پیوستگی و دنباله ها

آخرین ویرایش: 17 فروردين 1402
دسته‌بندی: پیوستگی و ناپیوستگی
امتیاز:
نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرض کنیم تابع y=fx در یک همسایگی a تعریف شده باشد.

تابع y=fx پیوسته است اگر و فقط اگر به ازای هر دنباله an از دامنه f که limn→∞an=aآنگاه:

limn→∞fan=fa

تمرین

ثابت ‌کنید تابع زیر در نقطه x=0 پیوسته است. 

fx=x2    ;    x∈Q0    ;    x∈Q'

فرض می‌کنیم a∈R و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که:

∀n∈N  ,  an≠0     ;    limn→∞an=a


زیر دنباله bn که جملاتش از اعداد گویاست و زیر دنباله cn که همه جملاتش از اعداد گنگ هستند، مفروضند:


زیر دنباله ‌های یک دنباله‌ همگرا، خودشان هم همگرا هستند:

limn→∞bn=limn→∞cn=abn∈Q  ;  fbn=bn2   ⇒   limn→∞fbn=limn→∞bn2=a2cn∈Q'  ;  fcn=0   ⇒   limn→∞fcn=0


شرط این‌که limn→∞an موجود باشد، آن است که دو زیردنباله‌ فوق به یک عدد یکسانی همگرا باشد:‌‌

limn→∞fbn=limn→∞fcn ⇒   a2=0   ⇒   a=0


تابع f در نقطه x=a=0 پیوسته است:

limx→0fx=f0=0

تمرین

توابع با ضابطه های زیر مفروضند، در چه نقاطی پیوسته هستند؟

fx=x    ;    x∈Q0    ;    x∈R−Q

فرض می‌کنیم a∈R و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که limann→+∞=a.

if an∈Q⇒limn→+∞fan=limn→+∞an=aif   an∈R−Q⇒limn→+∞fan=0


تا وقتی در a دارای حد است که a=0.


تابع در a=0 پیوسته است اما تابع در نقطه ای دیگر a≠0 پیوسته نیست، زیرا حد ندارد.


هم‌چنین ffx را از نظر پیوستگی بررسی می‌کنیم:

ffx=x    ;    x∈Q0    ;    x∈R−Q


پس وضعیت پیوستگی ffx مانند خود f است.  

fx=x            ;    x∈Q2−x    ;    x∈Q'

پیوستگی و دنباله ها - پیمان گردلو

فرض می‌کنیم a∈R و an دنباله‌ دلخواهی باشد، به‌طوری‌که:

∀n∈N  ,  an≠a    ;    limn→∞an=a


زیر دنباله bn که جملاتش از اعداد گویاست و زیر دنباله cn که همه جملاتش از اعداد گنگ هستند، مفروضند.


زیر دنباله ‌های یک دنباله‌ همگرا، خودشان هم همگرا هستند:

limn→∞bn=limn→∞cn=abn∈Q    ;    fbn=bn   ⇒   limn→∞fbn=limn→∞bn=acn∈Q'    ;    cn=2−cn   ⇒   limn→∞fcn= limn→∞2−cn=2−a


شرط این‌که limn→∞fan موجود باشد، آن است که دو زیردنباله‌ فوق به یک عدد یکسانی همگرا باشد:

limn→∞fbn=limn→∞fcn   ⇒   a=2−a  ⇒   a=1


تابع f در نقطه x=a=1 پیوسته است:‌

limx→0fx=f0=0

برای ارسال نظر وارد سایت شوید