سرفصل‌های این مبحث

عبارات جبری

انواع چند جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1402

دسته‌بندی: عبارات جبری

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

چند جمله‌ ای همگن

اگر همه جملات یک چند جمله‌ای هم درجه باشند، آن چند جمله‌ای را همگن یا متجانس می‌نامند، مانند:

$\begin{array}{l} P (a, b) = 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} \end{array}$

$P (x, y) = x^{5} - 3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - 6 x y^{4}$

نکته

از ویژگی‌های چند جمله‌ای همگن درجه $n$ آن است که اگر هریک از متغیرهای آن در عدد ثابت $k$ ضرب شود آن چند جمله‌ای در $k^{n}$ ضرب می‌شود.

در چند جمله‌ای‌های فوق، داریم:

$\begin{array}{l} P (k a, k b) = k^{4} . P (a, b) \\ P (k x, k y) = k^{5} . P (x, y) \end{array}$

چند جمله‌ ای متقارن

یک چند جمله‌ای دو متغیره، متقارن نامیده می‌شود هرگاه با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نکند.

$P (x, y) = P (y, x)$

چند جمله‌ای دو متغیره زیر را در نظر بگیرید:

$P (a, b) = 3 a^{2} + 3 b^{2} - 2 a b + 1$

این چند جمله ای، متقارن است:

$P (b, a) = 3 b^{2} + 3 a^{2} - 2 b a + 1$

$P (a, b) = P (b, a)$

یک چند جمله‌ای با سه متغیر متقارن است درصورتی که با هر تبدیل دوری مثل دایره زیر تغییر نکند:

$P (x, y, z) = P (z, x, y) = P (y, z, x)$

عبارات جبری - پیمان گردلو

چند جمله‌ای سه متغیره زیر را در نظر بگیرید:

$Q (a, b, c) = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a b c (a + b + c)$

این چند جمله ای، متقارن است:

$\begin{array}{l} Q (b, c, a) = b^{3} + c^{3} + a^{3} + 3 b c a (b + c + a) \end{array}$

$Q (c, a, b) = c^{3} + a^{3} + b^{3} + 3 c a b (c + a + b)$

$Q (a, b, c) = Q (b, c, a) = Q (c, a, b)$

تذکر

ممکن است یک چند جمله‌ای، هم متقارن و هم همگن باشد، مانند:

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

تمرین

همگن و متقارن بودن چند جمله‌ای‌های زیر را بررسی می‌کنیم:

$7 a^{4} - 3 a^{3} b + 7 b^{4} - 3 a b^{3}$

در چند جمله‌ای فوق چون همه جمله‌های این چند جمله‌ای هم درجه هستند، پس عبارت فوق همگن است.

چند جمله‌ای فوق، متقارن است چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نمی‌کند.

$\begin{array}{l} P (a, b) = 7 a^{4} - 3 a^{3} b + 7 b^{4} - 3 a b^{3} \end{array}$

$\begin{matrix} P (b, a) = 7 b^{4} - 3 b^{3} a + 7 a^{4} - 3 b a^{3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} P (a, b) = P (b, a) \end{matrix}$

$x^{5} - 2 x^{2} y^{2} + y^{5} + 12$

در چند جمله‌ای فوق چون همه جملات این چند جمله‌ای هم درجه نیستند، پس عبارت فوق همگن نیست.

چند جمله‌ای فوق، متقارن است چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نمی‌کند.

$\begin{array}{l} P (x, y) = x^{5} - 2 x^{2} y^{2} + y^{5} + 12 \end{array}$

$\begin{matrix} P (y, x) = y^{5} - 2 y^{2} x^{2} + x^{5} + 12 \end{matrix}$

$\begin{matrix} P (x, y) = P (y, x) \end{matrix}$

$4 x^{3} y^{2} - 2 y^{5} + 3 x^{5}$

در چند جمله‌ای فوق چون همه جملات این چند جمله‌ای هم‌درجه هستند، پس عبارت فوق همگن است.

چند جمله‌ای فوق، متقارن نیست چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر می‌کند.

نکته

از ویژگی‌های مهم چند جمله‌ای متقارن $P (x, y)$ آن است که:

1- می‌توان آن را بر حسب $x + y$ و $x y$ نوشت.

2- با هر تبدیل دوری به عبارت متقارن دیگر تبدیل می‌شوند.

تمرین

عبارت زیر را بر حسب عبارات متقارن اصلی می‌نویسیم:

$S = x^{3} (y + z) + y^{3} (x + z) + z^{3} (x + y) + x y z (x + y + z)$

$\begin{array}{l} = (x^{3} y + x^{3} z) + (y^{3} x + y^{3} z) + (z^{3} x + z^{3} y) + (x^{2} y z + x y^{2} z + x y z^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{3} y + x^{3} z + x^{2} y z) + (x y^{3} + x y^{2} z + y^{3} z) + (x y z^{2} + x z^{3} + y z^{3}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = x^{2} (x y + x z + y z) + y^{2} (x y + x z + y z) + z^{2} (x y + x z + y z) \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x y + x z + y z) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \end{array}$

چند جمله‌ ای زوج و فرد

چند جمله‌ ای زوج

چند جمله‌ای را نسبت به یک متغیر زوج گویند در صورتی که با تبدیل آن متغیر به قرینه خود، چند جمله‌ای تغییر نکند، یعنی:

$P (- x) = P (x)$

چند جمله‌ای $P (x) = x^{2} + 1$ زوج است:

$P (- x) = {(- x)}^{2} + 1 = x^{2} + 1 = P (x)$

چند جمله‌ ای فرد

چند جمله‌ای را نسبت به یک متغیر فرد گویند درصورتی که با تبدیل آن متغیر به قرینه خود، چند جمله‌ای نیز به قرینه خود تبدیل شود، یعنی:

$P (- x) = - P (x)$

چند جمله‌ای $P (x) = x^{3} + x$ فرد است:

$P (- x) = {(- x)}^{3} + (- x) = - x^{3} - x = - (x^{3} + x) = - P (x)$

نکته

ممکن است یک چند جمله‌ای نه زوج باشد و نه فرد باشد.

