انواع چند جمله‌ ای

تاریخ انتشار: 08 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: عبارات جبری
امتیاز:
بازدید: 88 مرتبه

چند جمله‌ای همگن

اگر همه جملات یک چند جمله‌ای هم درجه باشند، آن چند جمله‌ای را همگن یا متجانس می‌نامند، مانند:

Pa,b=4a3b+6a2b2+4ab3+b4Px,y=x53x4y+2x2y36xy4

نکته

از ویژگی‌های چند جمله‌ای همگن درجه n آن است که اگر هریک از متغیرهای آن در عدد ثابت k ضرب شود آن چند جمله‌ای در kn ضرب می‌شود.

در چند جمله‌ای‌های فوق، داریم: 

Pka,kb=k4.Pa,bPkx,ky=k5.Px,y

چند جمله‌ای متقارن

یک چند جمله‌ای دو متغیره، متقارن نامیده می‌شود هرگاه با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نکند.

Px,y=Py,x

چند جمله‌ای دو متغیره Pa,b=3a2+3b22ab+1 متقارن است:

Pa,b=3a2+3b22ab+1Pb,a=3b2+3a22ba+1  Pa,b=Pb,a

یک چند جمله‌ای با سه متغیر متقارن است درصورتی که با هر تبدیل دوری مثل دایره زیر تغییر نکند:

Px,y,z=Pz,x,y=Py,z,x

عبارات جبری - پیمان گردلو

چند جمله‌ای سه متغیره Qa,b,c=a3+b3+c3+3abca+b+c متقارن است:

Qa,b,c=a3+b3+c3+3abca+b+cQb,c,a=b3+c3+a3+3bcab+c+aQc,a,b=c3+a3+b3+3cabc+a+b   Qa,b,c=Qb,c,a=Qc,a,b

تذکر

ممکن است یک چند جمله‌ای، هم متقارن و هم همگن باشد، مانند:

a5+5a4b+10a2b2+10a2b3+5ab4+b5

تمرین

همگن و متقارن بودن چند جمله‌ای‌های زیر را بررسی می‌کنیم:

7a43a3b+7b43ab3

در چند جمله‌ای فوق چون همه جمله‌های این چند جمله‌ای هم درجه هستند، پس عبارت فوق همگن است.

چند جمله‌ای فوق، متقارن است چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نمی‌کند.

Pa,b=7a43a3b+7b43ab3Pb,a=7b43b3a+7a43ba3  Pa,b=Pb,a

x52x2y2+y5+12

در چند جمله‌ای فوق چون همه جملات این چند جمله‌ای هم درجه نیستند، پس عبارت فوق همگن نیست.

چند جمله‌ای فوق، متقارن است چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر نمی‌کند.

Px,y=x52x2y2+y5+12Py,x=y52y2x2+x5+12  Px,y=Py,x

4x3y22y5+3x5

در چند جمله‌ای فوق چون همه جملات این چند جمله‌ای هم‌درجه هستند، پس عبارت فوق همگن است.

چند جمله‌ای فوق، متقارن نیست چون با جابه‌جا کردن هر دو متغیر از آن، چند جمله‌ای تغییر می‌کند.

نکته

از ویژگی‌های مهم چند جمله‌ای متقارن Px,y  آن است که:

1- می‌توان آن را بر حسب x+y و xy نوشت. 

2- با هر تبدیل دوری به عبارت متقارن دیگر تبدیل می‌شوند.

