

مکعب مستطیل

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