تمرین

چند جمله ای زیر زوج است یا فرد؟

$K (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x + 1$

$K (- x) = {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - 2 (- x) + 1 = - x^{3} + x^{2} + 2 x + 1$

نه زوج است و نه فرد است.

چند جمله‌ ای استاندارد (متعارف)

یک چند جمله‌ای را استاندارد گویند درصورتی که بر حسب توان‌های نزولی مرتب شده باشد.

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

چند جمله‌ای زیر را در نظر بگیرید:

$P (x) = x^{2} - 7 x^{4} + x^{5} - 3 x + 2 + x^{3}$

چند جمله ای فوق را به فرم استاندارد به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$P (x) = x^{5} - 7 x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3 x + 2$

چند جمله‌ ای متحد با صفر

قضیه

برای این‌که یک چند جمله‌ای متحد با صفر باشد، لازم و کافی است که همه ضرایب آن صفر باشند.

اثبات

چند جمله‌ای زیر را در نظر بگیرید:

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

اولا) اگر داشته باشیم:

$a_{n} = a_{n - 1} = \cdot \cdot \cdot = a_{2} = a_{1} = a_{0} = 0$

مقدار چند جمله‌ای به‌ازای هر مقدار از $x$ صفر می‌شود.

ثانیا) اگر چند جمله‌ای به‌ازای هر مقدار از $x$ متحد با صفر باشد، به‌ازای $x = 0$ نیز آن چند جمله‌ای صفر است، لذا لازم است که $a _{0} = 0$ باشد، بنابراین:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{2} x^{2} + a_{1} x = 0 \Rightarrow x (a_{n} x^{n - 1} + a_{n - 1} x^{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{1}) = 0$

این عبارت درصورتی همواره صفر است که عبارت داخل پرانتز صفر باشد، لذا به ازای $x = 0$ نیز باید صفر باشد که از آنجا خواهیم داشت $a _{1} = 0$ و به‌همین ترتیب با تکرار استدلال می‌توان گفت:

$a_{n} = a_{n - 1} = \cdot \cdot \cdot = a_{2} = a_{1} = a_{0} = 0$

نکته

چند جمله ای های متحد

برای آن‌که دو چند جمله‌ای چند متغیری با هم متحد باشند، لازم و کافی است که جملات آنها نظیربه‌نظیر با هم متحد باشند.

برای آن‌که دو چند جمله‌ای نسبت به یک متغیر متحد باشند، لازم و کافی است که ضرایب جملات هم‌درجه با هم برابر باشند، زیرا:

اگر دو چند جمله‌ای زیر با هم متحد باشند، تفاضل آنها متحد با صفر است، یعنی:

$\{\begin{cases} P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{0} \\ Q (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + b_{0} \end{cases}$

$(a_{n} - b_{n}) x^{n} + (a_{n - 1} - b_{n - 1}) x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + (a_{0} - b_{0}) \equiv 0$

لذا بنا بر قضیه چند جمله‌ای‌ها:

$\begin{array}{l} a_{n} - b_{n} = 0 \Rightarrow a_{n} = b_{n} \\ a_{n - 1} - b_{n - 1} = 0 \Rightarrow a_{n - 1} = b_{n - 1} \\ ⋮ \\ a_{0} - b_{0} = 0 \Rightarrow a_{0} = b_{0} \end{array}$

تمرین

مقادیر $c, b, a$ را چنان تعیین می‌کنیم که دو چند جمله‌ ای زیر متحد باشند.

$\{\begin{cases} P (x) = (a - 1) x^{3} - 3 x^{2} + (a + b + 2) x + c - 2 \\ Q (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - x + b - 1 \end{cases}$

$\begin{matrix} P (x) \equiv Q (x) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (a - 1) x^{3} - 3 x^{2} + (a + b + 2) x + c - 2 \equiv 2 x^{3} - 3 x^{2} - x + b - 1 \end{matrix}$

$\{\begin{array}{l} a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3 \\ (a + b + 2) = - 1 \\ c - 2 = b - 1 \end{array}〉 a = 3, b = - 6, c = - 5$

$\{\begin{cases} P (x) = (x^{2} - 1) (x + 2) \\ Q (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c \end{cases}$

$\begin{matrix} P (x) \equiv Q (x) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x^{2} - 1) (x + 2) \equiv x^{3} + a x^{2} + b x + c \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow [(x^{2}) (x) + (x^{2}) (2) + (- 1) (x) + (- 1) (2)] \equiv x^{3} + a x^{2} + b x + c \end{matrix}$

$\begin{matrix} \Rightarrow (x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) \equiv x^{3} + a x^{2} + b x + c \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \\ c = - 2 \end{cases}$

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

عبارات جبری

انواع چند جمله‌ ای

چند جمله‌ ای همگن

چند جمله‌ ای متقارن

چند جمله‌ ای زوج و فرد

چند جمله‌ ای زوج

چند جمله‌ ای فرد

چند جمله‌ ای استاندارد (متعارف)

چند جمله‌ ای متحد با صفر

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