تمرین

عبارت زیر را بر حسب عبارات متقارن اصلی می‌نویسیم:

S=x3y+z+y3x+z+z3x+y+xyzx+y+z

=x3y+x3z+y3x+y3z+z3x+z3y+x2yz+xy2z+xyz2=x3y+x3z+x2yz+xy3+xy2z+y3z+xyz2+xz3+yz3=x2xy+xz+yz+y2xy+xz+yz+z2xy+xz+yz=xy+xz+yzx2+y2+z2

چند جمله‌ای زوج و فرد

چند جمله‌ای زوج

 چند جمله‌ای را نسبت به یک متغیر زوج گویند در صورتی که با تبدیل آن متغیر به قرینه خود، چند جمله‌ای تغییر نکند، یعنی: 

Px=Px

چند جمله‌ای Px=x2+1 زوج است:

Px=x2+1=x2+1=Px

چند جمله‌ای فرد

چند جمله‌ای را نسبت به یک متغیر فرد گویند درصورتی که با تبدیل آن متغیر به قرینه خود، چند جمله‌ای نیز به قرینه خود تبدیل شود، یعنی:

Px=-Px

چند جمله‌ای Px=x3+x فرد است:

Px=x3+x=x3x=x3+x=Px

نکته

ممکن است یک چند جمله‌ای نه زوج باشد و نه فرد باشد. 

تمرین

چند جمله ای Kx=x3+x22x+1 نه زوج است و نه فرد است.

Kx=x3+x22x+1  =x3+x2+2x+1

چند جمله‌ای استاندارد (متعارف)

یک چند جمله‌ای را استاندارد گویند درصورتی که بر حسب توان‌های نزولی مرتب شده باشد.

Px=anxn+an1xn1+an2xn2++a1x+a0

چند جمله‌ای Px=x27x4+x53x+2+x3 را به فرم استاندارد به‌صورت زیر می‌نویسیم:

Px=x57x4+x3+x23x+2

چند جمله‌ای متحد با صفر

قضیه

برای این‌که یک چند جمله‌ای متحد با صفر باشد، لازم و کافی است که همه ضرایب آن صفر باشند.

اثبات

چند جمله‌ای زیر را در نظر بگیرید: 

Px=anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0

اولا) اگر داشته باشیم:

an=an1==a2=a1=a0=0

مقدار چند جمله‌ای به‌ازای هر مقدار از x صفر می‌شود. 


ثانیا)
اگر چند جمله‌ای به‌ازای هر مقدار از x متحد با صفر باشد، به‌ازای x=0 نیز آن چند جمله‌ای صفر است، لذا لازم است که a0=0 باشد، بنابراین:

anxn+an1xn1++a2x2+a1x=0xanxn1+an1xn2++a1=0

این عبارت درصورتی همواره صفر است که عبارت داخل پرانتز صفر باشد، لذا به ازای x=0 نیز باید صفر باشد که از آنجا خواهیم داشت a1=0 و به‌همین ترتیب با تکرار استدلال می‌توان گفت:

an=an1==a2=a1=a0=0

نکته

چند جمله ای های متحد

برای آن‌که دو چند جمله‌ای چند متغیری با هم متحد باشند، لازم و کافی است که جملات آنها نظیربه‌نظیر با هم متحد باشند.

برای آن‌که دو چند جمله‌ای نسبت به یک متغیر متحد باشند، لازم و کافی است که ضرایب جملات هم‌درجه با هم برابر باشند، زیرا:

اگر دو چند جمله‌ای زیر با هم متحد باشند، تفاضل آنها متحد با صفر است، یعنی: 

Px=anxn+an1xn1++a0Qx=bnxn+bn1xn1++b0

anbnxn+an1bn1xn1++a0b00

لذا بنا بر قضیه چند جمله‌ای‌ها:

anbn=0        an=bnan1bn1=0an1=bn1            a0b0=0        a0=b0

تمرین

مقادیر c,b,a را چنان تعیین می‌کنیم که دو چند جمله‌ای زیر متحد باشند:

a1x33x2+a+b+2x+c22x33x2x+b1

a1x33x2+a+b+2x+c22x33x2x+b1


a1=2a=3a+b+2=1c2=b1   a=3  ,  b=6  ,  c=5

x21x+2x3+ax2+bx+c

x21x+2=x2x+x22+1x+12=x3+2x2x2


x3+ax2+bx+cx3+2x2x2a=2b=1c=2

برای ارسال نظر وارد سایت شوید