پیوستگی و دنباله ها

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 مرداد 1400
دسته‌بندی: پیوستگی
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

تعریف: فرض کنیم تابع y=fx در یک همسایگی a تعریف شده باشد.

تابع y=fx پیوسته است اگر و فقط اگر به ازای هر دنباله an از دامنه f که limnan=aآنگاه:

limnfan=fa

تمرین

ثابت ‌کنید تابع زیر در نقطه x=0 پیوسته است. 

fx=x2    ;    xQ0    ;    xQ'

فرض می‌کنیم aR و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که:

nN  ,  an0     ;    limnan=a


زیر دنباله bn که جملاتش از اعداد گویاست و زیر دنباله cn که همه جملاتش از اعداد گنگ هستند، مفروضند:


زیر دنباله ‌های یک دنباله‌ همگرا، خودشان هم همگرا هستند:

limnbn=limncn=abnQ  ;  fbn=bn2      limnfbn=limnbn2=a2cnQ'  ;  fcn=0      limnfcn=0


شرط این‌که limnan موجود باشد، آن است که دو زیردنباله‌ فوق به یک عدد یکسانی همگرا باشد:‌‌

limnfbn=limnfcn   a2=0      a=0


تابع f در نقطه x=a=0 پیوسته است:

limx0fx=f0=0

تمرین

توابع با ضابطه های زیر مفروضند، در چه نقاطی پیوسته هستند؟

fx=x    ;    xQ0    ;    xRQ

فرض می‌کنیم aR و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که limann+=a.

ifanQlimn+fan=limn+an=aif   anRQlimn+fan=0


تا وقتی در a دارای حد است که a=0.


تابع در a=0 پیوسته است اما تابع در نقطه ای دیگر a0 پیوسته نیست، زیرا حد ندارد.


هم‌چنین ffx را از نظر پیوستگی بررسی می‌کنیم:

ffx=x    ;    xQ0    ;    xRQ


پس وضعیت پیوستگی ffx مانند خود f است.  

fx=x            ;    xQ2x    ;    xQ'

پیوستگی و دنباله ها  - پیمان گردلو

فرض می‌کنیم aR و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که:

nN  ,  ana    ;    limnan=a


زیر دنباله bn که جملاتش از اعداد گویاست و زیر دنباله cn که همه جملاتش از اعداد گنگ هستند، مفروضند.


زیر دنباله ‌های یک دنباله‌ همگرا، خودشان هم همگرا هستند:

limnbn=limncn=abnQ    ;    fbn=bn      limnfbn=limnbn=acnQ'    ;    cn=2cn      limnfcn=limn2cn=2a


شرط این‌که limnfan موجود باشد، آن است که دو زیردنباله‌ فوق به یک عدد یکسانی همگرا باشد:

limnfbn=limnfcn      a=2a     a=1


تابع f در نقطه x=a=1 پیوسته است:‌

limx0fx=f0=0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید